Velen, geconfronteerd met het concept van 'waarschijnlijkheidstheorie', zijn bang en denken dat dit iets overweldigends, zeer complexs is. Maar zo tragisch is het allemaal niet. Vandaag zullen we het basisconcept van kansrekening beschouwen, leren hoe problemen op te lossen met behulp van specifieke voorbeelden.
Wetenschap
Wat bestudeert zo'n tak van wiskunde als 'waarschijnlijkheidstheorie'? Het merkt patronen van willekeurige gebeurtenissen en hoeveelheden op. Voor het eerst raakten wetenschappers in deze kwestie geïnteresseerd in de achttiende eeuw, toen ze gokken bestudeerden. Het basisconcept van de kansrekening is een gebeurtenis. Het is elk feit dat door ervaring of observatie wordt vastgesteld. Maar wat is ervaring? Een ander basisconcept van kansrekening. Het betekent dat deze samenstelling van omstandigheden niet door toeval is ontstaan, maar met een specifiek doel. Wat observatie betreft, hier neemt de onderzoeker zelf niet deel aan het experiment, maar is hij gewoon getuige van deze gebeurtenissen, hij heeft op geen enkele manier invloed op wat er gebeurt.
Evenementen
We hebben geleerd dat het basisconcept van kansrekening een gebeurtenis is, maar hebben geen rekening gehouden met de classificatie. Ze zijn allemaal onderverdeeld in de volgende categorieën:
- Betrouwbaar.
- Onmogelijk.
- Willekeurig.
Maakt niet uitwat voor soort gebeurtenissen in de loop van de ervaring worden waargenomen of gecreëerd, ze vallen allemaal onder deze classificatie. We bieden aan om met elk van de soorten apart kennis te maken.
Bepaalde gebeurtenis
Dit is een omstandigheid waarvoor de nodige maatregelen zijn genomen. Om de essentie beter te begrijpen, is het beter om enkele voorbeelden te geven. Natuurkunde, scheikunde, economie en hogere wiskunde zijn onderworpen aan deze wet. Kansrekening omvat zo'n belangrijk concept als een bepaalde gebeurtenis. Hier zijn enkele voorbeelden:
- We werken en krijgen een vergoeding in de vorm van loon.
- We zijn geslaagd voor de examens, geslaagd voor de wedstrijd, hiervoor ontvangen we een beloning in de vorm van toelating tot een onderwijsinstelling.
- We hebben geld in de bank geïnvesteerd, we zullen het zo nodig terugkrijgen.
Dergelijke gebeurtenissen zijn betrouwbaar. Als we aan alle noodzakelijke voorwaarden hebben voldaan, zullen we zeker het verwachte resultaat krijgen.
Onmogelijke gebeurtenissen
Nu overwegen we elementen van de kansrekening. We stellen voor om over te gaan tot een verklaring van het volgende type gebeurtenis, namelijk het onmogelijke. Laten we eerst de belangrijkste regel specificeren - de kans op een onmogelijke gebeurtenis is nul.
Je kunt bij het oplossen van problemen niet van deze formulering afwijken. Ter verduidelijking, hier zijn voorbeelden van dergelijke gebeurtenissen:
- Water bevroor bij plus tien (dat is onmogelijk).
- Het gebrek aan elektriciteit heeft op geen enkele manier invloed op de productie (net zo onmogelijk als in het vorige voorbeeld).
Meer voorbeeldenHet is niet de moeite waard om te citeren, aangezien de hierboven beschreven zeer duidelijk de essentie van deze categorie weerspiegelen. De onmogelijke gebeurtenis zal onder geen enkele omstandigheid tijdens de ervaring plaatsvinden.
Willekeurige gebeurtenissen
Bij het bestuderen van de elementen van de kansrekening moet speciale aandacht worden besteed aan dit specifieke type gebeurtenis. Dat is wat de wetenschap bestudeert. Door ervaring kan er wel of niet iets gebeuren. Bovendien kan de test een onbeperkt aantal keren worden herhaald. Levendige voorbeelden zijn:
- Een munt opgooien is een ervaring, of een test, koersen is een gebeurtenis.
- Blind een bal uit een zak trekken is een test, een rode bal vangen is een gebeurtenis enzovoort.
Er kan een onbeperkt aantal van dergelijke voorbeelden zijn, maar over het algemeen moet de essentie duidelijk zijn. Om de opgedane kennis over evenementen samen te vatten en te systematiseren, wordt een tabel gegeven. Kansrekening bestudeert alleen het laatste type van alle gepresenteerde.
| titel | definitie | voorbeeld |
| Betrouwbaar | Evenementen die plaatsvinden met 100% garantie onder bepaalde voorwaarden. | Toelating tot een onderwijsinstelling met een goed toelatingsexamen. |
| Onmogelijk | Evenementen die onder geen enkele omstandigheid zullen plaatsvinden. | Het sneeuwt bij een temperatuur van plus dertig graden Celsius. |
| Willekeurig | Een gebeurtenis die al dan niet plaatsvindt tijdens een experiment/test. | Sla of mis bij het gooien van een basketbal in de ring. |
Wetten
Kansrekening is een wetenschap die de mogelijkheid bestudeert dat een gebeurtenis plaatsvindt. Net als de anderen heeft het enkele regels. Er zijn de volgende wetten van kansrekening:
- Convergentie van reeksen willekeurige variabelen.
- De wet van de grote getallen.
Bij het berekenen van de mogelijkheid van een complex, kunt u een complex van eenvoudige gebeurtenissen gebruiken om het resultaat op een eenvoudigere en snellere manier te bereiken. Merk op dat de wetten van de waarschijnlijkheidstheorie gemakkelijk kunnen worden bewezen met behulp van enkele stellingen. Laten we beginnen met de eerste wet.
Convergentie van reeksen willekeurige variabelen
Merk op dat er verschillende soorten convergentie zijn:
- De reeks willekeurige variabelen convergeert in waarschijnlijkheid.
- Bijna onmogelijk.
- RMS-convergentie.
- Convergentie in distributie.
Dus, terloops, is het erg moeilijk om het tot op de bodem uit te zoeken. Hier zijn enkele definities om u te helpen dit onderwerp te begrijpen. Laten we beginnen met de eerste blik. Een rij wordt in waarschijnlijkheid convergent genoemd als aan de volgende voorwaarde is voldaan: n neigt naar oneindig, het getal waarnaar de rij neigt is groter dan nul en benadert één.
Naar de volgende weergave gaan, vrijwel zeker. Zij zeggen datde rij convergeert vrijwel zeker naar een willekeurige variabele waarbij n neigt naar oneindig en P neigt naar een waarde die dicht bij één ligt.
Het volgende type is wortel-gemiddelde-kwadraat convergentie. Bij gebruik van SC-convergentie wordt de studie van willekeurige vectorprocessen gereduceerd tot de studie van hun gecoördineerde willekeurige processen.
Het laatste type blijft, laten we er even naar kijken om direct door te gaan met het oplossen van problemen. Distributieconvergentie heeft een andere naam - "zwak", we zullen hieronder uitleggen waarom. Zwakke convergentie is de convergentie van verdelingsfuncties op alle continuïteitspunten van de limietverdelingsfunctie.
Zorg ervoor dat u de belofte nakomt: zwakke convergentie verschilt van al het bovenstaande doordat de willekeurige variabele niet is gedefinieerd in de kansruimte. Dit is mogelijk omdat de voorwaarde uitsluitend wordt gevormd met behulp van distributiefuncties.
Wet van de grote getallen
Uitstekende helpers bij het bewijzen van deze wet zijn stellingen van kansrekening, zoals:
- Chebyshev's ongelijkheid.
- Theorema van Chebyshev.
- Gegeneraliseerde stelling van Chebyshev.
- De stelling van Markov.
Als we al deze stellingen in overweging nemen, kan deze vraag tientallen vellen aanslepen. Onze belangrijkste taak is om de kansrekening in de praktijk toe te passen. We nodigen je uit om dit nu te doen. Maar laten we eerst eens kijken naar de axioma's van de waarschijnlijkheidstheorie, zij zullen de belangrijkste assistenten zijn bij het oplossen van problemen.
Axioma's
We hebben de eerste al ontmoet toen we het hadden over de onmogelijke gebeurtenis. Laten we niet vergeten: de kans op een onmogelijke gebeurtenis is nul. We gaven een heel levendig en gedenkwaardig voorbeeld: het sneeuwde bij een luchttemperatuur van dertig graden Celsius.
De tweede klinkt als volgt: er vindt een betrouwbare gebeurtenis plaats met een kans gelijk aan één. Laten we nu laten zien hoe het te schrijven met behulp van wiskundige taal: P(B)=1.
Derde: Een willekeurige gebeurtenis kan al dan niet plaatsvinden, maar de mogelijkheid varieert altijd van nul tot één. Hoe dichter de waarde bij één ligt, hoe groter de kans; als de waarde nul nadert, is de kans erg klein. Laten we dit in wiskundige taal schrijven: 0<Р(С)<1.
Laten we eens kijken naar het laatste, vierde axioma, dat zo klinkt: de kans op de som van twee gebeurtenissen is gelijk aan de som van hun kansen. We schrijven in wiskundige taal: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
De axioma's van kansrekening zijn de eenvoudigste regels die gemakkelijk te onthouden zijn. Laten we proberen een aantal problemen op te lossen op basis van de reeds opgedane kennis.
Loterijticket
Beschouw eerst het eenvoudigste voorbeeld - de loterij. Stel je voor dat je één lot hebt gekocht voor geluk. Wat is de kans dat je minstens twintig roebel wint? In totaal nemen duizend kaartjes deel aan de omloop, waarvan er één een prijs heeft van vijfhonderd roebel, tien van honderd roebel, vijftig van twintig roebel en honderd van vijf. Problemen in de kansrekening zijn gebaseerd op het vinden van de mogelijkheidveel geluk. Nu zullen we samen de oplossing van de hierboven gepresenteerde taak analyseren.
Als we met de letter A een overwinning van vijfhonderd roebel aanduiden, dan is de kans om A te krijgen 0,001. Hoe zijn we aan die winst gekomen? Je hoeft alleen het aantal "gelukstickets" te delen door hun totale aantal (in dit geval: 1/1000).
B is een overwinning van honderd roebel, de kans is 0,01. Nu handelden we volgens hetzelfde principe als in de vorige actie (10/1000)
C - de winst is gelijk aan twintig roebel. Vind de kans, deze is gelijk aan 0,05.
De rest van de tickets zijn voor ons niet interessant, omdat hun prijzengeld lager is dan het bedrag dat in de voorwaarde wordt vermeld. Laten we het vierde axioma toepassen: de kans om ten minste twintig roebel te winnen is P(A)+P(B)+P(C). De letter P geeft de waarschijnlijkheid van het optreden van deze gebeurtenis aan, we hebben ze al gevonden in de vorige stappen. Het blijft alleen om de benodigde gegevens toe te voegen, in het antwoord krijgen we 0, 061. Dit nummer zal het antwoord zijn op de vraag van de opdracht.
Kaartspel
Probabiliteitstheorieproblemen kunnen complexer zijn, neem bijvoorbeeld de volgende taak. Voor je ligt een pak van zesendertig kaarten. Het is jouw taak om twee kaarten achter elkaar te trekken zonder de stapel te vermengen, de eerste en tweede kaart moeten azen zijn, de kleur maakt niet uit.
Laten we eerst de kans bepalen dat de eerste kaart een aas is, hiervoor delen we vier door zesendertig. Ze legden het opzij. We nemen de tweede kaart, het zal een aas zijn met een kans van drie vijfendertigste. De kans op de tweede gebeurtenis hangt af van welke kaart we als eerste hebben getrokken, waarin we geïnteresseerd zijnwas het een aas of niet. Hieruit volgt dat gebeurtenis B afhangt van gebeurtenis A.
De volgende stap is om de kans op gelijktijdige implementatie te vinden, dat wil zeggen, we vermenigvuldigen A en B. Hun product wordt als volgt gevonden: de kans op een gebeurtenis wordt vermenigvuldigd met de voorwaardelijke kans op een andere, die we berekenen, ervan uitgaande dat de eerste gebeurtenis plaatsvond, dat wil zeggen dat we met de eerste kaart een aas hebben getrokken.
Om alles duidelijk te maken, laten we een aanduiding geven aan zo'n element als de voorwaardelijke kans op een gebeurtenis. Het wordt berekend in de veronderstelling dat gebeurtenis A heeft plaatsgevonden. Als volgt berekend: P(B/A).
Ga door met het oplossen van ons probleem: P(AB)=P(A)P(B/A) of P (AB)=P(B)P(A/B). De kans is (4/36)((3/35)/(4/36). Berekenen door af te ronden op honderdsten. We hebben: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. De kans dat we twee azen achter elkaar trekken is negenhonderdste De waarde is erg klein, hieruit volgt dat de kans dat de gebeurtenis zich voordoet extreem klein is.
Vergeten nummer
We stellen voor om nog een paar opties te analyseren voor taken die worden bestudeerd door kansrekening. Je hebt in dit artikel al voorbeelden gezien van het oplossen van een aantal van hen, laten we proberen het volgende probleem op te lossen: de jongen vergat het laatste cijfer van het telefoonnummer van zijn vriend, maar omdat de oproep erg belangrijk was, begon hij alles om de beurt te bellen. We moeten de kans berekenen dat hij niet meer dan drie keer zal bellen. De oplossing voor het probleem is de eenvoudigste als de regels, wetten en axioma's van de kansrekening bekend zijn.
Voor het kijkenoplossing, probeer het zelf op te lossen. We weten dat het laatste cijfer van nul tot negen kan zijn, dat wil zeggen dat er in totaal tien waarden zijn. De kans om de juiste te krijgen is 1/10.
Vervolgens moeten we opties overwegen voor de oorsprong van de gebeurtenis, stel dat de jongen goed geraden heeft en meteen de juiste scoorde, de kans op zo'n gebeurtenis is 1/10. De tweede optie: de eerste oproep is een misser en de tweede is op schema. We berekenen de kans op zo'n gebeurtenis: vermenigvuldig 9/10 met 1/9, waardoor we ook 1/10 krijgen. De derde optie: het eerste en tweede telefoontje bleken op het verkeerde adres te zijn, pas vanaf de derde kwam de jongen waar hij wilde. We berekenen de kans op zo'n gebeurtenis: we vermenigvuldigen 9/10 met 8/9 en met 1/8 krijgen we 1/10 als resultaat. Volgens de toestand van het probleem zijn we niet geïnteresseerd in andere opties, dus het blijft aan ons om de resultaten op te tellen, met als resultaat 3/10. Antwoord: De kans dat de jongen niet meer dan drie keer belt is 0,3.
Kaarten met cijfers
Er liggen negen kaarten voor je, op elk waarvan een nummer van één tot negen is geschreven, de nummers worden niet herhaald. Ze werden in een doos geplaatst en grondig gemengd. U moet de kans berekenen dat
- een even getal zal verschijnen;
- tweecijferig.
Voordat we verder gaan met de oplossing, stellen we vast dat m het aantal succesvolle gevallen is en n het totale aantal opties. Bereken de kans dat het getal even is. Het zal niet moeilijk zijn om te berekenen dat er vier even getallen zijn, dit zal onze m zijn, er zijn in totaal negen opties, dat wil zeggen, m=9. Dan is de kansis gelijk aan 0, 44 of 4/9.
Beschouw het tweede geval: het aantal opties is negen en er kunnen helemaal geen succesvolle resultaten zijn, dat wil zeggen, m is gelijk aan nul. De kans dat de getrokken kaart een getal van twee cijfers bevat, is ook nul.
