Polyhedra trok zelfs in de oudheid de aandacht van wiskundigen en wetenschappers. De Egyptenaren bouwden de piramides. En de Grieken bestudeerden "regelmatige veelvlakken". Ze worden soms Platonische lichamen genoemd. "Traditionele veelvlakken" bestaan uit platte vlakken, rechte randen en hoekpunten. Maar de belangrijkste vraag is altijd geweest aan welke regels deze afzonderlijke delen moeten voldoen, en aan welke aanvullende mondiale voorwaarden moet worden voldaan om een object als een veelvlak te kwalificeren. Het antwoord op deze vraag zal in het artikel worden gepresenteerd.
Problemen in definitie
Waaruit bestaat dit cijfer? Een veelvlak is een gesloten vaste vorm met platte vlakken en rechte randen. Daarom kan het eerste probleem van zijn definitie precies de zijkanten van de figuur worden genoemd. Niet alle gezichten die in vlakken liggen, zijn altijd een teken van een veelvlak. Laten we als voorbeeld de "driehoekige cilinder" nemen. Waar bestaat het uit? Een deel van het oppervlak drie in parensnijdende verticale vlakken kunnen niet als veelhoeken worden beschouwd. De reden is dat het geen hoekpunten heeft. Het oppervlak van zo'n figuur wordt gevormd op basis van drie stralen die elkaar op één punt ontmoeten.
Nog een probleem: vliegtuigen. In het geval van de "driehoekige cilinder" ligt het in hun onbeperkte delen. Een figuur wordt als convex beschouwd als het lijnstuk dat twee willekeurige punten in de verzameling verbindt er ook in voorkomt. Laten we een van hun belangrijke eigenschappen presenteren. Voor convexe verzamelingen geldt dat de verzameling punten die de verzameling gemeen heeft, hetzelfde is. Er is een ander soort cijfers. Dit zijn niet-convexe 2D-veelvlakken die ofwel inkepingen of gaten hebben.
Vormen die geen veelvlakken zijn
Een platte reeks punten kan verschillend zijn (bijvoorbeeld niet-convex) en niet voldoen aan de gebruikelijke definitie van een veelvlak. Zelfs erdoorheen wordt het beperkt door secties van lijnen. De lijnen van een convex veelvlak bestaan uit convexe figuren. Deze benadering van de definitie sluit echter een cijfer uit dat naar oneindig gaat. Een voorbeeld hiervan zijn drie stralen die elkaar niet op hetzelfde punt ontmoeten. Maar tegelijkertijd zijn ze verbonden met de hoekpunten van een andere figuur. Traditioneel was het voor een veelvlak belangrijk dat het uit platte vlakken bestaat. Maar in de loop van de tijd breidde het concept zich uit, wat leidde tot een aanzienlijke verbetering van het begrip van de oorspronkelijke "smallere" klasse van veelvlakken, evenals tot de opkomst van een nieuwe, bredere definitie.
Correct
Laten we nog een definitie introduceren. Een regelmatig veelvlak is er een waarin elk vlak een congruente regelmatig isconvexe veelhoeken, en alle hoekpunten zijn "hetzelfde". Dit betekent dat elk hoekpunt hetzelfde aantal regelmatige veelhoeken heeft. Gebruik deze definitie. Je kunt dus vijf regelmatige veelvlakken vinden.
Eerste stappen naar de stelling van Euler voor veelvlakken
De Grieken wisten van de veelhoek, die tegenwoordig het pentagram wordt genoemd. Deze veelhoek zou regelmatig genoemd kunnen worden omdat alle zijden even lang zijn. Er is nog een andere belangrijke opmerking. De hoek tussen twee opeenvolgende zijden is altijd hetzelfde. Wanneer het echter in een vlak wordt getekend, definieert het geen convexe verzameling en snijden de zijkanten van het veelvlak elkaar. Dit was echter niet altijd het geval. Wiskundigen hebben lang nagedacht over het idee van "niet-convexe" regelmatige veelvlakken. Het pentagram was er een van. "Star polygonen" waren ook toegestaan. Er zijn verschillende nieuwe voorbeelden van "regelmatige veelvlakken" ontdekt. Nu worden ze Kepler-Poinsot-veelvlakken genoemd. Later breidden G. S. M. Coxeter en Branko Grünbaum de regels uit en ontdekten andere "gewone veelvlakken".
Veelvlakkige formule
De systematische studie van deze figuren begon relatief vroeg in de geschiedenis van de wiskunde. Leonhard Euler was de eerste die opmerkte dat een formule met betrekking tot het aantal van hun hoekpunten, vlakken en randen geldt voor convexe 3D-veelvlakken.
Ze ziet er zo uit:
V + F - E=2, waar V het aantal veelvlakkige hoekpunten is, F het aantal randen van de veelvlakken en E het aantal vlakken.
Leonhard Euler is Zwitserwiskundige die wordt beschouwd als een van de grootste en meest productieve wetenschappers aller tijden. Hij is het grootste deel van zijn leven blind geweest, maar het verlies van zijn gezichtsvermogen gaf hem een reden om nog productiever te worden. Er zijn verschillende formules naar hem vernoemd, en degene die we zojuist hebben bekeken, wordt soms de Euler-veelvlakformule genoemd.
Er is één verduidelijking. De formule van Euler werkt echter alleen voor veelvlakken die bepaalde regels volgen. Ze liggen in het feit dat de vorm geen gaten mag hebben. En het is onaanvaardbaar dat het zichzelf kruist. Een veelvlak kan ook niet uit twee samengevoegde delen bestaan, zoals twee kubussen met hetzelfde hoekpunt. Euler noemde het resultaat van zijn onderzoek in 1750 in een brief aan Christian Goldbach. Later publiceerde hij twee artikelen waarin hij beschreef hoe hij bewijs probeerde te vinden voor zijn nieuwe ontdekking. In feite zijn er vormen die een ander antwoord geven op V + F - E. Het antwoord op de som F + V - E=X wordt de Euler-karakteristiek genoemd. Ze heeft een ander aspect. Sommige vormen kunnen zelfs een Euler-kenmerk hebben dat negatief is
Grafiektheorie
Soms wordt beweerd dat Descartes de stelling van Euler eerder heeft afgeleid. Hoewel deze wetenschapper feiten ontdekte over driedimensionale veelvlakken die hem in staat zouden stellen de gewenste formule af te leiden, zette hij deze extra stap niet. Tegenwoordig wordt Euler gecrediteerd met de "vader" van de grafentheorie. Hij loste het probleem van de Konigsbergbrug op met zijn ideeën. Maar de wetenschapper keek niet naar de veelvlak in contextgrafen theorie. Euler probeerde een formule te bewijzen die gebaseerd was op de ontleding van een veelvlak in eenvoudigere delen. Deze poging voldoet niet aan de moderne normen voor bewijs. Hoewel Euler niet de eerste juiste rechtvaardiging voor zijn formule gaf, kan men gissingen die niet zijn gemaakt niet bewijzen. De resultaten, die later werden onderbouwd, maken het echter mogelijk om de stelling van Euler ook op dit moment te gebruiken. Het eerste bewijs werd verkregen door de wiskundige Adrian Marie Legendre.
Bewijs van de formule van Euler
Euler formuleerde eerst de veelvlakkige formule als een stelling op veelvlakken. Tegenwoordig wordt het vaak behandeld in de meer algemene context van verbonden grafieken. Bijvoorbeeld als structuren die bestaan uit punten en lijnsegmenten die ze verbinden, die zich in hetzelfde deel bevinden. Augustin Louis Cauchy was de eerste die deze belangrijke connectie vond. Het diende als een bewijs van de stelling van Euler. Hij merkte in wezen op dat de grafiek van een convex veelvlak (of wat tegenwoordig zo wordt genoemd) topologisch homeomorf is met een bol, een vlak verbonden grafiek heeft. Wat het is? Een vlakke graaf is een graaf die zo in het vlak is getekend dat de randen elkaar alleen bij een hoekpunt ontmoeten of snijden. Hier werd het verband tussen de stelling van Euler en de grafieken gevonden.
Een indicatie van het belang van het resultaat is dat David Epstein zeventien verschillende bewijsstukken kon verzamelen. Er zijn veel manieren om de veelvlakkige formule van Euler te rechtvaardigen. In zekere zin zijn de meest voor de hand liggende bewijzen methoden die wiskundige inductie gebruiken. Het resultaat kan worden bewezenhet tekenen langs het aantal randen, vlakken of hoekpunten van de grafiek.
Bewijs van Rademacher en Toeplitz
Bijzonder aantrekkelijk is het volgende bewijs van Rademacher en Toeplitz, gebaseerd op de benadering van Von Staudt. Om de stelling van Euler te rechtvaardigen, veronderstel dat G een verbonden graaf is ingebed in een vlak. Als het schema's heeft, is het mogelijk om van elk van hen één rand uit te sluiten, zodat de eigenschap behouden blijft dat deze verbonden blijft. Er is een één-op-één overeenkomst tussen de verwijderde delen om naar de verbonden grafiek te gaan zonder sluiting en die welke geen oneindige rand zijn. Dit onderzoek leidde tot de classificatie van "oriënteerbare oppervlakken" in termen van de zogenaamde Euler-karakteristiek.
Jordanische curve. Stelling
De hoofdstelling, die direct of indirect wordt gebruikt bij het bewijs van de veelvlakkenformule van de stelling van Euler voor grafieken, hangt af van de Jordan-curve. Dit idee is gerelateerd aan generalisatie. Er staat dat elke eenvoudige gesloten kromme het vlak in drie sets verdeelt: punten erop, binnen en buiten. Toen de belangstelling voor de veelvlakkige formule van Euler zich in de negentiende eeuw ontwikkelde, werden er veel pogingen ondernomen om deze te veralgemenen. Dit onderzoek legde de basis voor de ontwikkeling van algebraïsche topologie en bracht deze in verband met algebra en get altheorie.
Moebius-groep
Er werd al snel ontdekt dat sommige oppervlakken alleen lokaal op een consistente manier konden worden 'georiënteerd', niet wereldwijd. De bekende Möbius-groep dient als illustratie daarvanoppervlakken. Het werd iets eerder ontdekt door Johann Listing. Dit concept omvat de notie van het geslacht van een graaf: het minste aantal descriptoren g. Het moet aan het oppervlak van de bol worden toegevoegd en het kan zo op het verlengde oppervlak worden ingebed dat de randen elkaar alleen bij de hoekpunten ontmoeten. Het blijkt dat elk oriënteerbaar oppervlak in de Euclidische ruimte kan worden beschouwd als een bol met een bepaald aantal handvatten.
Euler-diagram
De wetenschapper deed nog een ontdekking, die vandaag de dag nog steeds wordt gebruikt. Dit zogenaamde Euler-diagram is een grafische weergave van cirkels, meestal gebruikt om relaties tussen sets of groepen te illustreren. De grafieken bevatten meestal kleuren die overvloeien in gebieden waar de cirkels elkaar overlappen. Sets worden precies weergegeven door cirkels of ovalen, hoewel er ook andere figuren voor kunnen worden gebruikt. Een inclusie wordt weergegeven door een overlap van ellipsen die Euler-cirkels worden genoemd.
Ze vertegenwoordigen verzamelingen en deelverzamelingen. De uitzondering zijn niet-overlappende cirkels. Euler-diagrammen zijn nauw verwant aan andere grafische weergaven. Ze zijn vaak verward. Deze grafische weergave wordt Venn-diagrammen genoemd. Afhankelijk van de sets in kwestie kunnen beide versies er hetzelfde uitzien. In Venn-diagrammen duiden overlappende cirkels echter niet noodzakelijkerwijs op gemeenschappelijkheid tussen sets, maar alleen op een mogelijke logische relatie als hun labels niet inkruisende cirkel. Beide opties werden aangenomen voor het onderwijzen van de verzamelingenleer als onderdeel van de nieuwe wiskundige beweging van de jaren zestig.
De stellingen van Fermat en Euler
Euler heeft een merkbaar stempel gedrukt in de wiskundige wetenschap. De algebraïsche get altheorie werd verrijkt met een naar hem vernoemde stelling. Het is ook een gevolg van een andere belangrijke ontdekking. Dit is de zogenaamde algemene algebraïsche stelling van Lagrange. De naam van Euler wordt ook geassocieerd met de kleine stelling van Fermat. Er staat dat als p een priemgetal is en a een geheel getal is dat niet deelbaar is door p, dan:
ap-1 - 1 is deelbaar door p.
Soms heeft dezelfde ontdekking een andere naam, meestal gevonden in buitenlandse literatuur. Het klinkt als de kerststelling van Fermat. Het punt is dat de ontdekking bekend werd dankzij een brief van een wetenschapper aan de vooravond van 25 december 1640. Maar de verklaring zelf is al eerder aangetroffen. Het werd gebruikt door een andere wetenschapper genaamd Albert Girard. Fermat probeerde alleen zijn theorie te bewijzen. De auteur laat in een andere brief doorschemeren dat hij werd geïnspireerd door de methode van oneindige afdaling. Maar bewijs leverde hij niet. Later wendde Eider zich ook tot dezelfde methode. En na hem - vele andere beroemde wetenschappers, waaronder Lagrange, Gauss en Minkosky.
Kenmerken van identiteiten
De kleine stelling van Fermat wordt vanwege Euler ook wel een speciaal geval van een stelling uit de get altheorie genoemd. In deze theorie telt de Euler-identiteitsfunctie positieve gehele getallen tot een bepaald geheel getal n. Ze zijn coprime met betrekking tot:n. De stelling van Euler in de get altheorie is geschreven met de Griekse letter φ en ziet eruit als φ(n). Het kan formeel worden gedefinieerd als het aantal gehele getallen k in het bereik 1 ≦ k ≦ n waarvoor de grootste gemene deler ggd(n, k) 1 is. Notatie φ(n) kan ook Euler's phi-functie worden genoemd. Gehele getallen k van deze vorm worden soms totatief genoemd. De kern van de get altheorie is dat de Euler-identiteitsfunctie multiplicatief is, wat betekent dat als twee getallen m en n coprime zijn, dan φ(mn)=φ(m)φ(n). Het speelt ook een sleutelrol bij het definiëren van het RSA-coderingssysteem.
De Euler-functie werd in 1763 geïntroduceerd. In die tijd koos de wiskundige er echter geen specifiek symbool voor. In een publicatie uit 1784 bestudeerde Euler deze functie in meer detail en koos hij de Griekse letter π om het weer te geven. James Sylvester bedacht de term "totaal" voor deze functie. Daarom wordt het ook wel het totaal van Euler genoemd. Het totaal φ(n) van een positief geheel getal n groter dan 1 is het aantal positieve gehele getallen kleiner dan n dat relatief priem is tot n.φ(1) wordt gedefinieerd als 1. De Euler-functie of phi(φ)-functie is een zeer belangrijke get altheoretische functie die nauw verband houdt met priemgetallen en de zogenaamde orde van gehele getallen.
