2e orde oppervlakken: voorbeelden

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

De student komt in het eerste jaar het vaakst oppervlakken van de 2e orde tegen. In het begin lijken taken over dit onderwerp misschien eenvoudig, maar naarmate je hogere wiskunde studeert en je verdiept in de wetenschappelijke kant, kun je eindelijk stoppen je te oriënteren op wat er gebeurt. Om dit te voorkomen, is het niet alleen nodig om te onthouden, maar ook om te begrijpen hoe dit of dat oppervlak wordt verkregen, hoe het veranderen van de coëfficiënten het beïnvloedt en de locatie ten opzichte van het oorspronkelijke coördinatensysteem, en hoe een nieuw systeem te vinden (een waarvan het middelpunt samenv alt met de oorsprongcoördinaten en de symmetrieas evenwijdig aan een van de coördinaatassen). Laten we bij het begin beginnen.

Definitie

GMT wordt een oppervlak van de 2e orde genoemd, waarvan de coördinaten voldoen aan de algemene vergelijking van de volgende vorm:

F(x, y, z)=0.

Het is duidelijk dat elk punt dat bij het oppervlak hoort drie coördinaten moet hebben in een bepaalde basis. Hoewel in sommige gevallen de meetkundige plaats kan degenereren, bijvoorbeeld in een vlak. Het betekent alleen dat een van de coördinaten constant is en gelijk is aan nul in het hele bereik van acceptabele waarden.

De volledig geschilderde vorm van de hierboven genoemde gelijkheid ziet er als volgt uit:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – enkele constanten, x, y, z – variabelen die overeenkomen met affiene coördinaten van een bepaald punt. In dit geval moet ten minste één van de constante factoren niet gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen dat geen enkel punt overeenkomt met de vergelijking.}

In de overgrote meerderheid van de voorbeelden zijn veel numerieke factoren nog steeds identiek gelijk aan nul en is de vergelijking sterk vereenvoudigd. In de praktijk is het niet moeilijk om te bepalen of een punt tot een oppervlak behoort (het is voldoende om de coördinaten in de vergelijking in te vullen en te controleren of de identiteit wordt waargenomen). Het belangrijkste punt in dergelijk werk is om dit laatste tot een canonieke vorm te brengen.

De hierboven geschreven vergelijking definieert alle (alle hieronder genoemde) oppervlakken van de 2e orde. We zullen hieronder voorbeelden bekijken.

Soorten oppervlakken van de 2e orde

Vergelijkingen van oppervlakken van de 2e orde verschillen alleen in de waarden van de coëfficiënten A_{nm. Vanuit het algemene beeld kunnen voor bepaalde waarden van de constanten verschillende oppervlakken worden verkregen, als volgt geclassificeerd:}

1. Cilinders.
2. Elliptisch type.
3. Hyperbolisch type.
4. Conisch type.
5. Parabolisch type.
6. Vliegtuigen.

Elk van de genoemde typen heeft een natuurlijke en denkbeeldige vorm: in de denkbeeldige vorm degenereert de meetkundige plaats van reële punten ofwel tot een eenvoudiger figuur, of is helemaal afwezig.

Cilinders

Dit is het eenvoudigste type, omdat een relatief complexe curve alleen aan de basis ligt en als richtlijn fungeert. De generatoren zijn rechte lijnen loodrecht op het vlak waarin de basis ligt.

De grafiek toont een cirkelvormige cilinder, een speciaal geval van een elliptische cilinder. In het XY-vlak zal de projectie ervan een ellips zijn (in ons geval een cirkel) - een gids en in XZ - een rechthoek - aangezien de generatoren evenwijdig zijn aan de Z-as. Om het uit de algemene vergelijking te halen, moet je om de coëfficiënten de volgende waarden te geven:

In plaats van de gebruikelijke symbolen worden x, y, z, x met een serienummer gebruikt - het maakt niet uit.

In feite zijn 1/a2en de andere constanten die hier worden aangegeven dezelfde coëfficiënten die zijn aangegeven in de algemene vergelijking, maar het is gebruikelijk om ze in deze vorm te schrijven - dit is de canonieke voorstelling. Verder wordt alleen zo'n notatie gebruikt.

Zo wordt een hyperbolische cilinder gedefinieerd. Het schema is hetzelfde - de hyperbool zal de gids zijn.

y2=2px

Een parabolische cilinder is iets anders gedefinieerd: zijn canonieke vorm bevat een coëfficiënt p, een parameter genoemd. In feite is de coëfficiënt gelijk aan q=2p, maar het is gebruikelijk om deze te verdelen in de twee gepresenteerde factoren.

Er is een ander type cilinder: denkbeeldig. Bij zo'n cilinder hoort geen echt punt. Het wordt beschreven door de vergelijkingelliptische cilinder, maar in plaats van eenheid is -1.

Elliptisch type

Een ellipsoïde kan worden uitgerekt langs een van de assen (waarlangs het afhangt van de waarden van de constanten a, b, c, hierboven aangegeven; het is duidelijk dat een grotere coëfficiënt overeenkomt met de grotere as).

Er is ook een denkbeeldige ellipsoïde - op voorwaarde dat de som van de coördinaten vermenigvuldigd met de coëfficiënten -1 is:

Hyperboloïden

Als er een min verschijnt in een van de constanten, verandert de ellipsoïde vergelijking in de vergelijking van een hyperboloïde met één blad. Het moet duidelijk zijn dat deze min niet voor de x₃-coördinaat hoeft te staan! Het bepa alt alleen welke van de assen de rotatie-as van de hyperboloïde zal zijn (of evenwijdig daaraan, aangezien wanneer aanvullende termen in het vierkant verschijnen (bijvoorbeeld (x-2)^{2) het midden van de figuur verschuift, waardoor het oppervlak evenwijdig aan de coördinaatassen beweegt). Dit geldt voor alle oppervlakken van de 2e orde.}

Bovendien moet je begrijpen dat de vergelijkingen in canonieke vorm worden gepresenteerd en dat ze kunnen worden gewijzigd door de constanten te variëren (met behoud van het teken!); terwijl hun vorm (hyperboloïde, kegel, enzovoort) hetzelfde blijft.

Deze vergelijking wordt al gegeven door een hyperboloïde met twee vellen.

Conisch oppervlak

Er is geen eenheid in de kegelvergelijking - gelijkheid tot nul.

Alleen een begrensd kegelvormig oppervlak wordt een kegel genoemd. De afbeelding hieronder laat zien dat er in feite twee zogenaamde kegels op de kaart zullen staan.

Belangrijke opmerking: in alle beschouwde canonieke vergelijkingen worden de constanten standaard als positief beschouwd. Anders kan het teken de uiteindelijke kaart beïnvloeden.

De coördinaatvlakken worden de symmetrievlakken van de kegel, het symmetriecentrum bevindt zich in de oorsprong.

Er zijn alleen plussen in de denkbeeldige kegelvergelijking; het bezit één enkel echt punt.

Paraboloïden

Oppervlakken van de 2e orde in de ruimte kunnen verschillende vormen aannemen, zelfs met vergelijkbare vergelijkingen. Er zijn bijvoorbeeld twee soorten paraboloïden.

x²/a²+y²/b^2=2z

Een elliptische paraboloïde, wanneer de Z-as loodrecht op de tekening staat, wordt in een ellips geprojecteerd.

x²/a²-y²/b^2=2z

Hyperbolische paraboloïde: secties met vlakken evenwijdig aan ZY zullen parabolen produceren, en secties met vlakken evenwijdig aan XY zullen hyperbolen produceren.

Kruisende vlakken

Er zijn gevallen waarin oppervlakken van de 2e orde degenereren tot een vlak. Deze vliegtuigen kunnen op verschillende manieren worden gerangschikt.

Beschouw eerst de kruisende vlakken:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Deze wijziging van de canonieke vergelijking resulteert in slechts twee elkaar snijdende vlakken (denkbeeldig!); alle reële punten liggen op de as van de coördinaat die ontbreekt in de vergelijking (in de canonieke - de Z-as).

Parallelle vlakken

y²=a²

Als er maar één coördinaat is, degenereren de oppervlakken van de 2e orde in een paar evenwijdige vlakken. Onthoud dat elke andere variabele de plaats van Y kan innemen; dan zullen vlakken parallel aan andere assen worden verkregen.

y²=−a²

In dit geval worden ze denkbeeldig.

Samenvallende vliegtuigen

y2=0

Met zo'n simpele vergelijking degenereert een paar vlakken in één - ze vallen samen.

Vergeet niet dat in het geval van een driedimensionale basis, de bovenstaande vergelijking niet de rechte lijn y=0 definieert! Het mist de andere twee variabelen, maar dat betekent alleen dat hun waarde constant is en gelijk aan nul.

Gebouw

Een van de moeilijkste taken voor een leerling is de constructie van oppervlakken van de 2e orde. Het is zelfs nog moeilijker om van het ene coördinatensysteem naar het andere te gaan, gezien de hoeken van de curve ten opzichte van de assen en de verschuiving van het middelpunt. Laten we herhalen hoe we consequent het toekomstige aanzicht van de tekening kunnen bepalen met een analytischemanier.

Om een oppervlak van de 2e orde te bouwen, heb je nodig:

• breng de vergelijking naar de canonieke vorm;
• bepaal het type te onderzoeken oppervlak;
• construeren op basis van coëfficiëntwaarden.

Hieronder staan alle beschouwde typen:

Laten we, om te consolideren, een voorbeeld van dit type taak in detail beschrijven.

Voorbeelden

Stel dat er een vergelijking is:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60j+144=0}

Laten we het naar de canonieke vorm brengen. Laten we de volledige kwadraten eruit pikken, dat wil zeggen dat we de beschikbare termen zo rangschikken dat ze de uitbreiding zijn van het kwadraat van de som of het verschil. Bijvoorbeeld: als (a+1)²=a²+2a+1 dan a²+2a +1=(a+1)^{2. We zullen de tweede operatie uitvoeren. In dit geval is het niet nodig om de haakjes te openen, omdat dit de berekeningen alleen maar ingewikkelder maakt, maar het is noodzakelijk om de gemene deler 6 te verwijderen (tussen haakjes met het volledige kwadraat van de Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

De variabele z komt in dit geval maar één keer voor - je kunt hem nu met rust laten.

We analyseren de vergelijking in dit stadium: alle onbekenden worden voorafgegaan door een plusteken; wanneer gedeeld door zes, blijft er één over. Daarom hebben we een vergelijking die een ellipsoïde definieert.

Merk op dat 144 werd meegenomen in 150-6, waarna de -6 naar rechts werd verplaatst. Waarom moest het op deze manier? Het is duidelijk dat de grootste deler in dit voorbeeld -6 is, dus na delen dooréén is links aan de rechterkant, het is noodzakelijk om precies 6 van 144 te "uitstellen" (het feit dat men aan de rechterkant zou moeten zijn, wordt aangegeven door de aanwezigheid van een vrije term - een constante die niet vermenigvuldigd wordt met een onbekende).

Deel alles door zes en krijg de canonieke vergelijking van de ellipsoïde:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

In de eerder gebruikte classificatie van oppervlakken van de 2e orde, wordt rekening gehouden met een speciaal geval wanneer het midden van de figuur aan de oorsprong van de coördinaten ligt. In dit voorbeeld is het offset.

We nemen aan dat elk haakje met onbekenden een nieuwe variabele is. Dat wil zeggen: a=x-1, b=y+5, c=z. In de nieuwe coördinaten v alt het middelpunt van de ellipsoïde samen met het punt (0, 0, 0), dus a=b=c=0, vandaar: x=1, y=-5, z=0. In de begincoördinaten ligt het middelpunt van de figuur op het punt (1, -5, 0).

Ellipsoïde wordt verkregen uit twee ellipsen: de eerste in het XY-vlak en de tweede in het XZ-vlak (of YZ - het maakt niet uit). De coëfficiënten waarmee de variabelen worden gedeeld, worden gekwadrateerd in de canonieke vergelijking. Daarom zou het in het bovenstaande voorbeeld juister zijn om te delen door de wortel van twee, één en de wortel van drie.

De korte as van de eerste ellips, evenwijdig aan de Y-as, is twee. De hoofdas evenwijdig aan de x-as is twee wortels van twee. De korte as van de tweede ellips, evenwijdig aan de Y-as, blijft hetzelfde - deze is gelijk aan twee. En de hoofdas, evenwijdig aan de Z-as, is gelijk aan twee wortels van drie.

Met behulp van de gegevens die zijn verkregen uit de oorspronkelijke vergelijking door te converteren naar de canonieke vorm, kunnen we een ellipsoïde tekenen.

Samenvattend

Behandeld in dit artikelhet onderwerp is vrij uitgebreid, maar in feite, zoals je nu kunt zien, niet erg ingewikkeld. De ontwikkeling ervan stopt in feite op het moment dat je de namen en vergelijkingen van oppervlakken onthoudt (en natuurlijk hoe ze eruitzien). In het bovenstaande voorbeeld hebben we elke stap in detail besproken, maar om de vergelijking naar de canonieke vorm te brengen, is minimale kennis van hogere wiskunde vereist en zou de student geen problemen moeten opleveren.

Analyse van het toekomstige schema op de bestaande gelijkheid is al een moeilijkere taak. Maar voor de succesvolle oplossing is het voldoende om te begrijpen hoe de corresponderende tweede-orde krommen zijn opgebouwd - ellipsen, parabolen en andere.

Degeneratiegevallen - een nog eenvoudiger gedeelte. Door het ontbreken van enkele variabelen zijn niet alleen de berekeningen vereenvoudigd, zoals eerder vermeld, maar ook de constructie zelf.

Zodra je alle soorten oppervlakken met vertrouwen kunt benoemen, verander je de constanten en verander je de grafiek in een of andere vorm - het onderwerp zal onder de knie zijn.

Succes met je studie!