Als je naar een wiskundeleraar luistert, nemen de meeste studenten de stof als axioma. Tegelijkertijd proberen maar weinig mensen tot op de bodem uit te zoeken waarom de "min" op de "plus" een "min"-teken geeft, en als je twee negatieve getallen vermenigvuldigt, komt het positief uit.
Wetten van de wiskunde
De meeste volwassenen kunnen zichzelf of hun kinderen niet uitleggen waarom dit gebeurt. Ze hadden deze stof op school grondig tot zich genomen, maar ze probeerden niet eens uit te zoeken waar zulke regels vandaan kwamen. Maar tevergeefs. Vaak zijn moderne kinderen niet zo goedgelovig, ze moeten de zaak tot op de bodem uitzoeken en bijvoorbeeld begrijpen waarom "plus" op "min" "min" geeft. En soms stellen tomboys opzettelijk lastige vragen om te genieten van het moment waarop volwassenen geen verstaanbaar antwoord kunnen geven. En het is echt een ramp als een jonge leraar in de problemen komt…
Trouwens, moet worden opgemerkt dat de hierboven genoemde regel geldt voor zowel vermenigvuldigen als delen. Het product van een negatief en een positief getal geeft alleen een min. Als we het hebben over twee cijfers met een "-" teken, dan is het resultaat een positief getal. Hetzelfde geldt voor deling. Als eeneen van de getallen is negatief, dan zal het quotiënt ook een "-" teken hebben.
Om de juistheid van deze wet van de wiskunde uit te leggen, is het noodzakelijk om de axioma's van de ring te formuleren. Maar eerst moet je begrijpen wat het is. In de wiskunde is het gebruikelijk om een ring een verzameling te noemen waarin twee bewerkingen met twee elementen zijn betrokken. Maar het is beter om dit met een voorbeeld te behandelen.
Axioma van de Ring
Er zijn verschillende wiskundige wetten.
- De eerste is volgens hem commutatief, C + V=V + C.
- De tweede heet associatief (V + C) + D=V + (C + D).
Ze gehoorzamen ook aan de vermenigvuldiging (V x C) x D=V x (C x D).
Niemand heeft de regels geannuleerd waarmee haakjes worden geopend (V + C) x D=V x D + C x D, het is ook waar dat C x (V + D)=C x V + C x D.
Bovendien is vastgesteld dat een speciaal element, neutraal qua toevoeging, in de ring kan worden geïntroduceerd, waarmee het volgende geldt: C + 0=C. Daarnaast geldt voor elke C er is een tegengesteld element, dat kan worden aangeduid als (-C). In dit geval is C + (-C)=0.
Afleiding van axioma's voor negatieve getallen
Als we de bovenstaande uitspraken accepteren, kunnen we de vraag beantwoorden: ""Plus" tot "min" geeft welk teken? Als we het axioma over de vermenigvuldiging van negatieve getallen kennen, is het noodzakelijk om te bevestigen dat inderdaad (-C) x V=-(C x V). En ook dat de volgende gelijkheid waar is: (-(-C))=C.
Om dit te doen, zullen we eerst moeten bewijzen dat elk van de elementen er maar één heefttegenovergestelde broer. Beschouw het volgende bewijsvoorbeeld. Laten we proberen ons voor te stellen dat twee getallen tegengesteld zijn voor C - V en D. Hieruit volgt dat C + V=0 en C + D=0, dat wil zeggen, C + V=0=C + D. Denk aan de verplaatsingswetten en over de eigenschappen van het getal 0, kunnen we de som van alle drie de getallen beschouwen: C, V en D. Laten we proberen de waarde van V te achterhalen. Het is logisch dat V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, omdat de waarde van C + D, zoals hierboven aanvaard, gelijk is aan 0. Dus V=V + C + D.
De waarde voor D wordt op precies dezelfde manier afgeleid: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Op basis hiervan wordt duidelijk dat V=D.
Om te begrijpen waarom de "plus" op de "min" een "min" geeft, moet je het volgende begrijpen. Dus voor het element (-C) zijn C en (-(-C)) het tegenovergestelde, dat wil zeggen, ze zijn gelijk aan elkaar.
Dan is het duidelijk dat 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Hieruit volgt dat C x V tegengesteld is aan (-)C x V, dus (-C) x V=-(C x V).
Voor volledige wiskundige nauwkeurigheid is het ook nodig om te bevestigen dat 0 x V=0 voor elk element. Als u de logica volgt, dan 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Dit betekent dat het toevoegen van het product 0 x V de ingestelde hoeveelheid op geen enkele manier verandert. Dit product is immers gelijk aan nul.
Als je al deze axioma's kent, kun je niet alleen afleiden hoeveel "plus" door "min" geeft, maar ook wat er gebeurt als je negatieve getallen vermenigvuldigt.
Vermenigvuldigen en delen van twee getallen met een "-" teken
Als je niet diep in wiskunde gaatnuances, kunt u proberen de bewerkingsregels met negatieve getallen op een eenvoudigere manier uit te leggen.
Laten we aannemen dat C - (-V)=D, dus C=D + (-V), d.w.z. C=D - V. Breng V over en krijg C + V=D. Dat wil zeggen, C + V=C - (-V). Dit voorbeeld legt uit waarom in een uitdrukking waar twee "min" op een rij staan, de genoemde tekens moeten worden gewijzigd in "plus". Laten we nu beginnen met vermenigvuldigen.
(-C) x (-V)=D, je kunt twee identieke producten bij de uitdrukking optellen en aftrekken, wat de waarde niet verandert: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V)=D.
Onthoud de regels voor het werken met haakjes, we krijgen:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Hieruit volgt dat C x V=(-C) x (-V).
Op dezelfde manier kunnen we bewijzen dat het delen van twee negatieve getallen zal resulteren in een positieve.
Algemene rekenregels
Deze uitleg is natuurlijk niet geschikt voor basisschoolleerlingen die net beginnen met het leren van abstracte negatieve getallen. Het is beter voor hen om uitleg te geven over zichtbare objecten, waarbij ze de bekende term door de spiegel manipuleren. Er staat bijvoorbeeld uitgevonden, maar niet bestaand speelgoed. Ze kunnen worden weergegeven met een "-" teken. De vermenigvuldiging van twee spiegelobjecten brengt ze over naar een andere wereld, die wordt gelijkgesteld aan het heden, dat wil zeggen dat we positieve getallen hebben. Maar de vermenigvuldiging van een abstract negatief getal met een positief geeft alleen het resultaat dat voor iedereen bekend is. Omdat "plus"vermenigvuldigen met "min" geeft "min". Het is waar dat kinderen in de basisschoolleeftijd niet echt proberen om zich in alle wiskundige nuances te verdiepen.
Hoewel, als je de waarheid onder ogen ziet, voor veel mensen, zelfs met een hogere opleiding, veel regels een mysterie blijven. Iedereen neemt als vanzelfsprekend aan wat de leraren hen leren, niet op een verlies om zich te verdiepen in alle complexiteiten die wiskunde met zich meebrengt. "Minus" op "min" geeft een "plus" - iedereen weet dit zonder uitzondering. Dit geldt voor zowel gehele getallen als gebroken getallen.
