Elke student in de studie van stereometrie op de middelbare school kwam een kegel tegen. Twee belangrijke kenmerken van deze ruimtelijke figuur zijn oppervlakte en volume. In dit artikel laten we zien hoe je het volume van een ronde kegel kunt vinden.
Ronde kegel als rotatiefiguur van een rechthoekige driehoek
Alvorens direct naar het onderwerp van het artikel te gaan, is het noodzakelijk om de kegel vanuit een geometrisch oogpunt te beschrijven.
Laat er een rechthoekige driehoek zijn. Als u het rond een van de poten draait, is het resultaat van deze actie het gewenste cijfer, weergegeven in de onderstaande afbeelding.
Hier maakt been AB deel uit van de as van de kegel, en de lengte komt overeen met de hoogte van de figuur. Het tweede been (segment CA) is de straal van de kegel. Tijdens rotatie zal het een cirkel beschrijven die de basis van de figuur begrenst. De hypotenusa BC wordt de generatrix van de figuur genoemd, of zijn generatrix. Punt B is het enige hoekpunt van de kegel.
Gegeven de eigenschappen van de driehoek ABC, kunnen we de relatie tussen de generatrix g, straal r en hoogte h als volgt schrijvengelijkheid:
g2=h2+ r2
Deze formule is nuttig bij het oplossen van veel geometrische problemen met de figuur in kwestie.
Cone volume formule
Het volume van een ruimtelijke figuur is het gebied van de ruimte, dat wordt beperkt door de oppervlakken van deze figuur. Er zijn twee van dergelijke oppervlakken voor een kegel:
- Lateraal of conisch. Het wordt gevormd door alle geneatrices.
- Stichting. In dit geval is het een cirkel.
Krijg de formule voor het bepalen van het volume van een kegel. Om dit te doen, snijden we het mentaal in vele lagen evenwijdig aan de basis. Elk van de lagen heeft een dikte dx, die neigt naar nul. Het gebied Sx van de laag op een afstand x vanaf de bovenkant van de figuur is gelijk aan de volgende uitdrukking:
Sx=pir2x2/h 2
De geldigheid van deze uitdrukking kan intuïtief worden geverifieerd door de waarden x=0 en x=h te vervangen. In het eerste geval krijgen we een gebied gelijk aan nul, in het tweede geval is het gelijk aan het gebied van de ronde basis.
Om het volume van de kegel te bepalen, moet u kleine "volumes" van elke laag optellen, dat wil zeggen dat u de integraalrekening moet gebruiken:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Als we deze integraal berekenen, komen we tot de uiteindelijke formule voor een ronde kegel:
V=1/3pir2h
Het is interessant om op te merken dat deze formule volledig gelijk is aan de formule die wordt gebruikt om het volume van een willekeurige piramide te berekenen. Dit toeval is niet toevallig, want elke piramide wordt een kegel wanneer het aantal randen tot oneindig toeneemt.
Volumeberekeningsprobleem
Het is nuttig om een voorbeeld te geven van het oplossen van het probleem, dat het gebruik van de afgeleide formule voor het volume V zal demonstreren.
Gegeven een ronde kegel met een basisoppervlak van 37 cm2, en de generator van de figuur is driemaal de straal. Wat is het volume van de kegel?
We hebben het recht om de volumeformule te gebruiken als we twee grootheden kennen: de hoogte h en de straal r. Laten we de formules zoeken die ze bepalen in overeenstemming met de toestand van het probleem.
Radius r kan worden berekend door de oppervlakte van de cirkel So te kennen, we hebben:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Gebruikmakend van de voorwaarde van het probleem, schrijven we de gelijkheid voor de generator g:
g=3r=3√(So/pi)
Als je de formules voor r en g kent, bereken je de hoogte h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
We hebben alle benodigde parameters gevonden. Nu is het tijd om ze in te pluggen in de formule voor V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Het blijft om te vervangenbasisoppervlak So en bereken de volumewaarde: V=119,75 cm3.
