Hoe de cosinusderivaat wordt afgeleid

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 05:37

De afgeleide van de cosinus wordt gevonden door analogie met de afgeleide van de sinus, de basis van het bewijs is de definitie van de limiet van de functie. U kunt een andere methode gebruiken, met behulp van de trigonometrische reductieformules voor de cosinus en sinus van hoeken. Druk de ene functie uit in termen van een andere - cosinus in termen van sinus, en differentieer de sinus met een complex argument.

Beschouw het eerste voorbeeld van het afleiden van de formule (Cos(x))'

Geef een verwaarloosbaar kleine toename Δx aan het argument x van de functie y=Cos(x). Met een nieuwe waarde van het argument х+Δх krijgen we een nieuwe waarde van de functie Cos(х+Δх). Dan is de functieverhoging Δy gelijk aan Cos(х+Δx)-Cos(x).

De verhouding van de functieverhoging tot Δх is: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Laten we identieke transformaties uitvoeren in de teller van de resulterende breuk. Denk aan de formule voor het verschil in de cosinus van de hoeken, het resultaat is het product -2Sin (Δx / 2) maal Sin (x + Δx / 2). We vinden de limiet van het quotiënt lim van dit product op Δx aangezien Δx naar nul neigt. Het is bekend dat de eerste(het wordt geweldig genoemd) de limiet lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) is gelijk aan 1, en de limiet -Sin(x+Δx/2) is gelijk aan -Sin(x) als Δx neigt naar nul. Schrijf het resultaat op: de afgeleide van (Cos(x))' is gelijk aan - Sin(x).

Sommige mensen geven de voorkeur aan de tweede manier om dezelfde formule af te leiden

Het is bekend uit het verloop van trigonometrie: Cos(x) is gelijk aan Sin(0, 5 ∏-x), zo is Sin(x) gelijk aan Cos(0, 5 ∏-x). Dan differentiëren we een complexe functie - de sinus van de extra hoek (in plaats van de cosinus x).

We krijgen het product Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', omdat de afgeleide van de sinus x is gelijk aan de cosinus X. We gaan naar de tweede formule Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) om cosinus te vervangen door sinus, rekening houdend met (0,5 ∏-x)'=-1. Nu krijgen we -Sin(x). Dus de afgeleide van de cosinus is gevonden, y'=-Sin(x) voor de functie y=Cos(x).

Kwadraat cosinus afgeleide

Een veelgebruikt voorbeeld waarbij het cosinusderivaat wordt gebruikt. De functie y=Cos²(x) is moeilijk. We zoeken eerst het differentieel van de machtsfunctie met exponent 2, het wordt 2·Cos(x), daarna vermenigvuldigen we het met de afgeleide (Cos(x))', die gelijk is aan -Sin(x). We krijgen y'=-2 Cos(x) Sin(x). Wanneer we de formule Sin(2x), de sinus van een dubbele hoek, toepassen, krijgen we de laatste vereenvoudigdeantwoord y'=-Sin(2x)

Hyperbolische functies

Ze worden gebruikt bij de studie van veel technische disciplines: in de wiskunde vergemakkelijken ze bijvoorbeeld de berekening van integralen, het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Ze worden uitgedrukt in termen van goniometrische functies met imaginaireargument, dus de cosinus hyperbolicus ch(x)=Cos(i x), waarbij i de denkbeeldige eenheid is, de sinus hyperbolicus sh(x)=Sin(i x).

De afgeleide van de cosinus hyperbolicus wordt heel eenvoudig berekend.

Beschouw de functie y=(e^x+e^-x) /2, dit en is de cosinus hyperbolicus ch(x). We gebruiken de regel om de afgeleide van de som van twee uitdrukkingen te vinden, de regel om de constante factor (Const) uit het teken van de afgeleide te halen. De tweede term 0,5 e^-x is een complexe functie (de afgeleide is -0,5 e^-x), 0,5 e^х ― de eerste termijn. (ch(x)) '=((e^x+e^-x)/2)' kan worden geschreven op een andere manier: (0, 5 e^x+0, 5 e^-x)'=0, 5 e ^x-0, 5 e^-x, omdat de afgeleide (e - x^{)' is gelijk aan -1 keer e}-x^{. Het resultaat is een verschil, en dit is de hyperbolische sinus sh(x).}Output: (ch(x))'=sh(x).

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van hoe bereken de afgeleide van de functie y=ch(x

3^+1).Volgens de hyperbolische cosinus-differentiatieregel met complex argument y'=sh(x

3^{+1) (x} 3^{+1)', waarbij (x}3^{+1)'=3 x} 2^+0. Antwoord: de afgeleide van deze functie is 3 x

2^sh(x3^+1).

Tabulaire afgeleiden van de beschouwde functies y=ch(x) en y=Cos(x)

Bij het oplossen van voorbeelden is het niet nodig om ze telkens te differentiëren volgens het voorgestelde schema, het is voldoende om de gevolgtrekking te gebruiken.

Voorbeeld. Differentieer de functie y=Cos(x)+Cos²(-x)-Ch(5 x). Eenvoudig te berekenen (gebruik tabelgegevens), y'=-Sin(x) +Zonde(2x)-5 Sh(5x).