Een van de figuren die voorkomt bij het oplossen van geometrische problemen in de ruimte is een kegel. Het behoort, in tegenstelling tot veelvlakken, tot de klasse van rotatiefiguren. Laten we in het artikel bekijken wat ermee wordt bedoeld in de geometrie, en de kenmerken van verschillende secties van de kegel onderzoeken.
Kegel in geometrie
Veronderstel dat er een bocht in het vliegtuig zit. Het kan een parabool, een cirkel, een ellips, enzovoort zijn. Neem een punt dat niet tot het gespecificeerde vlak behoort en verbind alle punten van de kromme ermee. Het resulterende oppervlak wordt een kegel of gewoon een kegel genoemd.
Als de oorspronkelijke curve gesloten is, kan het conische oppervlak worden gevuld met materie. De op deze manier verkregen figuur is een driedimensionaal lichaam. Het wordt ook wel een kegel genoemd. Hieronder worden verschillende papieren kegels weergegeven.
Het conische oppervlak wordt in het dagelijks leven aangetroffen. Een ijshoorntje of een gestreepte verkeerskegel heeft bijvoorbeeld deze vorm, die bedoeld is om de aandacht van automobilisten te trekken envoetgangers.
Soorten kegels
Zoals je zou kunnen raden, verschillen de figuren in kwestie van elkaar door het type curve waarop ze zijn gevormd. Er is bijvoorbeeld een ronde kegel of een elliptische. Deze kromme wordt de basis van de figuur genoemd. De vorm van de basis is echter niet het enige kenmerk dat de classificatie van kegels mogelijk maakt.
Het tweede belangrijke kenmerk is de positie van de hoogte ten opzichte van de basis. De hoogte van een kegel is een recht lijnsegment, dat vanaf de bovenkant van de figuur naar het vlak van de basis wordt verlaagd en loodrecht op dit vlak staat. Als de hoogte de basis in het geometrische centrum snijdt (bijvoorbeeld in het midden van de cirkel), dan zal de kegel recht zijn, als het loodrechte segment naar een ander punt van de basis of daarbuiten v alt, dan zal de figuur zijn schuin.
Verder in het artikel zullen we alleen een ronde rechte kegel beschouwen als een heldere vertegenwoordiger van de beschouwde klasse van figuren.
Geometrische namen van kegelelementen
Er werd hierboven gezegd dat de kegel een basis heeft. Het wordt begrensd door een cirkel, die de geleider van de kegel wordt genoemd. De segmenten die de geleider verbinden met een punt dat niet in het vlak van de basis ligt, worden generatoren genoemd. De verzameling van alle punten van de generatoren wordt het conische of laterale oppervlak van de figuur genoemd. Voor een ronde rechter kegel hebben alle generatoren dezelfde lengte.
Het punt waar de generatoren elkaar kruisen, wordt de bovenkant van de figuur genoemd. In tegenstelling tot veelvlakken heeft een kegel een enkel hoekpunt en geenrand.
Een rechte lijn die door de bovenkant van de figuur en het middelpunt van de cirkel gaat, wordt de as genoemd. De as bevat de hoogte van een rechte kegel en vormt dus een rechte hoek met het vlak van de basis. Deze informatie is belangrijk bij het berekenen van het gebied van de axiale sectie van de kegel.
Ronde rechte kegel - rotatiefiguur
De beschouwde kegel is een redelijk symmetrische figuur, die kan worden verkregen als resultaat van de rotatie van de driehoek. Stel we hebben een driehoek met een rechte hoek. Om een kegel te krijgen, volstaat het om deze driehoek rond een van de poten te draaien, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.
Het is te zien dat de rotatie-as de as van de kegel is. Een van de poten is gelijk aan de hoogte van de figuur en de tweede poot wordt de straal van de basis. De hypotenusa van een driehoek als gevolg van rotatie zal een conisch oppervlak beschrijven. Het zal de generatrix van de kegel zijn.
Deze methode om een ronde rechte kegel te verkrijgen is handig om te gebruiken om de wiskundige relatie tussen de lineaire parameters van de figuur te bestuderen: de hoogte h, de straal van de ronde basis r en de gids g. De bijbehorende formule volgt uit de eigenschappen van een rechthoekige driehoek. Het staat hieronder:
g2=h2+ r2.
Omdat we één vergelijking en drie variabelen hebben, betekent dit dat om de parameters van een ronde kegel uniek in te stellen, je twee grootheden moet weten.
Secties van een kegel door een vlak dat niet het hoekpunt van de figuur bevat
De kwestie van het construeren van secties van een figuur is niettriviaal. Het feit is dat de vorm van de doorsnede van de kegel aan het oppervlak afhangt van de relatieve positie van de figuur en de secans.
Veronderstel dat we de kegel snijden met een vlak. Wat zal het resultaat zijn van deze geometrische operatie? Opties voor sectievorm worden weergegeven in de onderstaande afbeelding.
Het roze gedeelte is een cirkel. Het wordt gevormd als gevolg van het snijpunt van de figuur met een vlak dat evenwijdig is aan de basis van de kegel. Dit zijn secties loodrecht op de as van de figuur. De figuur die boven het snijvlak is gevormd, is een kegel die lijkt op de originele, maar met een kleinere cirkel aan de basis.
Het groene gedeelte is een ellips. Het wordt verkregen als het snijvlak niet evenwijdig is aan de basis, maar alleen het laterale oppervlak van de kegel snijdt. Een figuur die boven het vlak is afgesneden, wordt een elliptische schuine kegel genoemd.
De blauwe en oranje secties zijn respectievelijk parabolisch en hyperbolisch. Zoals je in de figuur kunt zien, worden ze verkregen als het snijvlak tegelijkertijd het zijoppervlak en de basis van de figuur snijdt.
Om de gebieden van de secties van de kegel te bepalen die werden beschouwd, is het noodzakelijk om de formules voor de overeenkomstige figuur op het vlak te gebruiken. Voor een cirkel is dit bijvoorbeeld het getal Pi vermenigvuldigd met het kwadraat van de straal, en voor een ellips is dit het product van Pi en de lengte van de kleine en grote halve assen:
cirkel: S=pir2;
ellips: S=piab.
Secties die de bovenkant van de kegel bevatten
Overweeg nu de opties voor secties die ontstaan als het snijvlak isdoor de bovenkant van de kegel gaan. Er zijn drie gevallen mogelijk:
- De sectie is een enkel punt. Bijvoorbeeld, een vlak dat door het hoekpunt gaat en evenwijdig aan de basis geeft precies zo'n doorsnede.
- De sectie is een rechte lijn. Deze situatie doet zich voor wanneer het vlak raakt aan een conisch oppervlak. De rechte lijn van de sectie is in dit geval de generatrix van de kegel.
- Axiale sectie. Het wordt gevormd wanneer het vlak niet alleen de bovenkant van de figuur bevat, maar ook de hele as. In dit geval staat het vlak loodrecht op de ronde basis en verdeelt het de kegel in twee gelijke delen.
Het is duidelijk dat de oppervlakten van de eerste twee soorten secties gelijk zijn aan nul. Wat betreft het dwarsdoorsnede-oppervlak van de kegel voor het 3e type, dit probleem wordt in de volgende paragraaf in meer detail besproken.
Axiale sectie
Hierboven werd opgemerkt dat de axiale doorsnede van een kegel de figuur is die wordt gevormd wanneer de kegel wordt doorsneden door een vlak dat door zijn as gaat. Het is gemakkelijk te raden dat deze sectie de afbeelding in de onderstaande afbeelding zal vertegenwoordigen.
Dit is een gelijkbenige driehoek. Het hoekpunt van de axiale doorsnede van de kegel is het hoekpunt van deze driehoek, gevormd door het snijpunt van identieke zijden. Deze laatste zijn gelijk aan de lengte van de beschrijvende lijn van de kegel. De basis van de driehoek is de diameter van de basis van de kegel.
Het berekenen van het gebied van de axiale sectie van een kegel wordt teruggebracht tot het vinden van het gebied van de resulterende driehoek. Als de straal van de basis r en de hoogte h van de kegel in eerste instantie bekend zijn, dan is de oppervlakte S van de betreffende sectie:
S=hr.
Ditde uitdrukking is een gevolg van het toepassen van de standaardformule voor de oppervlakte van een driehoek (de helft van het product van de hoogte maal de basis).
Merk op dat als de beschrijvende lijn van een kegel gelijk is aan de diameter van zijn ronde basis, de axiale sectie van de kegel een gelijkzijdige driehoek is.
Een driehoekige sectie wordt gevormd wanneer het snijvlak loodrecht op de basis van de kegel staat en door zijn as gaat. Elk ander vlak evenwijdig aan de genoemde geeft een hyperbool in doorsnede. Als het vlak echter het hoekpunt van de kegel bevat en de basis niet door de diameter snijdt, dan zal de resulterende sectie ook een gelijkbenige driehoek zijn.
Het probleem van het bepalen van de lineaire parameters van de kegel
Laten we laten zien hoe we de formule kunnen gebruiken die is geschreven voor het gebied van de axiale sectie om een geometrisch probleem op te lossen.
Het is bekend dat het gebied van de axiale sectie van de kegel 100 cm is2. De resulterende driehoek is gelijkzijdig. Wat is de hoogte van de kegel en de straal van zijn basis?
Aangezien de driehoek gelijkzijdig is, is de hoogte h als volgt gerelateerd aan de lengte van zijde a:
h=√3/2a.
Gezien het feit dat de zijde van de driehoek tweemaal de straal van de basis van de kegel is, en deze uitdrukking in de formule voor het dwarsdoorsnede-oppervlak invult, krijgen we:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
De hoogte van de kegel is dan:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Het blijft om de waarde van het gebied te vervangen door de toestand van het probleemen krijg het antwoord:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
In welke gebieden is het belangrijk om de parameters van de beschouwde secties te kennen?
De studie van verschillende soorten kegelsneden is niet alleen van theoretisch belang, maar heeft ook praktische toepassingen.
Ten eerste moet worden opgemerkt het gebied van de aerodynamica, waar het met behulp van kegelsneden mogelijk is om ideale gladde vormen van vaste lichamen te creëren.
Ten tweede zijn kegelsneden banen waarlangs ruimtevoorwerpen in zwaartekrachtsvelden bewegen. Welk specifiek type sectie het traject van de beweging van de kosmische lichamen van het systeem vertegenwoordigt, wordt bepaald door de verhouding van hun massa's, absolute snelheden en afstanden ertussen.
