Bij het bestuderen van stereometrie is een van de hoofdonderwerpen "Cilinder". Het laterale oppervlak wordt beschouwd, zo niet de belangrijkste, dan wel een belangrijke formule bij het oplossen van geometrische problemen. Het is echter belangrijk om definities te onthouden die u zullen helpen bij het navigeren door voorbeelden en bij het bewijzen van verschillende stellingen.
Cilinderconcept
Eerst moeten we een paar definities overwegen. Pas na ze te hebben bestudeerd, kan men beginnen met de kwestie van de formule voor het oppervlak van het zijoppervlak van een cilinder. Op basis van deze invoer kunnen andere uitdrukkingen worden berekend.
- Een cilindrisch oppervlak wordt opgevat als een vlak beschreven door een beschrijvende lijn, bewegend en evenwijdig aan een bepaalde richting blijvend, glijdend langs een bestaande curve.
- Er is ook een tweede definitie: een cilindrisch oppervlak wordt gevormd door een reeks evenwijdige lijnen die een bepaalde kromme snijden.
- Generatief wordt gewoonlijk de hoogte van de cilinder genoemd. Wanneer het beweegt rond een as die door het midden van de basis gaat,het aangewezen geometrische lichaam wordt verkregen.
- Onder de as wordt een rechte lijn bedoeld die door beide basissen van de figuur gaat.
- Een cilinder is een stereometrische lichaam dat wordt begrensd door een snijdend zijoppervlak en 2 evenwijdige vlakken.
Er zijn varianten van deze driedimensionale figuur:
- Circulair is een cilinder waarvan de gids een cirkel is. De belangrijkste componenten zijn de straal van de basis en de beschrijvende. De laatste is gelijk aan de hoogte van de figuur.
- Er is een rechte cilinder. Het dankt zijn naam aan de loodrechtheid van de beschrijvende lijn op de basis van de figuur.
- De derde soort is een afgeschuinde cilinder. In schoolboeken kun je er ook een andere naam voor vinden - "ronde cilinder met een afgeschuinde basis". Deze figuur definieert de straal van de basis, de minimale en maximale hoogte.
- Een gelijkzijdige cilinder wordt opgevat als een lichaam met gelijke hoogte en diameter van een cirkelvormig vlak.
Symbolen
Traditioneel worden de belangrijkste "componenten" van een cilinder als volgt genoemd:
- De straal van de basis is R (het vervangt ook dezelfde waarde van een stereometrische figuur).
- Generatief – L.
- Hoogte – H.
- Base area - Sbase (met andere woorden, u moet de gespecificeerde cirkelparameter vinden).
- Afgeschuinde cilinderhoogten – h1, h2 (minimum en maximum).
- Side oppervlakte - Sside (als je het uitbreidt, krijg jeeen soort rechthoek).
- Het volume van een stereometrische figuur - V.
- Totale oppervlakte – S.
“Componenten” van een stereometrische figuur
Bij het bestuderen van een cilinder speelt het zijoppervlak een belangrijke rol. Dit komt door het feit dat deze formule is opgenomen in verschillende andere, meer complexe. Daarom is het noodzakelijk om goed thuis te zijn in de theorie.
De belangrijkste onderdelen van de figuur zijn:
- Zijkant. Zoals je weet, wordt het verkregen door de beweging van de beschrijvende lijn langs een bepaalde curve.
- Volledig oppervlak omvat bestaande bases en zijvlak.
- De doorsnede van een cilinder is in de regel een rechthoek die evenwijdig is aan de as van de figuur. Anders wordt het een vliegtuig genoemd. Het blijkt dat de lengte en breedte parttime componenten zijn van andere figuren. Dus, voorwaardelijk, zijn de lengtes van de sectie generatoren. Breedte - parallelle akkoorden van een stereometrische figuur.
- Axiale sectie betekent de locatie van het vlak door het midden van het lichaam.
- En tot slot, de definitieve definitie. Een raaklijn is een vlak dat door de beschrijvende lijn van de cilinder gaat en loodrecht op de axiale doorsnede staat. In dat geval moet aan één voorwaarde worden voldaan. De gespecificeerde beschrijvende lijn moet worden opgenomen in het vlak van de axiale doorsnede.
Basisformules voor het werken met een cilinder
Om de vraag te beantwoorden hoe het oppervlak van een cilinder te vinden, is het noodzakelijk om de belangrijkste "componenten" van een stereometrische figuur en de formules om ze te vinden te bestuderen.
Deze formules verschillen doordat eerst de uitdrukkingen voor de afgeschuinde cilinder worden gegeven, en dan voor de rechte.
Gedeconstrueerde voorbeelden
Taak 1.
Het is noodzakelijk om het gebied van het zijoppervlak van de cilinder te kennen. De diagonaal van de doorsnede AC=8 cm wordt gegeven (bovendien is deze axiaal). Bij contact met de generatrix blijkt <ACD=30°
Beslissing. Aangezien de waarden van de diagonaal en de hoek bekend zijn, geldt in dit geval:
CD=ACcos 30°
Commentaar. Driehoek ACD is in dit specifieke voorbeeld een rechthoekige driehoek. Dit betekent dat het quotiënt van het delen van CD en AC=de cosinus van de gegeven hoek. De waarde van goniometrische functies is te vinden in een speciale tabel.
Op dezelfde manier kun je de waarde van AD vinden:
AD=ACsin 30°
Nu moet je het gewenste resultaat berekenen met behulp van de volgende formule: het gebied van het zijoppervlak van de cilinder is gelijk aan tweemaal het resultaat van het vermenigvuldigen van "pi", de straal van de figuur en de hoogte ervan. Er moet ook een andere formule worden gebruikt: het gebied van de basis van de cilinder. Het is gelijk aan het resultaat van het vermenigvuldigen van "pi" met het kwadraat van de straal. En tot slot de laatste formule: totale oppervlakte. Het is gelijk aan de som van de vorige twee gebieden.
Taak 2.
Cilinders worden gegeven. Hun volume=128n cm³. Welke cilinder heeft de kleinstevolledige oppervlakte?
Beslissing. Eerst moet je de formules gebruiken om het volume van een figuur en zijn hoogte te vinden.
Aangezien het totale oppervlak van een cilinder uit de theorie bekend is, moet de formule worden toegepast.
Als we de resulterende formule beschouwen als een functie van het oppervlak van de cilinder, dan wordt de minimale "indicator" bereikt op het uiterste punt. Om de laatste waarde te krijgen, moet je differentiatie gebruiken.
Formules kunnen worden bekeken in een speciale tabel voor het vinden van afgeleiden. In de toekomst wordt het gevonden resultaat gelijkgesteld aan nul en wordt de oplossing van de vergelijking gevonden.
Antwoord: Smin wordt bereikt bij h=1/32 cm, R=64 cm.
Probleem 3.
Gegeven een stereometrische figuur - een cilinder en een sectie. Dit laatste wordt zo uitgevoerd dat het evenwijdig aan de as van het stereometrische lichaam ligt. De cilinder heeft de volgende parameters: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm Het is noodzakelijk om de afstand tussen de sectie en de as te vinden.
Beslissing.
Aangezien de doorsnede van een cilinder VSCM is, d.w.z. een rechthoek, is de zijde VM=h. WMC moet worden overwogen. De driehoek is rechthoekig. Op basis van deze stelling kunnen we de juiste aanname afleiden dat MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
Hieruit kunnen we concluderen dat MK=BC=8 cm.
De volgende stap is het tekenen van een doorsnede door de basis van de figuur. Het is noodzakelijk om rekening te houden met het resulterende vlak.
AD – diameter van een stereometrische figuur. Het is parallel aan het gedeelte dat in de probleemstelling wordt genoemd.
BC is een rechte lijn op het vlak van de bestaande rechthoek.
ABCD is een trapezium. In een bepaald geval wordt het als gelijkbenig beschouwd, omdat er een cirkel omheen wordt beschreven.
Als je de hoogte van het resulterende trapezium vindt, kun je het antwoord aan het begin van het probleem krijgen. Namelijk: het vinden van de afstand tussen de as en de getekende doorsnede.
Om dit te doen, moet je de waarden van AD en OS vinden.
Antwoord: de sectie bevindt zich op 3 cm van de as.
Problemen om het materiaal te consolideren
Voorbeeld 1.
Cilinder gegeven. Het laterale oppervlak wordt gebruikt in de verdere oplossing. Andere opties zijn bekend. Het gebied van de basis is Q, het gebied van de axiale sectie is M. Het is noodzakelijk om S te vinden. Met andere woorden, het totale gebied van de cilinder.
Voorbeeld 2.
Cilinder gegeven. Het laterale oppervlak moet worden gevonden in een van de stappen om het probleem op te lossen. Het is bekend dat hoogte=4 cm, straal=2 cm. Het is noodzakelijk om de totale oppervlakte van een stereometrische figuur te vinden.
