Het gebied van het zijoppervlak en het volume van een afgeknotte piramide: formules en een voorbeeld van het oplossen van een typisch probleem

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Bij het bestuderen van de eigenschappen van figuren in de driedimensionale ruimte binnen het kader van stereometrie, moet men vaak problemen oplossen om het volume en de oppervlakte te bepalen. In dit artikel laten we zien hoe je het volume en het laterale oppervlak voor een afgeknotte piramide kunt berekenen met behulp van bekende formules.

Piramide in geometrie

In de meetkunde is een gewone piramide een figuur in de ruimte, die op een platte n-gon is gebouwd. Alle hoekpunten zijn verbonden met één punt dat zich buiten het vlak van de veelhoek bevindt. Hier is bijvoorbeeld een foto met een vijfhoekige piramide.

Deze figuur wordt gevormd door vlakken, hoekpunten en randen. Het vijfhoekige vlak wordt de basis genoemd. De overige driehoekige vlakken vormen het zijvlak. Het snijpunt van alle driehoeken is het hoofdpunt van de piramide. Als een loodlijn van daaruit naar de basis wordt verlaagd, zijn er twee opties voor de positie van het snijpunt:

• in het geometrische centrum, dan heet de piramide een rechte lijn;
• niet ingeometrisch middelpunt, dan is de figuur schuin.

Verder zullen we alleen rechte figuren met een regelmatige n-gonale basis beschouwen.

Wat is dit cijfer - een afgeknotte piramide?

Om het volume van een afgeknotte piramide te bepalen, is het noodzakelijk om duidelijk te begrijpen welk figuur specifiek in kwestie is. Laten we dit probleem verduidelijken.

Stel dat we een snijvlak nemen dat evenwijdig is aan de basis van een gewone piramide en daarmee een deel van het zijoppervlak afsnijden. Als deze bewerking wordt uitgevoerd met de vijfhoekige piramide die hierboven is weergegeven, krijg je een figuur zoals in de onderstaande figuur.

Op de foto is te zien dat deze piramide al twee bases heeft, en de bovenste lijkt op de onderste, maar is kleiner van formaat. Het zijoppervlak wordt niet langer weergegeven door driehoeken, maar door trapezoïden. Ze zijn gelijkbenig en hun aantal komt overeen met het aantal zijden van de basis. De afgeknotte figuur heeft geen hoofdpunt, zoals een regelmatige piramide, en de hoogte wordt bepaald door de afstand tussen evenwijdige bases.

In het algemene geval, als de figuur in kwestie wordt gevormd door n-gonale basen, heeft deze n+2 vlakken of zijden, 2n hoekpunten en 3n randen. Dat wil zeggen, de afgeknotte piramide is een veelvlak.

Formule voor het volume van een afgeknotte piramide

Bedenk dat het volume van een gewone piramide 1/3 is van het product van zijn hoogte en basisoppervlak. Deze formule is niet geschikt voor een afgeknotte piramide, omdat deze twee basen heeft. En zijn volumezal altijd kleiner zijn dan dezelfde waarde voor het reguliere getal waarvan het is afgeleid.

Zonder in te gaan op de wiskundige details van het verkrijgen van de uitdrukking, presenteren we de definitieve formule voor het volume van een afgeknotte piramide. Het is als volgt geschreven:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Hier zijn S₁ en S_{2 de gebieden van respectievelijk de onderste en bovenste basis, h is de hoogte van de figuur. De schriftelijke uitdrukking is niet alleen geldig voor een rechte regelmatige afgeknotte piramide, maar ook voor elke figuur van deze klasse. Bovendien, ongeacht het type basispolygonen. De enige voorwaarde die het gebruik van de uitdrukking voor V beperkt, is dat de basis van de piramide evenwijdig aan elkaar moet zijn.}

Er kunnen verschillende belangrijke conclusies worden getrokken door de eigenschappen van deze formule te bestuderen. Dus als het gebied van de bovenste basis nul is, komen we bij de formule voor V van een gewone piramide. Als de oppervlakten van de bases gelijk zijn aan elkaar, dan krijgen we de formule voor het volume van het prisma.

Hoe het laterale oppervlak te bepalen?

Het kennen van de kenmerken van een afgeknotte piramide vereist niet alleen het vermogen om het volume te berekenen, maar ook om het gebied van het zijoppervlak te bepalen.

De afgeknotte piramide bestaat uit twee soorten gezichten:

• gelijkbenige trapezoïden;
• veelhoekige basissen.

Als er een regelmatige veelhoek in de basissen is, dan is de berekening van het gebied niet grootmoeilijkheden. Om dit te doen, hoeft u alleen de lengte van de zijde a en hun nummer n te kennen.

In het geval van een lateraal oppervlak, omvat de berekening van zijn oppervlakte het bepalen van deze waarde voor elk van de n trapeziums. Als de n-gon correct is, wordt de formule voor het zijoppervlak:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Hier is h_b de hoogte van de trapezium, die het apoteem van de figuur wordt genoemd. De hoeveelheden a₁ en a_{2zijn de lengtes van de zijden van regelmatige n-gonale basen.}

Voor elke regelmatige n-gonale afgeknotte piramide kan het apotema h_b uniek worden gedefinieerd via de parameters a₁ en a _{2en de hoogte h van de vorm.}

De taak om het volume en de oppervlakte van een figuur te berekenen

Gegeven een regelmatige driehoekige afgeknotte piramide. Het is bekend dat de hoogte h 10 cm is, en de lengtes van de zijkanten van de basis zijn 5 cm en 3 cm Wat is het volume van de afgeknotte piramide en het oppervlak van het zijoppervlak?

Laten we eerst de waarde V berekenen. Zoek hiervoor de oppervlakten van gelijkzijdige driehoeken aan de basis van de figuur. We hebben:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 cm²

Vervang de gegevens in de formule voor V, we krijgen het gewenste volume:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Om het zijoppervlak te bepalen, moet u het wetenapothema lengte h_{b. Als we de corresponderende rechthoekige driehoek in de piramide beschouwen, kunnen we de gelijkheid ervoor schrijven:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 cm}

De waarde van het apothema en de zijkanten van de driehoekige basen worden vervangen door de uitdrukking voor S_{b en we krijgen het antwoord:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2cm²

Zo hebben we alle vragen van het probleem beantwoord: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.