De studie van de eigenschappen van ruimtelijke figuren speelt een belangrijke rol bij het oplossen van praktische problemen. De wetenschap die zich bezighoudt met figuren in de ruimte wordt stereometrie genoemd. In dit artikel zullen we, vanuit het oogpunt van solide geometrie, een kegel beschouwen en laten zien hoe we het gebied van een kegel kunnen vinden.
Kegel met ronde basis
In het algemeen is een kegel een oppervlak dat is gebouwd op een vlakke kromme, waarvan alle punten zijn verbonden door segmenten met één punt in de ruimte. De laatste wordt de top van de kegel genoemd.
Uit de bovenstaande definitie is het duidelijk dat een kromme een willekeurige vorm kan hebben, zoals parabolisch, hyperbolisch, elliptisch, enzovoort. Toch is het in de praktijk en bij problemen in de geometrie vaak een ronde kegel die men vaak tegenkomt. Het wordt getoond in de onderstaande afbeelding.
Hier geeft het symbool r de straal van de cirkel aan die zich aan de basis van de figuur bevindt, h is de loodlijn op het vlak van de cirkel, dat vanaf de bovenkant van de figuur wordt getekend. Het heet hoogte. De waarde s is de generatrix van de kegel, of zijn generatrix.
Het is te zien dat de segmenten r, h en seen rechthoekige driehoek vormen. Als het rond het been h wordt gedraaid, dan zal de hypotenusa s het conische oppervlak beschrijven, en het been r vormt de ronde basis van de figuur. Om deze reden wordt de kegel beschouwd als een figuur van revolutie. De drie genoemde lineaire parameters zijn met elkaar verbonden door de gelijkheid:
s2=r2+ h2
Merk op dat de gegeven gelijkheid alleen geldig is voor een ronde rechte kegel. Een rechte figuur is alleen als de hoogte precies in het midden van de basiscirkel v alt. Als niet aan deze voorwaarde wordt voldaan, wordt de figuur schuin genoemd. Het verschil tussen rechte en schuine kegels wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.
Vormontwikkeling
Het bestuderen van het oppervlak van een kegel is handig om uit te voeren, gezien het in een vliegtuig. Deze manier om het oppervlak van figuren in de ruimte weer te geven, wordt hun ontwikkeling genoemd. Voor een kegel kan deze ontwikkeling als volgt worden verkregen: je moet een figuur nemen die bijvoorbeeld van papier is gemaakt. Knip vervolgens met een schaar de ronde basis rond de omtrek af. Maak daarna, langs de beschrijvende lijn, een snede van het conische oppervlak en verander het in een vlak. Het resultaat van deze eenvoudige handelingen is de ontwikkeling van de kegel, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.
Zoals je kunt zien, kan het oppervlak van een kegel inderdaad worden weergegeven op een vlak. Het bestaat uit de volgende twee delen:
- cirkel met straal r die de basis van de figuur vertegenwoordigt;
- cirkelvormige sector met straal g, wat een conisch oppervlak is.
De formule voor het gebied van een kegel omvat het vinden van de gebieden van beide ongevouwen oppervlakken.
Bereken de oppervlakte van een figuur
Laten we de taak in twee fasen verdelen. Eerst vinden we het gebied van de basis van de kegel en vervolgens het gebied van het kegelvormige oppervlak.
Het eerste deel van het probleem is eenvoudig op te lossen. Aangezien de straal r wordt gegeven, volstaat het om de overeenkomstige uitdrukking voor het gebied van een cirkel op te roepen om het gebied van de basis te berekenen. Laten we het opschrijven:
So=pi × r2
Als de straal niet bekend is, moet u deze eerst vinden met behulp van de relatieformule tussen de straal, de hoogte en de generator.
Het tweede deel van het probleem van het vinden van het gebied van een kegel is iets gecompliceerder. Merk op dat de cirkelsector is gebouwd op de straal g van de beschrijvende lijn en wordt begrensd door een boog waarvan de lengte gelijk is aan de omtrek van de cirkel. Met dit feit kunt u de verhouding opschrijven en de hoek van de beschouwde sector vinden. Laten we het aanduiden met de Griekse letter φ. Deze hoek is gelijk aan:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Als je de centrale hoek φ van een cirkelvormige sector kent, kun je de juiste verhouding gebruiken om de oppervlakte te bepalen. Laten we het aanduiden met het symbool Sb. Het zal gelijk zijn aan:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Dat wil zeggen, het gebied van het conische oppervlak komt overeen met het product van de beschrijvende g, de straal van de basis r en het getal Pi.
Weten wat de gebieden van beide zijnbeschouwde oppervlakken, kunnen we de definitieve formule voor het gebied van een kegel schrijven:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
De geschreven uitdrukking veronderstelt kennis van twee lineaire parameters van de kegel om S te berekenen. Als g of r onbekend is, dan zijn ze te vinden via de hoogte h.
Het probleem van het berekenen van de oppervlakte van een kegel
Het is bekend dat de hoogte van een ronde rechte kegel gelijk is aan zijn diameter. Het is noodzakelijk om het gebied van de figuur te berekenen, wetende dat het gebied van de basis 50 cm is2.
Als je de oppervlakte van een cirkel kent, kun je de straal van de figuur vinden. We hebben:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Laten we nu de generator g zoeken in termen van h en r. Volgens de voorwaarde is de hoogte h van de figuur gelijk aan twee stralen r, dan:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
De gevonden formules voor g en r moeten worden vervangen door de uitdrukking voor het hele gebied van de kegel. We krijgen:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
In de resulterende uitdrukking vervangen we het gebied van de basis So en noteren we het antwoord: S ≈ 161.8 cm2.
