Het vijfhoekige prisma bij het oplossen van problemen in de meetkunde komt veel minder vaak voor dan prisma's als driehoekig, vierhoekig of zeshoekig. Desalniettemin is het handig om de basiseigenschappen van deze vorm te bekijken en te leren hoe je deze kunt tekenen.
Wat is een vijfhoekig prisma?
Dit is een driedimensionale figuur waarvan de basis vijfhoeken zijn en de zijkanten parallellogrammen. Als elk van deze parallellogrammen loodrecht op de parallelle basen staat, wordt zo'n prisma rechthoekig genoemd. Het zijoppervlak van een rechthoekig vijfhoekig prisma bestaat uit vijf rechthoeken. Bovendien is de zijde die grenst aan de basis van elk van hen gelijk aan de overeenkomstige lengte van de zijde van de vijfhoek.
Als de vijfhoek regelmatig is, dat wil zeggen dat alle zijden en hoeken gelijk zijn aan elkaar, dan wordt zo'n rechthoekig prisma regelmatig genoemd. Verderop in het artikel zullen we de eigenschappen van deze specifieke figuur bekijken.
Prisma-elementen
Voor haar, zoals voor elk prisma,de volgende elementen zijn kenmerkend:
- gezichten of zijkanten zijn delen van vlakken die een figuur in de ruimte begrenzen;
- tops - snijpunten van drie zijden;
- ribben - segmenten van het snijpunt van twee zijden van de figuur.
De nummers van alle genoemde elementen zijn aan elkaar gerelateerd door de volgende gelijkheid:
Aantal randen=aantal hoekpunten + aantal vlakken - 2
Deze uitdrukking wordt de Euler-formule voor het veelvlak genoemd.
In een vijfhoekig prisma is het aantal zijden zeven (twee basen + vijf rechthoeken). Het aantal pieken is 10 (vijf voor elke basis). Het aantal randen is in dit geval:
Aantal ribben=10 + 7 - 2=15
Tien randen behoren tot de basis van het prisma en vijf randen worden gevormd door rechthoeken.
Hoe teken je een vijfhoekig prisma?
Het antwoord op deze vraag hangt af van de specifieke taak. Als het nodig is om een willekeurig prisma te tekenen, moet elke vijfhoek worden getekend. Trek daarna vijf evenwijdige segmenten van gelijke lengte vanaf elk hoekpunt van de vijfhoek. Verbind vervolgens de bovenste uiteinden van de segmenten. Het resultaat is een vijfhoekig willekeurig prisma.
Als het nodig is om een regelmatig prisma te tekenen, komt de hele complexiteit van de taak neer op het verkrijgen van een regelmatige vijfhoek. Er zijn verschillende manieren om deze veelhoek te tekenen. Hier zullen we slechts twee manieren bekijken.
De eerste manier is om een cirkel te tekenen met een kompas. Vervolgens wordt een willekeurige diameter getekendcirkel en vijf hoeken worden geteld met behulp van een gradenboog op 72o(572o=360o). Bij het tellen van elke hoek wordt een inkeping in de cirkel gemaakt. Om een rechthoek te bouwen, blijft het om de gemarkeerde inkepingen te verbinden met rechte segmenten.
De tweede methode omvat het gebruik van alleen een kompas en een liniaal. Het is enigszins ingewikkeld in vergelijking met het vorige. Hieronder vindt u een video waarin elke stap van deze build in detail wordt uitgelegd.
Merk op dat het gemakkelijk is om een vijfhoek te tekenen als je de uiteinden van de ster met elkaar verbindt. Als het niet nodig is om een exact regelmatige vijfhoek te tekenen, kunt u de met de hand getekende stermethode gebruiken.
Zodra de vijfhoek is getekend, trekt u vijf identieke parallelle segmenten van elk van zijn hoekpunten en verbindt u hun hoekpunten. Het resultaat is een vijfhoekig prisma.
Vormgebied
Overweeg nu hoe u het gebied van een vijfhoekig prisma kunt vinden. Onderstaande figuur laat de ontwikkeling zien. Het is te zien dat het vereiste gebied wordt gevormd door twee identieke vijfhoeken en vijf rechthoeken die gelijk zijn aan elkaar.
De oppervlakte van het gehele oppervlak van de figuur wordt uitgedrukt door de formule:
S=2So+ 5Sp
Hier betekenen de indices o en p respectievelijk de basis en de rechthoek. Laten we de lengte van de zijde van de vijfhoek noteren als a, en de hoogte van de figuur als h. Dan schrijven we voor de rechthoek:
Sp=ah
Om de oppervlakte van een vijfhoek te berekenen,gebruik de universele formule:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Waarbij n het aantal zijden van de veelhoek is. Als we n=5 vervangen, krijgen we:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
De nauwkeurigheid van de resulterende gelijkheid is 3 decimalen, wat voldoende is om eventuele problemen op te lossen.
Nu moet je de som van de verkregen gebieden van de basis en het zijoppervlak vinden. We hebben:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Houd er rekening mee dat de resulterende formule alleen geldig is voor een rechthoekig prisma. In het geval van een schuine figuur, wordt het gebied van het zijoppervlak gevonden op basis van kennis van de omtrek van de snede, die loodrecht op alle parallellogrammen moet staan.
Het volume van de figuur
De formule voor het berekenen van het volume van een vijfhoekig prisma verschilt niet van een vergelijkbare uitdrukking voor een ander prisma of cilinder. Het volume van een figuur is gelijk aan het product van de hoogte en de oppervlakte van de basis:
V=Soh
Als het betreffende prisma rechthoekig is, dan is de hoogte de lengte van de rand gevormd door de rechthoeken. Het gebied van een regelmatige vijfhoek is hierboven met hoge nauwkeurigheid berekend. Vervang deze waarde in de formule voor volume en verkrijg de noodzakelijke uitdrukking voor een regelmatig vijfhoekig prisma:
V=1, 72a2h
Dus volume en oppervlakte berekeneneen regelmatig vijfhoekig prisma is mogelijk als de zijde van de basis en de hoogte van de figuur bekend zijn.
