Typische geometrische problemen in het vlak en in de driedimensionale ruimte zijn de problemen bij het bepalen van de oppervlakten van verschillende vormen. In dit artikel presenteren we de formule voor de oppervlakte van het zijoppervlak van een regelmatige vierhoekige piramide.
Wat is een piramide?
Laten we een strikte geometrische definitie van een piramide geven. Stel dat er een veelhoek is met n zijden en n hoeken. We kiezen een willekeurig punt in de ruimte dat niet in het vlak van de gespecificeerde n-hoek ligt, en verbinden dit met elk hoekpunt van de veelhoek. We krijgen een figuur met een bepaald volume, dat een n-gonale piramide wordt genoemd. Laten we bijvoorbeeld in de onderstaande afbeelding laten zien hoe een vijfhoekige piramide eruitziet.
Twee belangrijke elementen van een piramide zijn de basis (n-gon) en de top. Deze elementen zijn met elkaar verbonden door n driehoeken, die in het algemeen niet gelijk aan elkaar zijn. Loodrecht gedaald vanvan boven naar beneden wordt de hoogte van de figuur genoemd. Als het de basis in het geometrische centrum snijdt (samenv alt met het zwaartepunt van de veelhoek), dan wordt zo'n piramide een rechte lijn genoemd. Als, naast deze voorwaarde, de basis een regelmatige veelhoek is, wordt de hele piramide regelmatig genoemd. De onderstaande afbeelding laat zien hoe regelmatige piramides eruitzien met driehoekige, vierhoekige, vijfhoekige en zeshoekige basissen.
Piramide oppervlak
Alvorens in te gaan op de kwestie van het oppervlak van het zijoppervlak van een regelmatige vierhoekige piramide, moeten we stilstaan bij het concept van het oppervlak zelf.
Zoals hierboven vermeld en getoond in de figuren, wordt elke piramide gevormd door een reeks vlakken of zijkanten. Eén zijde is de basis en n zijden zijn driehoeken. Het oppervlak van de hele figuur is de som van de oppervlakten van elk van zijn zijden.
Het is handig om het oppervlak te bestuderen op het voorbeeld van een figuur die zich ontvouwt. Een scan voor een regelmatige vierhoekige piramide wordt getoond in de onderstaande afbeeldingen.
We zien dat de oppervlakte gelijk is aan de som van vier gebieden van identieke gelijkbenige driehoeken en de oppervlakte van een vierkant.
De totale oppervlakte van alle driehoeken die de zijden van de figuur vormen, wordt de oppervlakte van het zijoppervlak genoemd. Vervolgens laten we zien hoe we deze kunnen berekenen voor een regelmatige vierhoekige piramide.
De oppervlakte van het zijoppervlak van een vierhoekige regelmatige piramide
Om het gebied van de laterale te berekenenoppervlak van de opgegeven figuur, gaan we opnieuw naar de bovenstaande scan. Stel dat we de zijde van de vierkante basis kennen. Laten we het aanduiden met symbool a. Het is te zien dat elk van de vier identieke driehoeken een basis met lengte a heeft. Om hun totale oppervlakte te berekenen, moet u deze waarde voor één driehoek weten. Uit het geometrieverloop is bekend dat de oppervlakte van een driehoek St gelijk is aan het product van de basis en de hoogte, die in tweeën gedeeld moet worden. Dat is:
St=1/2hba.
Waarbij hb de hoogte is van een gelijkbenige driehoek getrokken naar de basis a. Voor een piramide is deze hoogte het apothema. Nu blijft het over om de resulterende uitdrukking met 4 te vermenigvuldigen om het gebied Sb van het laterale oppervlak voor de piramide in kwestie te krijgen:
Sb=4St=2hba.
Deze formule bevat twee parameters: het apothema en de zijkant van de basis. Als de laatste bekend is in de meeste omstandigheden van de problemen, moet de eerste worden berekend met kennis van andere grootheden. Hier zijn de formules voor het berekenen van apotema hb voor twee gevallen:
- wanneer de lengte van de zijrib bekend is;
- wanneer de hoogte van de piramide bekend is.
Als we de lengte van de zijrand (de zijde van een gelijkbenige driehoek) aangeven met het symbool L, dan wordt het apotema hb bepaald door de formule:
hb=√(L2 - a2/4).
Deze uitdrukking is het resultaat van het toepassen van de stelling van Pythagoras voor de laterale oppervlaktedriehoek.
Indien bekendde hoogte h van de piramide, dan kan het apotema hb als volgt worden berekend:
hb=√(h2 + a2/4).
Het verkrijgen van deze uitdrukking is ook niet moeilijk als we binnen de piramide een rechthoekige driehoek beschouwen, gevormd door de benen h en a/2 en de hypotenusa hb.
Laten we laten zien hoe we deze formules kunnen toepassen door twee interessante problemen op te lossen.
Probleem met bekende oppervlakte
Het is bekend dat het zijoppervlak van een regelmatige vierhoekige piramide 108 cm is2. Het is noodzakelijk om de waarde van de lengte van zijn apothema hb te berekenen, als de hoogte van de piramide 7 cm is.
Laten we de formule schrijven voor het gebied Sbvan het zijoppervlak door de hoogte. We hebben:
Sb=2√(h2 + a2/4) a.
Hier hebben we zojuist de corresponderende apotema-formule vervangen door de uitdrukking voor Sb. Laten we beide zijden van de vergelijking kwadrateren:
Sb2=4a2h2 + a4.
Om de waarde van a te vinden, laten we de variabelen wijzigen:
a2=t;
t2+ 4h2t - Sb 2=0.
We vervangen nu de bekende waarden en lossen de kwadratische vergelijking op:
t2+ 196t - 11664=0.
t ≈ 47, 8355.
We hebben alleen de positieve wortel van deze vergelijking opgeschreven. Dan zijn de zijkanten van de basis van de piramide:
a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.
Om de lengte van het apotema te krijgen,gebruik gewoon de formule:
hb=√(h2 + a2/4)=√(7 2+ 6, 9162/4) ≈ 7, 808 zie
Zijvlak van de piramide van Cheops
Bepaal de waarde van het zijoppervlak voor de grootste Egyptische piramide. Het is bekend dat aan de basis een vierkant ligt met een zijde van 230,363 meter. De hoogte van de constructie was oorspronkelijk 146,5 meter. Vervang deze getallen in de corresponderende formule voor Sb, we krijgen:
Sb=2√(h2 + a2/4) a=2√(146, 52+230, 3632/4)230, 363 ≈ 85860 m2.
De gevonden waarde is iets groter dan de oppervlakte van 17 voetbalvelden.
