Elke student heeft gehoord van een ronde kegel en stelt zich voor hoe deze driedimensionale figuur eruit ziet. Dit artikel definieert de ontwikkeling van een kegel, biedt formules die de kenmerken ervan beschrijven en beschrijft hoe deze te construeren met behulp van een kompas, gradenboog en liniaal.
Cirkelkegel in geometrie
Laten we een geometrische definitie van deze figuur geven. Een ronde kegel is een oppervlak dat wordt gevormd door rechte lijnsegmenten die alle punten van een bepaalde cirkel verbinden met een enkel punt in de ruimte. Dit ene punt mag niet behoren tot het vlak waarin de cirkel ligt. Als we een cirkel nemen in plaats van een cirkel, dan leidt deze methode ook tot een kegel.
De cirkel wordt de basis van de figuur genoemd, de omtrek is de richtlijn. De segmenten die het punt met de richtlijn verbinden, worden beschrijvende lijnen of generatoren genoemd, en het punt waar ze elkaar snijden is het hoekpunt van de kegel.
Ronde kegel kan recht en schuin zijn. Beide figuren worden weergegeven in de onderstaande afbeelding.
Het verschil tussen beide is dit: als de loodlijn vanaf de bovenkant van de kegel precies naar het midden van de cirkel v alt, dan zal de kegel recht zijn. Voor hem maakt de loodlijn, die de hoogte van de figuur wordt genoemd, deel uit van zijn as. Bij een schuine kegel vormen de hoogte en de as een scherpe hoek.
Vanwege de eenvoud en symmetrie van de figuur zullen we de eigenschappen van alleen een rechte kegel met een ronde basis verder in overweging nemen.
Een vorm krijgen met behulp van rotatie
Alvorens verder te gaan met de ontwikkeling van het oppervlak van een kegel, is het nuttig om te weten hoe deze ruimtelijke figuur kan worden verkregen met behulp van rotatie.
Stel dat we een rechthoekige driehoek hebben met zijden a, b, c. De eerste twee zijn benen, c is de hypotenusa. Laten we een driehoek op been a plaatsen en deze rond been b gaan draaien. De hypotenusa c zal dan een conisch oppervlak beschrijven. Deze eenvoudige kegeltechniek wordt weergegeven in het onderstaande diagram.
Het is duidelijk dat been a de straal van de basis van de figuur is, been b de hoogte en de hypotenusa c komt overeen met de beschrijvende lijn van een ronde rechterkegel.
Gezicht op de ontwikkeling van de kegel
Zoals je zou kunnen raden, wordt de kegel gevormd door twee soorten oppervlakken. Een daarvan is een platte basiscirkel. Stel dat het een straal r heeft. Het tweede oppervlak is lateraal en wordt conisch genoemd. Laat zijn generator gelijk zijn aan g.
Als we een papieren kegel hebben, kunnen we een schaar nemen en de basis ervan afsnijden. Vervolgens moet het conische oppervlak worden gesnedenlangs een willekeurige generatrix en zet deze in het vliegtuig. Op deze manier kregen we een ontwikkeling van het laterale oppervlak van de kegel. De twee oppervlakken, samen met de originele kegel, worden weergegeven in het onderstaande diagram.
De basiscirkel is rechtsonder afgebeeld. Het ongevouwen conische oppervlak wordt in het midden getoond. Het blijkt dat het overeenkomt met een cirkelsector van de cirkel, waarvan de straal gelijk is aan de lengte van de beschrijvende g.
Hoek- en vlakbereik
Nu krijgen we formules waarmee we, met behulp van de bekende parameters g en r, de oppervlakte en hoek van de kegel kunnen berekenen.
Het is duidelijk dat de boog van de cirkelsector die hierboven in de figuur wordt getoond een lengte heeft die gelijk is aan de omtrek van de basis, dat wil zeggen:
l=2pir.
Als de hele cirkel met straal g zou worden gebouwd, dan zou de lengte zijn:
L=2pig.
Aangezien de lengte L overeenkomt met 2pi radialen, kan de hoek waarop de boog l rust bepaald worden uit de overeenkomstige verhouding:
L==>2pi;
l==> φ.
Dan is de onbekende hoek φ gelijk aan:
φ=2pil/L.
Door de uitdrukkingen voor de lengtes l en L te vervangen, komen we tot de formule voor de ontwikkelingshoek van het mantelvlak van de kegel:
φ=2pir/g.
De hoek φ wordt hier uitgedrukt in radialen.
Om de oppervlakte Sb van een circulaire sector te bepalen, gebruiken we de gevonden waarde van φ. We maken nog een verhouding, alleen voor de gebieden. We hebben:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Van waaruit Sb moet worden uitgedrukt, en vervang dan de waarde van de hoek φ. We krijgen:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Voor het gebied van een conisch oppervlak hebben we een vrij compacte formule verkregen. De waarde van Sb is gelijk aan het product van drie factoren: pi, de straal van de figuur en zijn beschrijvende.
Dan is de oppervlakte van het gehele oppervlak van de figuur gelijk aan de som van Sb en So (circulaire basisgebied). We krijgen de formule:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Een kegel op papier bouwen
Om deze taak te voltooien heb je een stuk papier, een potlood, een gradenboog, een liniaal en een kompas nodig.
Laten we eerst een rechthoekige driehoek tekenen met zijden van 3 cm, 4 cm en 5 cm. De rotatie rond het been van 3 cm geeft de gewenste kegel. Het cijfer heeft r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Het bouwen van een sweep begint met het tekenen van een cirkel met straal r met een kompas. De lengte is gelijk aan 6pi cm Nu zullen we ernaast nog een cirkel tekenen, maar met een straal g. De lengte komt overeen met 10pi cm Nu moeten we een cirkelvormige sector van een grote cirkel afsnijden. De hoek φ is:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Nu zetten we deze hoek opzij met een gradenboog op een cirkel met straal g en tekenen we twee stralen die de cirkelsector zullen begrenzen.
SoZo hebben we een ontwikkeling van de kegel gebouwd met de gespecificeerde parameters van straal, hoogte en beschrijvende lijn.
Een voorbeeld van het oplossen van een meetkundig probleem
Gegeven een ronde rechte kegel. Het is bekend dat de hoek van zijn zijwaartse beweging 120o is. Het is noodzakelijk om de straal en de beschrijvende lijn van deze figuur te vinden, als bekend is dat de hoogte h van de kegel 10 cm is.
De taak is niet moeilijk als we bedenken dat een ronde kegel een rotatiefiguur is van een rechthoekige driehoek. Uit deze driehoek volgt een eenduidige relatie tussen hoogte, straal en beschrijvende lijn. Laten we de bijbehorende formule schrijven:
g2=h2+ r2.
De tweede uitdrukking die bij het oplossen moet worden gebruikt, is de formule voor de hoek φ:
φ=2pir/g.
We hebben dus twee vergelijkingen die betrekking hebben op twee onbekende grootheden (r en g).
Druk g uit de tweede formule uit en vervang het resultaat in de eerste, we krijgen:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Hoek φ=120o in radialen is 2pi/3. We vervangen deze waarde, we krijgen de uiteindelijke formules voor r en g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Het blijft om de hoogtewaarde te vervangen en het antwoord op de probleemvraag te krijgen: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
