Een driehoek is een veelhoek met drie zijden (drie hoeken). Meestal worden de zijkanten aangegeven met kleine letters, die overeenkomen met de hoofdletters die tegenoverliggende hoekpunten aangeven. In dit artikel maken we kennis met de soorten van deze geometrische vormen, de stelling die bepa alt wat de som van de hoeken van een driehoek is.
Beelden door hoeken
De volgende typen polygoon met drie hoekpunten worden onderscheiden:
- acute-hoek, waarin alle hoeken scherp zijn;
- rechthoekig, met één rechte hoek, terwijl de zijden die het vormen benen worden genoemd, en de zijde die tegenover de rechte hoek is geplaatst, de hypotenusa wordt genoemd;
- stom als een hoek stomp is;
- gelijkbenig, waarin twee zijden gelijk zijn, en ze worden lateraal genoemd, en de derde is de basis van de driehoek;
- gelijkzijdig, met alle drie gelijke zijden.
Eigenschappen
Ze markeren de belangrijkste eigenschappen die kenmerkend zijn voor elk type driehoek:
- tegenover de grotere zijde is altijd een grotere hoek, en vice versa;
- tegenovergestelde zijden van gelijke grootte zijn gelijke hoeken, en vice versa;
- elke driehoek heeft twee scherpe hoeken;
- een buitenhoek is groter dan elke binnenhoek die er niet aan grenst;
- de som van twee willekeurige hoeken is altijd kleiner dan 180 graden;
- buitenste hoek is gelijk aan de som van de andere twee hoeken die de hoek niet snijden.
Driehoeksom van hoeken stelling
De stelling stelt dat als je alle hoeken van een gegeven geometrische figuur optelt, die zich op het Euclidische vlak bevindt, hun som 180 graden zal zijn. Laten we proberen deze stelling te bewijzen.
Laten we een willekeurige driehoek nemen met hoekpunten van KMN.
Trek door het hoekpunt M een rechte lijn evenwijdig aan de rechte lijn KN (deze lijn wordt ook wel de Euclidische rechte lijn genoemd). We markeren punt A erop zodanig dat de punten K en A aan verschillende zijden van de rechte MN liggen. We krijgen gelijke hoeken AMN en KNM, die, net als interne, kruiselings liggen en worden gevormd door de secans MN samen met rechte lijnen KN en MA, die evenwijdig zijn. Hieruit volgt dat de som van de hoeken van de driehoek gelegen op de hoekpunten M en H gelijk is aan de grootte van de hoek KMA. Alle drie de hoeken vormen de som, die gelijk is aan de som van de hoeken KMA en MKN. Aangezien deze hoeken binnen eenzijdig zijn ten opzichte vanevenwijdige rechte lijnen KN en MA met een secans KM, hun som is 180 graden. Stelling bewezen.
Consequentie
Het volgende uitvloeisel volgt uit de hierboven bewezen stelling: elke driehoek heeft twee scherpe hoeken. Laten we, om dit te bewijzen, aannemen dat een bepaalde geometrische figuur slechts één scherpe hoek heeft. Er kan ook worden aangenomen dat geen van de hoeken scherp is. In dit geval moeten er ten minste twee hoeken zijn die gelijk zijn aan of groter zijn dan 90 graden. Maar dan is de som van de hoeken groter dan 180 graden. Maar dat kan niet, want volgens de stelling is de som van de hoeken van een driehoek 180 ° - niet meer en niet minder. Dit moest worden bewezen.
Buitenhoekwoning
Wat is de som van de hoeken van een driehoek die uitwendig zijn? Deze vraag kan op twee manieren worden beantwoord. De eerste is dat het nodig is om de som van de hoeken te vinden, die bij elk hoekpunt één worden genomen, dat wil zeggen drie hoeken. De tweede houdt in dat je de som van alle zes hoeken op de hoekpunten moet vinden. Laten we eerst de eerste optie behandelen. De driehoek bevat dus zes uitwendige hoeken - twee bij elk hoekpunt.
Elk paar heeft gelijke hoeken omdat ze verticaal zijn:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Bovendien is het bekend dat de externe hoek van een driehoek gelijk is aan de som van twee interne hoeken die de driehoek niet snijden. Daarom
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Hieruit blijkt dat de som van externehoeken, die bij elk hoekpunt één worden genomen, zijn gelijk aan:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Aangezien de som van de hoeken 180 graden is, kan worden gesteld dat ∟A + ∟B + ∟C=180°. En dit betekent dat ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Als de tweede optie wordt gebruikt, is de som van de zes hoeken respectievelijk twee keer zo groot. Dat wil zeggen, de som van de externe hoeken van de driehoek zal zijn:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Rechtse driehoek
Wat is de som van de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek? Het antwoord op deze vraag volgt wederom uit de stelling, die stelt dat de hoeken in een driehoek optellen tot 180 graden. En onze uitspraak (eigenschap) klinkt als volgt: in een rechthoekige driehoek tellen scherpe hoeken op tot 90 graden. Laten we de waarheid ervan bewijzen.
Laten we een driehoek KMN krijgen, waarin ∟Н=90°. Het is noodzakelijk om te bewijzen dat ∟K + ∟M=90°.
Dus, volgens de hoeksomstelling ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Onze voorwaarde zegt dat ∟Н=90°. Het blijkt dus dat ∟K + ∟M + 90°=180°. Dat wil zeggen, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Dat moesten we bewijzen.
Naast de bovenstaande eigenschappen van een rechthoekige driehoek, kunt u het volgende toevoegen:
- hoeken die tegen de benen liggen zijn scherp;
- de hypotenusa is meer driehoekig dan een van de poten;
- de som van de benen is groter dan de hypotenusa;
- beeneen driehoek die tegenover een hoek van 30 graden ligt, is de helft van de hypotenusa, dat wil zeggen gelijk aan de helft ervan.
Als een andere eigenschap van deze geometrische figuur kan de stelling van Pythagoras worden onderscheiden. Ze stelt dat in een driehoek met een hoek van 90 graden (rechthoekig), de som van de kwadraten van de benen gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa.
De som van de hoeken van een gelijkbenige driehoek
Eerder zeiden we dat gelijkbenige een veelhoek is met drie hoekpunten, met twee gelijke zijden. Deze eigenschap van een bepaalde geometrische figuur is bekend: de hoeken aan de basis zijn gelijk. Laten we het bewijzen.
Neem de driehoek KMN, die gelijkbenig is, KN is de basis.
We moeten bewijzen dat ∟К=∟Н. Laten we dus zeggen dat MA de bissectrice is van onze driehoek KMN. De MCA-driehoek, rekening houdend met het eerste teken van gelijkheid, is gelijk aan de MCA-driehoek. Namelijk, onder voorwaarde wordt gegeven dat KM=NM, MA een gemeenschappelijke zijde is, ∟1=∟2, aangezien MA een bissectrice is. Gebruikmakend van het feit dat deze twee driehoeken gelijk zijn, kunnen we stellen dat ∟K=∟Н. Dus de stelling is bewezen.
Maar we zijn geïnteresseerd in wat de som is van de hoeken van een driehoek (gelijkbenig). Aangezien het in dit opzicht geen eigen bijzonderheden heeft, zullen we uitgaan van de eerder besproken stelling. Dat wil zeggen, we kunnen zeggen dat ∟K + ∟M + ∟H=180°, of 2 x ∟K + ∟M=180° (sinds ∟K=∟H). We zullen deze eigenschap niet bewijzen, omdat de stelling van de driehoekssom zelf eerder is bewezen.
Behalve zoals besprokeneigenschappen over de hoeken van een driehoek, zijn er ook zulke belangrijke uitspraken:
- in een gelijkbenige driehoek is de hoogte die naar de basis is verlaagd zowel de mediaan, de bissectrice van de hoek tussen gelijke zijden, als de symmetrie-as van de basis;
- medianen (bissectrices, hoogten) die naar de zijkanten van zo'n geometrische figuur worden getrokken, zijn gelijk.
Gelijkzijdige driehoek
Het wordt ook wel rechts genoemd, het is de driehoek met alle zijden gelijk. Daarom zijn de hoeken ook gelijk. Elk is 60 graden. Laten we deze eigenschap bewijzen.
Veronderstel dat we een driehoek KMN hebben. We weten dat KM=NM=KN. En dit betekent dat volgens de eigenschap van de hoeken aan de basis in een gelijkbenige driehoek, ∟К=∟М=∟Н. Aangezien volgens de stelling de som van de hoeken van een driehoek ∟К + ∟М + ∟Н=180° is, dan is 3 x ∟К=180° of ∟К=60°, ∟М=60°, ∟=60°. De stelling is dus bewezen.
Zoals je kunt zien aan het bovenstaande bewijs op basis van de stelling, is de som van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek, net als de som van de hoeken van elke andere driehoek, 180 graden. Het is niet nodig om deze stelling opnieuw te bewijzen.
Er zijn ook dergelijke eigenschappen die kenmerkend zijn voor een gelijkzijdige driehoek:
- mediaan, bissectrice, hoogte in zo'n geometrische figuur zijn hetzelfde, en hun lengte wordt berekend als (a x √3): 2;
- als je een cirkel rond een gegeven polygoon beschrijft, dan zal zijn straal zijnis gelijk aan (a x √3): 3;
- als je een cirkel omschrijft in een gelijkzijdige driehoek, dan is de straal (a x √3): 6;
- de oppervlakte van deze geometrische figuur wordt berekend met de formule: (a2 x √3): 4.
Dubbelhoekige driehoek
Volgens de definitie van een stompe driehoek ligt een van de hoeken tussen 90 en 180 graden. Maar aangezien de andere twee hoeken van deze geometrische figuur scherp zijn, kunnen we concluderen dat ze niet groter zijn dan 90 graden. Daarom werkt de stelling van de driehoeksom van hoeken bij het berekenen van de som van hoeken in een stompe driehoek. Het blijkt dat we op basis van de bovengenoemde stelling gerust kunnen stellen dat de som van de hoeken van een stompe driehoek 180 graden is. Nogmaals, deze stelling hoeft niet opnieuw te worden bewezen.
