Veelvlakken nemen niet alleen een prominente plaats in in de meetkunde, maar komen ook voor in het dagelijks leven van ieder mens. Om nog maar te zwijgen van kunstmatig gemaakte huishoudelijke artikelen in de vorm van verschillende polygonen, beginnend met een luciferdoosje en eindigend met architecturale elementen, kristallen in de vorm van een kubus (zout), prisma (kristal), piramide (scheeliet), octaëder (diamant), enz. e.
Het concept van een veelvlak, soorten veelvlakken in de geometrie
Geometrie als wetenschap bevat een sectie stereometrie die de kenmerken en eigenschappen van driedimensionale figuren bestudeert. Geometrische lichamen waarvan de zijden in de driedimensionale ruimte worden gevormd door beperkte vlakken (vlakken), worden "veelvlakken" genoemd. Typen veelvlakken omvatten meer dan een dozijn vertegenwoordigers, die verschillen in het aantal en de vorm van gezichten.
Alle veelvlakken hebben echter gemeenschappelijke eigenschappen:
- Ze hebben allemaal 3 essentiële componenten: gezicht(oppervlak van een veelhoek), hoekpunt (hoeken gevormd op de kruising van vlakken), rand (zijde van een figuur of een segment gevormd op de kruising van twee vlakken).
- Elke polygoonrand verbindt twee en slechts twee vlakken die aan elkaar grenzen.
- Convexiteit betekent dat het lichaam zich volledig bevindt aan slechts één kant van het vlak waarop een van de gezichten ligt. De regel is van toepassing op alle vlakken van het veelvlak. Dergelijke geometrische figuren in stereometrie worden convexe veelvlakken genoemd. De uitzondering zijn stervormige veelvlakken, die afgeleiden zijn van regelmatige veelvlakkige geometrische vaste stoffen.
Veelvlakken kunnen voorwaardelijk worden onderverdeeld in:
- Soorten convexe veelvlakken, bestaande uit de volgende klassen: gewoon of klassiek (prisma, piramide, parallellepipedum), regelmatig (ook wel platonische lichamen genoemd), semi-regelmatig (tweede naam - Archimedische lichamen).
- Niet-convexe veelvlakken (stervormig).
Prisma en zijn eigenschappen
Stereometrie als tak van geometrie bestudeert de eigenschappen van driedimensionale figuren, typen veelvlakken (een prisma is er een van). Een prisma is een geometrisch lichaam dat noodzakelijkerwijs twee absoluut identieke vlakken heeft (ze worden ook basen genoemd) die in parallelle vlakken liggen, en het n-de aantal zijvlakken in de vorm van parallellogrammen. Op zijn beurt heeft het prisma ook verschillende varianten, waaronder typen veelvlakken als:
- Parallellepipedum - gevormd als de basis een parallellogram is -veelhoek met 2 paar gelijke overstaande hoeken en 2 paar congruente overstaande zijden.
- Een recht prisma heeft randen die loodrecht op de basis staan.
- Gekanteld prisma wordt gekenmerkt door de aanwezigheid van niet-rechte hoeken (anders dan 90) tussen de vlakken en de basis.
- Een regelmatig prisma wordt gekenmerkt door basen in de vorm van een regelmatige veelhoek met gelijke zijvlakken.
Basiseigenschappen van een prisma:
- Congruente basen.
- Alle randen van het prisma zijn gelijk en evenwijdig aan elkaar.
- Alle zijvlakken zijn parallellogramvormig.
Piramide
Piramide is een geometrisch lichaam, dat bestaat uit één basis en een n-de aantal driehoekige vlakken, verbonden op één punt - de bovenkant. Opgemerkt moet worden dat als de zijvlakken van de piramide noodzakelijkerwijs worden weergegeven door driehoeken, de basis een driehoekige veelhoek of een vierhoek of een vijfhoek kan zijn, enzovoort tot in het oneindige. In dit geval komt de naam van de piramide overeen met de veelhoek aan de basis. Als een driehoek bijvoorbeeld aan de basis van een piramide ligt, is het een driehoekige piramide, een vierhoek is een vierhoekige, enz.
Piramides zijn kegelvormige veelvlakken. De typen veelvlakken van deze groep omvatten, naast de hierboven genoemde, ook de volgende vertegenwoordigers:
- Een regelmatige piramide heeft een regelmatige veelhoek aan de basis en de hoogte wordt naar het midden geprojecteerdeen cirkel ingeschreven in de basis of eromheen beschreven.
- Een rechthoekige piramide wordt gevormd wanneer een van de zijranden de basis in een rechte hoek snijdt. In dit geval is het ook redelijk om deze rand de hoogte van de piramide te noemen.
Piramide eigenschappen:
- Als alle zijranden van de piramide congruent zijn (van dezelfde hoogte), dan snijden ze allemaal de basis onder dezelfde hoek, en rond de basis kun je een cirkel tekenen met een middelpunt dat samenv alt met de projectie van de top van de piramide.
- Als de basis van de piramide een regelmatige veelhoek is, dan zijn alle zijranden congruent en zijn de vlakken gelijkbenige driehoeken.
Regelmatig veelvlak: soorten en eigenschappen van veelvlakken
In stereometrie wordt een speciale plaats ingenomen door geometrische lichamen met absoluut gelijke vlakken, op de hoekpunten waarvan hetzelfde aantal randen is verbonden. Deze vaste stoffen worden platonische lichamen of regelmatige veelvlakken genoemd. Typen veelvlakken met dergelijke eigenschappen hebben slechts vijf vormen:
- Tetraëder.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodecaëder.
- Icosahedron.
Regelmatige veelvlakken danken hun naam aan de oude Griekse filosoof Plato, die deze geometrische lichamen in zijn geschriften beschreef en ze in verband bracht met de natuurlijke elementen: aarde, water, vuur, lucht. De vijfde figuur kreeg de gelijkenis met de structuur van het universum. Naar zijn mening lijken de atomen van natuurlijke elementen qua vorm op de typen regelmatige veelvlakken. Vanwege zijn meest opwindende eigenschap -symmetrie, waren deze geometrische lichamen niet alleen van groot belang voor oude wiskundigen en filosofen, maar ook voor architecten, kunstenaars en beeldhouwers van alle tijden. De aanwezigheid van slechts 5 soorten veelvlakken met absolute symmetrie werd als een fundamentele ontdekking beschouwd, ze kregen zelfs een verband met het goddelijke principe.
Hexahedron en zijn eigenschappen
In de vorm van een zeshoek namen Plato's opvolgers een overeenkomst aan met de structuur van de atomen van de aarde. Op dit moment is deze hypothese natuurlijk volledig weerlegd, wat echter niet verhindert dat de figuren in de moderne tijd de geesten van beroemde figuren aantrekken met hun esthetiek.
In de meetkunde wordt een hexahedron, ook wel kubus genoemd, beschouwd als een speciaal geval van een parallellepipedum, dat op zijn beurt een soort prisma is. Dienovereenkomstig zijn de eigenschappen van de kubus gerelateerd aan de eigenschappen van het prisma, met als enige verschil dat alle vlakken en hoeken van de kubus aan elkaar gelijk zijn. Hieruit volgen de volgende eigenschappen:
- Alle randen van de kubus zijn congruent en liggen in parallelle vlakken ten opzichte van elkaar.
- Alle vlakken zijn congruente vierkanten (er zijn er in totaal 6 in een kubus), die elk als basis kunnen worden genomen.
- Alle interfacehoeken zijn 90.
- Een gelijk aantal randen komt voort uit elk hoekpunt, namelijk 3.
- De kubus heeft 9 symmetrieassen, die elkaar allemaal snijden op het snijpunt van de diagonalen van de hexahedron, het symmetriecentrum genoemd.
Tetraëder
Een tetraëder is een tetraëder met gelijke vlakken in de vorm van driehoeken, waarvan elk van de hoekpuntenis het verbindingspunt van drie vlakken.
Eigenschappen van regelmatige tetraëder:
- Alle vlakken van een tetraëder zijn gelijkzijdige driehoeken, wat betekent dat alle vlakken van een tetraëder congruent zijn.
- Omdat de basis wordt weergegeven door een regelmatige geometrische figuur, dat wil zeggen dat hij gelijke zijden heeft, komen de vlakken van de tetraëder onder dezelfde hoek samen, dat wil zeggen dat alle hoeken gelijk zijn.
- De som van de vlakke hoeken op elk van de hoekpunten is 180, aangezien alle hoeken gelijk zijn, is elke hoek van een regelmatige tetraëder 60.
- Elk van de hoekpunten wordt geprojecteerd op het snijpunt van de hoogten van het tegenoverliggende (orthocentrum) vlak.
De octaëder en zijn eigenschappen
Als je de typen regelmatige veelvlakken beschrijft, kun je niet anders dan een object als een octaëder opmerken, dat visueel kan worden weergegeven als twee vierhoekige regelmatige piramides die door basen aan elkaar zijn gelijmd.
Eigenschappen van de octaëder:
- De naam van een geometrisch lichaam suggereert het aantal gezichten. De octaëder bestaat uit 8 congruente gelijkzijdige driehoeken, in elk van de hoekpunten waarvan een gelijk aantal vlakken samenkomen, namelijk 4.
- Aangezien alle vlakken van een octaëder gelijk zijn, zijn de interfacehoeken ook gelijk, die elk gelijk zijn aan 60, en de som van de vlakke hoeken van een van de hoekpunten is dus 240.
Dodecaëder
Als we ons voorstellen dat alle vlakken van een geometrisch lichaam een regelmatige vijfhoek zijn, dan krijgen we een dodecaëder -een figuur van 12 polygonen.
Eigenschappen van de dodecaëder:
- Drie vlakken kruisen elkaar bij elk hoekpunt.
- Alle vlakken zijn gelijk en hebben dezelfde randlengte en gelijke oppervlakte.
- De dodecaëder heeft 15 assen en symmetrievlakken, en elk daarvan gaat door het hoekpunt van het vlak en het midden van de tegenoverliggende rand.
Icosahedron
Niet minder interessant dan de dodecaëder, de figuur van de icosaëder is een driedimensionaal geometrisch lichaam met 20 gelijke vlakken. Onder de eigenschappen van een regelmatige twintig-hedron kan het volgende worden opgemerkt:
- Alle vlakken van de icosaëder zijn gelijkbenige driehoeken.
- Vijf vlakken komen samen bij elk hoekpunt van het veelvlak, en de som van de aangrenzende hoeken van het hoekpunt is 300.
- De icosaëder heeft, net als de dodecaëder, 15 assen en symmetrievlakken die door de middelpunten van tegenoverliggende vlakken gaan.
Semi-regelmatige veelhoeken
Naast platonische lichamen omvat de groep convexe veelvlakken ook Archimedische lichamen, die afgeknotte regelmatige veelvlakken zijn. De typen veelvlakken van deze groep hebben de volgende eigenschappen:
- Geometrische lichamen hebben paarsgewijs gelijke vlakken van verschillende typen, bijvoorbeeld een afgeknotte tetraëder heeft 8 vlakken, zoals een gewone tetraëder, maar in het geval van een Archimedische vaste stof, zullen 4 vlakken driehoekig en 4 zeshoekig zijn.
- Alle hoeken van één hoekpunt zijn congruent.
Ster veelvlakken
Vertegenwoordigers van niet-volumetrische typen geometrische lichamen zijn sterveelvlakken waarvan de vlakken elkaar kruisen. Ze kunnen worden gevormd door twee reguliere 3D-volumen samen te voegen of door hun vlakken uit te breiden.
Zo'n stervormige veelvlakken staan bekend als: stervormen van de octaëder, dodecaëder, icosaëder, cuboctahedron, icosododecahedron.
