In de meetkunde worden twee belangrijke kenmerken gebruikt om figuren te bestuderen: de lengtes van de zijden en de hoeken ertussen. Bij ruimtelijke figuren worden aan deze kenmerken tweevlakshoeken opgeteld. Laten we eens kijken wat het is, en ook de methode beschrijven om deze hoeken te bepalen aan de hand van het voorbeeld van een piramide.
Het concept van tweevlakshoek
Iedereen weet dat twee snijdende lijnen een hoek vormen met het hoekpunt op het snijpunt. Deze hoek kan worden gemeten met een gradenboog, of u kunt trigonometrische functies gebruiken om deze te berekenen. De hoek gevormd door twee rechte hoeken wordt lineair genoemd.
Stel je nu voor dat er in de driedimensionale ruimte twee vlakken zijn die elkaar in een rechte lijn snijden. Ze worden weergegeven in de afbeelding.
Een tweevlakshoek is de hoek tussen twee elkaar snijdende vlakken. Net als lineair wordt het gemeten in graden of radialen. Als op een punt van de lijn waarlangs de vlakken elkaar snijden, twee loodlijnen worden hersteld,liggend in deze vlakken, dan zal de hoek ertussen de gewenste tweevlakshoek zijn. De eenvoudigste manier om deze hoek te bepalen, is door de algemene vergelijkingen van vlakken te gebruiken.
De vergelijking van vlakken en de formule voor de hoek ertussen
De vergelijking van elk vlak in de ruimte wordt in algemene termen als volgt geschreven:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Hier zijn x, y, z de coördinaten van punten die tot het vlak behoren, de coëfficiënten A, B, C, D zijn enkele bekende getallen. Het gemak van deze gelijkheid voor het berekenen van tweevlakshoeken is dat het expliciet de coördinaten van de richtingsvector van het vlak bevat. We zullen het aanduiden met n¯. Dan:
n¯=(A; B; C).
De vector n¯ staat loodrecht op het vlak. De hoek tussen twee vlakken is gelijk aan de hoek tussen hun richtingsvectoren n1¯ en n2¯. Uit de wiskunde is bekend dat de hoek gevormd door twee vectoren op unieke wijze wordt bepaald uit hun scalair product. Hiermee kun je een formule schrijven voor het berekenen van de tweevlakshoek tussen twee vlakken:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Als we de coördinaten van de vectoren vervangen, wordt de formule expliciet geschreven:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Het modulo-teken in de teller wordt gebruikt om alleen een scherpe hoek te definiëren, aangezien een tweevlakshoek altijd kleiner is dan of gelijk is aan 90o.
Piramide en zijn hoeken
Piramide is een figuur gevormd door één n-gon en n driehoeken. Hier is n een geheel getal gelijk aan het aantal zijden van de veelhoek die de basis van de piramide is. Deze ruimtelijke figuur is een veelvlak of veelvlak, omdat het uit platte vlakken (zijden) bestaat.
De tweevlakshoeken van een piramide-veelvlak kunnen van twee soorten zijn:
- tussen basis en zijkant (driehoek);
- tussen twee kanten.
Als de piramide als regelmatig wordt beschouwd, is het gemakkelijk om de benoemde hoeken ervoor te bepalen. Om dit te doen, moet men met behulp van de coördinaten van drie bekende punten een vergelijking van vlakken opstellen en vervolgens de formule gebruiken die in de bovenstaande paragraaf is gegeven voor de hoek φ.
Hieronder geven we een voorbeeld waarin we laten zien hoe we tweevlakshoeken kunnen vinden aan de basis van een vierhoekige regelmatige piramide.
Een vierhoekige regelmatige piramide en een hoek aan de basis
Veronderstel dat een regelmatige piramide met een vierkante basis wordt gegeven. De lengte van de zijde van het vierkant is a, de hoogte van de figuur is h. Zoek de hoek tussen de basis van de piramide en zijn zijkant.
Laten we de oorsprong van het coördinatensysteem in het midden van het vierkant plaatsen. Dan de coördinaten van de puntenA, B, C, D getoond in de afbeelding zal zijn:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Denk aan de vliegtuigen ACB en ADB. Uiteraard is de richtingsvector n1¯ voor het ACB-vlak:
1¯=(0; 0; 1).
Om de richtingsvector n2¯ van het ADB-vlak te bepalen, gaat u als volgt te werk: zoek twee willekeurige vectoren die daarbij horen, bijvoorbeeld AD¯ en AB¯, bereken vervolgens hun vectorwerk. Het resultaat geeft de coördinaten n2¯. We hebben:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Aangezien vermenigvuldiging en deling van een vector door een getal de richting niet verandert, transformeren we de resulterende n2¯ en delen we de coördinaten door -a, we krijgen:
2¯=(h; 0; a/2).
We hebben vectorhulplijnen n1¯ en n2¯ gedefinieerd voor de ACB-basis- en ADB-zijvlakken. Het blijft om de formule voor de hoek φ te gebruiken:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Transformeer de resulterende uitdrukking en herschrijf deze als volgt:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
We hebben de formule verkregen voor de tweevlakshoek aan de basis voor een regelmatige vierhoekige piramide. Als u de hoogte van de figuur en de lengte van zijn zijde kent, kunt u de hoek berekenen. Bijvoorbeeld, voor de piramide van Cheops, waarvan de basiszijde 230,4 meter is, en de initiële hoogte 146,5 meter was, zal de hoek φ 51,8o.
zijn
Het is ook mogelijk om de tweevlakshoek voor een vierhoekige regelmatige piramide te bepalen met behulp van de geometrische methode. Om dit te doen, volstaat het om een rechthoekige driehoek te beschouwen die wordt gevormd door hoogte h, de helft van de lengte van de basis a/2 en het apothema van een gelijkbenige driehoek.
