Georg Kantor (foto staat verderop in het artikel) is een Duitse wiskundige die de verzamelingenleer creëerde en het concept van transfiniete getallen introduceerde, oneindig groot, maar verschillend van elkaar. Hij definieerde ook ordinale en hoofdtelwoorden en creëerde hun rekenkunde.
Georg Kantor: korte biografie
Geboren in St. Petersburg op 1845-03-03. Zijn vader was een Deen van het protestantse geloof, Georg-Valdemar Kantor, die zich bezighield met handel, ook op de beurs. Zijn moeder Maria Bem was katholiek en kwam uit een familie van vooraanstaande musici. Toen Georgs vader in 1856 ziek werd, verhuisde het gezin eerst naar Wiesbaden en vervolgens naar Frankfurt op zoek naar een milder klimaat. De wiskundige talenten van de jongen kwamen al voor zijn 15e verjaardag naar voren tijdens zijn studie aan privéscholen en gymnasiums in Darmstadt en Wiesbaden. Uiteindelijk overtuigde Georg Cantor zijn vader van zijn vaste voornemen om wiskundige te worden, geen ingenieur.
Na een korte studie aan de Universiteit van Zürich stapte Kantor in 1863 over naar de Universiteit van Berlijn om natuurkunde, filosofie en wiskunde te studeren. daar hemonderwezen:
- Karl Theodor Weierstrass, wiens specialisatie in analyse waarschijnlijk de grootste invloed had op Georg;
- Ernst Eduard Kummer, die hogere rekenkunde doceerde;
- Leopold Kronecker, get altheoreticus die zich later tegen Cantor verzette.
Na een semester aan de Universiteit van Göttingen in 1866 te hebben doorgebracht, schreef Georg het jaar daarop zijn proefschrift getiteld "In de wiskunde is de kunst van het stellen van vragen meer waard dan het oplossen van problemen", over een probleem dat Carl Friedrich Gauss had onopgelost gelaten in zijn Disquisitiones Arithmeticae (1801). Na korte tijd les te hebben gegeven aan de Berlijnse School voor Meisjes, begon Kantor te werken aan de Universiteit van Halle, waar hij tot het einde van zijn leven bleef, eerst als leraar, vanaf 1872 als assistent-professor en vanaf 1879 als professor.
Onderzoek
Aan het begin van een reeks van 10 artikelen van 1869 tot 1873 overwoog Georg Cantor de get altheorie. Het werk weerspiegelde zijn passie voor het onderwerp, zijn studies van Gauss en de invloed van Kronecker. Op voorstel van Heinrich Eduard Heine, Cantors collega in Halle, die zijn wiskundig talent herkende, wendde hij zich tot de theorie van trigonometrische reeksen, waarin hij het concept van reële getallen uitbreidde.
Gebaseerd op het werk van de Duitse wiskundige Bernhard Riemann in 1854 over de functie van een complexe variabele, toonde Kantor in 1870 aan dat een dergelijke functie maar op één manier kan worden weergegeven: door trigonometrische reeksen. Overweging van een reeks getallen (punten) dieeen dergelijke opvatting niet zou tegenspreken, leidde hem in de eerste plaats in 1872 tot de definitie van irrationele getallen in termen van convergente reeksen van rationale getallen (fracties van gehele getallen) en verder tot het begin van het werk aan zijn levenswerk, verzamelingenleer en het concept van transfiniete getallen.
Settheorie
Georg Cantor, wiens verzamelingenleer zijn oorsprong vond in correspondentie met de wiskundige van het Technisch Instituut van Braunschweig Richard Dedekind, was van kinds af aan een vriend van hem. Ze kwamen tot de conclusie dat verzamelingen, of ze nu eindig of oneindig zijn, verzamelingen zijn van elementen (bijv. getallen, {0, ±1, ±2…}) die een bepaalde eigenschap hebben met behoud van hun individualiteit. Maar toen Georg Cantor een één-op-één correspondentie gebruikte (bijvoorbeeld {A, B, C} tot {1, 2, 3}) om hun kenmerken te bestuderen, realiseerde hij zich al snel dat ze verschillen in hun mate van lidmaatschap, zelfs als het oneindige verzamelingen waren, d.w.z. verzamelingen waarvan een deel of subverzameling evenveel objecten omvat als het zelf. Zijn methode gaf al snel verbluffende resultaten.
In 1873 toonde Georg Cantor (wiskundige) aan dat rationale getallen, hoewel oneindig, telbaar zijn omdat ze in één-op-één correspondentie kunnen worden gezet met natuurlijke getallen (d.w.z. 1, 2, 3, enz.). d.). Hij toonde aan dat de verzameling reële getallen, bestaande uit irrationele en rationale getallen, oneindig en ontelbaar is. Paradoxaal genoeg bewees Cantor dat de verzameling van alle algebraïsche getallen evenveel elementen bevat als:hoeveel is de verzameling van alle gehele getallen, en dat transcendente getallen, die niet algebraïsch zijn, die een subset van irrationele getallen zijn, ontelbaar zijn en daarom is hun aantal groter dan gehele getallen, en moet als oneindig worden beschouwd.
Tegenstanders en supporters
Maar Kantors paper, waarin hij deze resultaten voor het eerst naar voren bracht, werd niet gepubliceerd in Krell, omdat een van de recensenten, Kronecker, fel gekant was. Maar na tussenkomst van Dedekind werd het in 1874 gepubliceerd onder de titel "Over de karakteristieke eigenschappen van alle reële algebraïsche getallen."
Wetenschap en privéleven
In datzelfde jaar ontmoette Kantor Dedekind, die positief sprak over zijn nieuwe theorie, terwijl hij op huwelijksreis was met zijn vrouw Wally Gutman in Interlaken, Zwitserland. George's salaris was klein, maar met het geld van zijn vader, die in 1863 stierf, bouwde hij een huis voor zijn vrouw en vijf kinderen. Veel van zijn artikelen werden in Zweden gepubliceerd in het nieuwe tijdschrift Acta Mathematica, onder redactie van en opgericht door Gesta Mittag-Leffler, die als een van de eersten het talent van de Duitse wiskundige herkende.
Verbinding met metafysica
Cantors theorie werd een volledig nieuw onderwerp van studie met betrekking tot de wiskunde van het oneindige (bijv. reeksen 1, 2, 3, enz., en meer complexe verzamelingen), die sterk afhankelijk was van één-op-één correspondentie. Kantor's ontwikkeling van nieuwe ensceneringsmethodenvragen over continuïteit en oneindigheid, gaven zijn onderzoek een dubbelzinnig karakter.
Toen hij beweerde dat oneindige getallen echt bestaan, wendde hij zich tot de oude en middeleeuwse filosofie met betrekking tot feitelijke en potentiële oneindigheid, evenals tot de vroege religieuze opvoeding die zijn ouders hem gaven. In 1883 combineerde Kantor in zijn boek Foundations of General Set Theory zijn concept met Plato's metafysica.
Kronecker, die beweerde dat alleen gehele getallen "bestaan" ("God schiep de gehele getallen, de rest is het werk van de mens"), verwierp jarenlang heftig zijn redenering en verhinderde zijn benoeming aan de Universiteit van Berlijn.
Transfinite getallen
In 1895-1897. Georg Cantor heeft zijn idee van continuïteit en oneindigheid, inclusief oneindige ordinale en kardinale getallen, volledig gevormd in zijn beroemdste werk, gepubliceerd als Contributions to the Establishment of the Theory of Transfinite Numbers (1915). Dit essay bevat zijn concept, waartoe hij werd geleid door aan te tonen dat een oneindige verzameling in een één-op-één-correspondentie kan worden geplaatst met een van zijn deelverzamelingen.
Onder het minst transfiniete hoofdtelwoord bedoelde hij de kardinaliteit van elke verzameling die in één-op-één-correspondentie met natuurlijke getallen kan worden gezet. Cantor noemde het alef-null. Grote transfiniete verzamelingen worden aangeduid als aleph-een, aleph-twee, enz. Hij ontwikkelde de rekenkunde van transfiniete getallen verder, die analoog was aan de eindige rekenkunde. dus hijverrijkt het concept van oneindigheid.
De tegenstand die hij ondervond en de tijd die het kostte om zijn ideeën volledig te accepteren, is te wijten aan de moeilijkheid om de oude vraag wat een getal is opnieuw te evalueren. Cantor toonde aan dat de verzameling punten op een lijn een hogere kardinaliteit heeft dan alef-nul. Dit leidde tot het bekende probleem van de continuümhypothese - er zijn geen hoofdtelwoorden tussen alef-nul en de macht van punten op de lijn. Dit probleem wekte in de eerste en tweede helft van de 20e eeuw grote belangstelling en werd bestudeerd door vele wiskundigen, waaronder Kurt Gödel en Paul Cohen.
Depressie
De biografie van Georg Kantor sinds 1884 werd overschaduwd door zijn geestesziekte, maar hij bleef actief werken. In 1897 hielp hij het eerste internationale wiskundige congres in Zürich te houden. Mede omdat hij werd tegengewerkt door Kronecker, sympathiseerde hij vaak met jonge aspirant-wiskundigen en zocht hij een manier om hen te redden van de pesterijen van leraren die zich bedreigd voelden door nieuwe ideeën.
Herkenning
Bij de eeuwwisseling werd zijn werk volledig erkend als de basis voor functietheorie, analyse en topologie. Bovendien waren de boeken van Cantor Georg een aanzet voor de verdere ontwikkeling van de intuïtionistische en formalistische scholen van de logische grondslagen van de wiskunde. Dit veranderde het onderwijssysteem aanzienlijk en wordt vaak geassocieerd met de "nieuwe wiskunde".
In 1911 was Kantor een van de uitgenodigden omviering van het 500-jarig bestaan van de Universiteit van St. Andrews in Schotland. Hij ging daarheen in de hoop Bertrand Russell te ontmoeten, die in zijn onlangs gepubliceerde werk Principia Mathematica herhaaldelijk naar de Duitse wiskundige verwees, maar dit gebeurde niet. De universiteit kende Kantor een eredoctoraat toe, maar wegens ziekte kon hij de prijs niet persoonlijk in ontvangst nemen.
Kantor ging in 1913 met pensioen, leefde in armoede en stierf tijdens de Eerste Wereldoorlog. Vieringen ter ere van zijn 70e verjaardag in 1915 werden afgelast vanwege de oorlog, maar er vond een kleine ceremonie plaats bij hem thuis. Hij stierf op 1918-06-01 in Halle, in een psychiatrisch ziekenhuis, waar hij de laatste jaren van zijn leven doorbracht.
Georg Kantor: biografie. Familie
9 augustus 1874 trouwde een Duitse wiskundige met Wally Gutmann. Het echtpaar kreeg 4 zonen en 2 dochters. Het laatste kind werd geboren in 1886 in een nieuw huis gekocht door Kantor. De erfenis van zijn vader hielp hem zijn gezin te onderhouden. Kantors gezondheid werd sterk aangetast door de dood van zijn jongste zoon in 1899, en sindsdien heeft hij hem niet meer verlaten.
