Geometrie is een tak van de wiskunde die structuren in de ruimte en de relatie daartussen bestudeert. Het bestaat op zijn beurt ook uit secties, en een daarvan is stereometrie. Het voorziet in de studie van de eigenschappen van volumetrische figuren die zich in de ruimte bevinden: een kubus, een piramide, een bal, een kegel, een cilinder, enz.
Een kegel is een lichaam in de Euclidische ruimte dat een kegelvormig oppervlak begrenst en een vlak waarop de uiteinden van zijn generatoren liggen. Zijn vorming vindt plaats in het proces van rotatie van een rechthoekige driehoek rond een van zijn benen, daarom behoort het tot de omwentelingslichamen.
Kegelcomponenten
De volgende soorten kegels worden onderscheiden: schuin (of schuin) en recht. Schuin is degene waarvan de as het midden van de basis niet in een rechte hoek snijdt. Om deze reden v alt de hoogte in een dergelijke kegel niet samen met de as, omdat het een segment is dat van de bovenkant van het lichaam naar zijn vlak wordt verlaagdbasis op 90°.
Die kegel, waarvan de as loodrecht op zijn basis staat, wordt een rechte kegel genoemd. De as en hoogte in zo'n geometrisch lichaam vallen samen vanwege het feit dat het hoekpunt erin zich boven het midden van de basisdiameter bevindt.
De kegel bestaat uit de volgende elementen:
- De cirkel die de basis is.
- Zijkant.
- Een punt dat niet in het vlak van de basis ligt, de bovenkant van de kegel genoemd.
- Segmenten die de punten van de cirkel van de basis van het geometrische lichaam en zijn top verbinden.
Al deze segmenten zijn beschrijvende lijnen van de kegel. Ze hellen naar de basis van het geometrische lichaam en in het geval van een rechte kegel zijn hun projecties gelijk, aangezien het hoekpunt op gelijke afstand van de punten van de basiscirkel ligt. We kunnen dus concluderen dat in een regelmatige (rechte) kegel de generatoren gelijk zijn, dat wil zeggen dat ze dezelfde lengte hebben en dezelfde hoeken vormen met de as (of hoogte) en basis.
Aangezien in een schuin (of hellend) omwentelingslichaam het hoekpunt wordt verplaatst ten opzichte van het midden van het basisvlak, hebben de generatoren in zo'n lichaam verschillende lengtes en projecties, aangezien elk van hen op een andere afstand staat van twee willekeurige punten van de basiscirkel. Bovendien zullen de hoeken ertussen en de hoogte van de kegel ook anders zijn.
De lengte van de generatoren in een rechter kegel
Zoals eerder geschreven, staat de hoogte in een recht geometrisch omwentelingslichaam loodrecht op het vlak van de basis. De beschrijvende lijn, hoogte en straal van de basis creëren dus een rechthoekige driehoek in de kegel.
Dat wil zeggen, als je de straal van de basis en de hoogte kent, met behulp van de formule van de stelling van Pythagoras, kun je de lengte van de beschrijvende lijn berekenen, die gelijk zal zijn aan de som van de kwadraten van de basisstraal en hoogte:
l2 =r2+ h2 of l=√r 2 + h2
waar ik een generatrix is;
r – straal;
h – hoogte.
Generatief in een schuine kegel
Gebaseerd op het feit dat in een schuine of schuine kegel de generatoren niet dezelfde lengte hebben, is het niet mogelijk om ze te berekenen zonder aanvullende constructies en berekeningen.
Allereerst moet je de hoogte, de lengte van de as en de straal van de basis weten.
Met deze gegevens kun je het deel van de straal berekenen dat tussen de as en de hoogte ligt, met behulp van de formule uit de stelling van Pythagoras:
r1=√k2 - h2
waarbij r1 het deel van de straal is tussen de as en de hoogte;
k – aslengte;
h – hoogte.
Als resultaat van het optellen van de straal (r) en het deel dat tussen de as en de hoogte ligt (r1), kun je de volledige zijde van de rechter driehoek gevormd door de generatrix van de kegel, zijn hoogte en diameter deel:
R=r + r1
waarbij R het been is van de driehoek gevormd door de hoogte, de beschrijvende lijn en een deel van de diameter van de basis;
r – basisradius;
r1 – deel van de straal tussen de as en de hoogte.
Met dezelfde formule uit de stelling van Pythagoras kun je de lengte van de beschrijvende lijn van de kegel vinden:
l=√h2+ R2
of, zonder R apart te berekenen, combineer de twee formules in één:
l=√h2 + (r + r1)2.
Ondanks of het een rechte of schuine kegel is en wat voor soort invoergegevens, alle methoden voor het vinden van de lengte van de beschrijvende lijn komen altijd neer op één resultaat - het gebruik van de stelling van Pythagoras.
Kegelsectie
Axiale doorsnede van een kegel is een vlak dat langs zijn as of hoogte gaat. In een rechte kegel is zo'n sectie een gelijkbenige driehoek, waarbij de hoogte van de driehoek de hoogte van het lichaam is, de zijkanten de generatoren en de basis de diameter van de basis. In een gelijkzijdig geometrisch lichaam is de axiale doorsnede een gelijkzijdige driehoek, aangezien in deze kegel de diameter van de basis en de generatoren gelijk zijn.
Het vlak van de axiale doorsnede in een rechte kegel is het vlak van zijn symmetrie. De reden hiervoor is dat de bovenkant zich boven het midden van de basis bevindt, dat wil zeggen dat het vlak van de axiale sectie de kegel in twee identieke delen verdeelt.
Omdat de hoogte en as niet overeenkomen in een hellend lichaam, is het mogelijk dat het vlak van de axiale sectie de hoogte niet omvat. Als het mogelijk is om een reeks axiale secties in zo'n kegel te construeren, aangezien hiervoor slechts één voorwaarde in acht moet worden genomen - deze mag alleen door de as gaan, dan slechts één axiale sectie van het vlak, die zal behoren tot de hoogte van deze kegel, kan worden getrokken, omdat het aantal voorwaarden toeneemt, en zoals bekend kunnen twee lijnen (samen) behoren totslechts één vliegtuig.
Sectiegebied
De axiale doorsnede van de eerder genoemde kegel is een driehoek. Op basis hiervan kan de oppervlakte worden berekend met behulp van de formule voor de oppervlakte van een driehoek:
S=1/2dh of S=1/22rh
waar S de dwarsdoorsnede is;
d – basisdiameter;
r – straal;
h – hoogte.
In een schuine of schuine kegel is de sectie langs de as ook een driehoek, dus het dwarsdoorsnede-oppervlak daarin wordt op dezelfde manier berekend.
Volume
Omdat een kegel een driedimensionale figuur in een driedimensionale ruimte is, kunnen we het volume ervan berekenen. Het volume van een kegel is een getal dat dit lichaam kenmerkt in een volume-eenheid, dat wil zeggen in m3. De berekening is niet afhankelijk van of het recht of schuin (schuin) is, aangezien de formules voor deze twee soorten lichamen niet verschillen.
Zoals eerder vermeld, vindt de vorming van een rechte kegel plaats door de rotatie van een rechthoekige driehoek langs een van zijn benen. Een schuine of schuine kegel wordt anders gevormd, omdat de hoogte ervan weg is verschoven van het midden van het basisvlak van het lichaam. Dergelijke verschillen in structuur hebben echter geen invloed op de methode om het volume te berekenen.
Volumeberekening
De formule voor het volume van een kegel ziet er als volgt uit:
V=1/3πhr2
waar V het volume van de kegel is;
h – hoogte;
r – straal;
π - constante gelijk aan 3, 14.
Om het volume van een kegel te berekenen, heb je gegevens nodig over de hoogte en straal van de basis van het lichaam.
Om de hoogte van een lichaam te berekenen, moet je de straal van de basis en de lengte van zijn beschrijvende weten. Aangezien de straal, hoogte en beschrijvende lijn gecombineerd zijn tot een rechthoekige driehoek, kan de hoogte worden berekend met de formule uit de stelling van Pythagoras (a2+ b2=c 2 of in ons geval h2+ r2=l2 , waarbij l - generatrix). In dit geval wordt de hoogte berekend door de vierkantswortel te extraheren van het verschil tussen de vierkanten van de hypotenusa en het andere been:
a=√c2- b2
Dat wil zeggen dat de hoogte van de kegel gelijk zal zijn aan de waarde die wordt verkregen na het extraheren van de vierkantswortel uit het verschil tussen het kwadraat van de lengte van de beschrijvende lijn en het kwadraat van de straal van de basis:
h=√l2 - r2
Door de hoogte te berekenen met deze methode en de straal van de basis te kennen, kun je het volume van de kegel berekenen. In dit geval speelt de generatrix een belangrijke rol, aangezien deze als hulpelement in de berekeningen dient.
Op dezelfde manier, als je de hoogte van het lichaam en de lengte van zijn beschrijvende weet, kun je de straal van zijn basis vinden door de vierkantswortel te extraheren van het verschil tussen het kwadraat van de beschrijvende lijn en het kwadraat van de hoogte:
r=√l2 - h2
Bereken vervolgens met dezelfde formule als hierboven het volume van de kegel.
Schuine kegelvolume
Aangezien de formule voor het volume van een kegel hetzelfde is voor alle typen van een omwentelingslichaam, is het verschil in de berekening het zoeken naar hoogte.
Om de hoogte van een hellende kegel te bepalen, moeten de invoergegevens de lengte van de beschrijvende lijn, de straal van de basis en de afstand tussen het middelpunt bevattenbasis en het snijpunt van de hoogte van het lichaam met het vlak van zijn basis. Als je dit weet, kun je gemakkelijk dat deel van de basisdiameter berekenen, dat de basis zal zijn van een rechthoekige driehoek (gevormd door de hoogte, de beschrijvende lijn en het vlak van de basis). Bereken vervolgens, opnieuw met behulp van de stelling van Pythagoras, de hoogte van de kegel en vervolgens het volume.
