Bij het bestuderen van absoluut elke ruimtelijke figuur, is het belangrijk om te weten hoe je het volume kunt berekenen. Dit artikel geeft een formule voor het volume van een regelmatige vierhoekige piramide en laat ook zien hoe deze formule moet worden gebruikt aan de hand van een voorbeeld van het oplossen van problemen.
Over welke piramide hebben we het?
Elke middelbare scholier weet dat een piramide een veelvlak is dat bestaat uit driehoeken en een veelhoek. De laatste is de basis van de figuur. Driehoeken hebben een gemeenschappelijke zijde met de basis en snijden elkaar in een enkel punt, namelijk de top van de piramide.
Elke piramide wordt gekenmerkt door de lengte van de zijkanten van de basis, de lengte van de zijkanten en de hoogte. Dit laatste is een loodrecht segment, verlaagd naar de basis vanaf de bovenkant van de figuur.
Een regelmatige vierhoekige piramide is een figuur met een vierkante basis, waarvan de hoogte dit vierkant in het midden snijdt. Misschien wel het meest bekende voorbeeld van dit soort piramides zijn de oude Egyptische stenen structuren. Hieronder een fotopiramides van Cheops.
De bestudeerde figuur heeft vijf vlakken, waarvan vier identieke gelijkbenige driehoeken. Het wordt ook gekenmerkt door vijf hoekpunten, waarvan er vier tot de basis behoren, en acht randen (4 randen van de basis en 4 randen van de zijvlakken).
De formule voor het volume van een vierhoekige piramide is correct
Het volume van de figuur in kwestie is een deel van de ruimte dat wordt begrensd door vijf zijden. Om dit volume te berekenen, gebruiken we de volgende afhankelijkheid van de oppervlakte van een plak evenwijdig aan de basis van de piramide Sz op de verticale coördinaat z:
Sz=So (h - z/h)2
Hier is So het gebied van de vierkante basis. Als we z=h in de geschreven uitdrukking vervangen, krijgen we een nulwaarde voor Sz. Deze waarde van z komt overeen met een plak die alleen de bovenkant van de piramide zal bevatten. Als z=0, dan krijgen we de waarde van het basisgebied So.
Het is gemakkelijk om het volume van een piramide te vinden als je de functie Sz(z) kent, hiervoor volstaat het om de figuur in een oneindig aantal lagen parallel aan de basis en voer vervolgens de integratiebewerking uit. Ik volg deze techniek, we krijgen:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Omdat S0 ishet gebied van de vierkante basis, dan, ter aanduiding van de zijde van het vierkant met de letter a, verkrijgen we de formule voor het volume van een regelmatige vierhoekige piramide:
V=1/3a2h.
Laten we nu voorbeelden van probleemoplossing gebruiken om te laten zien hoe deze uitdrukking moet worden toegepast.
Het probleem van het bepalen van het volume van een piramide door zijn apothema en zijrand
Het apothema van een piramide is de hoogte van de laterale driehoek, die naar de zijkant van de basis is verlaagd. Aangezien alle driehoeken gelijk zijn in een regelmatige piramide, zullen hun apothems ook hetzelfde zijn. Laten we de lengte ervan aangeven met het symbool hb. Geef de zijrand aan als b.
Weten dat het apothema van de piramide 12 cm is en de zijrand 15 cm, vind het volume van een regelmatige vierhoekige piramide.
De formule voor het volume van de figuur die in de vorige paragraaf is geschreven, bevat twee parameters: lengte a en hoogte h. Op dit moment kennen we geen van hen, dus laten we eens kijken naar hun berekeningen.
De lengte van de zijde van een vierkant a is gemakkelijk te berekenen als je de stelling van Pythagoras gebruikt voor een rechthoekige driehoek, waarbij de hypotenusa de rand b is, en de benen het apothema h b en de helft van de zijkant van de basis a/2. We krijgen:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Door de bekende waarden uit de voorwaarde te vervangen, krijgen we de waarde a=18 cm.
Om de hoogte h van de piramide te berekenen, kun je twee dingen doen: beschouw een rechthoekigeen driehoek met een hypotenusa-zijrand of met een hypotenusa-apothem. Beide methoden zijn gelijk en omvatten de uitvoering van hetzelfde aantal wiskundige bewerkingen. Laten we stilstaan bij de beschouwing van een driehoek, waar de hypotenusa het apothema hb is. De poten erin zijn h en a / 2. Dan krijgen we:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Nu kunt u de formule voor volume V gebruiken:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Het volume van een regelmatige vierhoekige piramide is dus ongeveer 0,86 liter.
Het volume van de piramide van Cheops
Laten we nu een interessant en praktisch belangrijk probleem oplossen: vind het volume van de grootste piramide in Gizeh. Uit de literatuur is bekend dat de oorspronkelijke hoogte van het gebouw 146,5 meter was en de lengte van de basis 230,363 meter. Met deze getallen kunnen we de formule toepassen om V te berekenen. We krijgen:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
De resulterende waarde is bijna 2,6 miljoen m3. Dit volume komt overeen met het volume van een kubus waarvan de zijde 137,4 meter is.
