Hoe de minimum- en maximumpunten van een functie te vinden: kenmerken, methoden en voorbeelden

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Functie en de studie van zijn kenmerken is een van de belangrijkste hoofdstukken in de moderne wiskunde. Het hoofdbestanddeel van elke functie zijn grafieken die niet alleen de eigenschappen ervan weergeven, maar ook de parameters van de afgeleide van deze functie. Laten we eens kijken naar dit lastige onderwerp. Dus wat is de beste manier om de maximale en minimale punten van een functie te vinden?

Functie: Definitie

Elke variabele die op de een of andere manier afhankelijk is van de waarden van een andere waarde, kan een functie worden genoemd. De functie f(x²) is bijvoorbeeld kwadratisch en bepa alt de waarden voor de hele verzameling x. Laten we zeggen dat x=9, dan is de waarde van onze functie gelijk aan 9^2=81.

Functies zijn er in veel verschillende soorten: logisch, vector, logaritmisch, trigonometrisch, numeriek en andere. Uitmuntende geesten als Lacroix, Lagrange, Leibniz en Bernoulli waren bezig met hun studie. Hun geschriften dienen als een bolwerk in moderne manieren om functies te bestuderen. Voordat u de minimumpunten vindt, is het erg belangrijk om de betekenis van de functie en zijn afgeleide te begrijpen.

De afgeleide en zijn rol

Alle functies zijn inafhankelijk van hun variabele waarden, wat betekent dat ze hun waarde op elk moment kunnen wijzigen. In de grafiek wordt dit weergegeven als een curve die da alt of stijgt langs de y-as (dit is de hele reeks "y"-getallen langs de verticaal van de grafiek). En dus is de definitie van een punt van een maximum en een minimum van functie gewoon verbonden met deze "oscillaties". Laten we uitleggen wat deze relatie is.

De afgeleide van een functie wordt in een grafiek getekend om de belangrijkste kenmerken ervan te bestuderen en te berekenen hoe snel de functie verandert (dwz verandert de waarde afhankelijk van de variabele "x"). Op het moment dat de functie toeneemt, zal de grafiek van zijn afgeleide ook toenemen, maar op elk moment kan de functie beginnen te dalen, en dan zal de grafiek van de afgeleide afnemen. Die punten waarop de afgeleide van min naar plus gaat, worden minimumpunten genoemd. Om te weten hoe u de minimumpunten kunt vinden, moet u het concept van de afgeleide beter begrijpen.

Hoe de afgeleide berekenen?

Het definiëren en berekenen van de afgeleide van een functie impliceert verschillende concepten uit de differentiaalrekening. In het algemeen kan de definitie van de afgeleide als volgt worden uitgedrukt: dit is de waarde die de veranderingssnelheid van de functie aangeeft.

Wiskundige manier om het te bepalen voor veel studenten lijkt ingewikkeld, maar in feite is alles veel eenvoudiger. Je hoeft alleen maar te volgenstandaardplan voor het vinden van de afgeleide van een functie. Hieronder wordt beschreven hoe u het minimumpunt van een functie kunt vinden zonder de differentiatieregels toe te passen en zonder de tabel met afgeleiden te onthouden.

1. Je kunt de afgeleide van een functie berekenen met behulp van een grafiek. Om dit te doen, moet je de functie zelf afbeelden en er dan één punt op nemen (punt A in Fig.) Trek een lijn verticaal naar beneden naar de as van de abscis (punt x_{0), en teken in punt A een raaklijn aan de grafische functie. De abscis en de raaklijn vormen een hoek a. Om de waarde te berekenen van hoe snel de functie toeneemt, moet je de tangens van deze hoek a berekenen.}
2. Het blijkt dat de tangens van de hoek tussen de raaklijn en de richting van de x-as de afgeleide is van de functie in een klein gebied met punt A. Deze methode wordt beschouwd als een geometrische manier om de afgeleide te bepalen.

Methoden om een functie te onderzoeken

In het schoolcurriculum voor wiskunde is het mogelijk om het minimumpunt van een functie op twee manieren te vinden. We hebben de eerste methode al geanalyseerd met behulp van de grafiek, maar hoe bepaal je de numerieke waarde van de afgeleide? Om dit te doen, moet je verschillende formules leren die de eigenschappen van de afgeleide beschrijven en helpen om variabelen zoals "x" in getallen om te zetten. De volgende methode is universeel en kan dus op bijna alle soorten functies worden toegepast (zowel geometrisch als logaritmisch).

1. Het is noodzakelijk om de functie gelijk te stellen aan de afgeleide functie, en vervolgens de uitdrukking te vereenvoudigen met behulp van de regelsdifferentiatie.
2. delen door nul).
3. Daarna moet je de oorspronkelijke vorm van de functie omzetten in een eenvoudige vergelijking, waarbij je de hele uitdrukking gelijkstelt aan nul. Als de functie er bijvoorbeeld zo uitzag: f(x)=2x³+38x, dan is volgens de differentiatieregels de afgeleide gelijk aan f'(x)=3x ^{2 +1. Vervolgens transformeren we deze uitdrukking in een vergelijking van de volgende vorm: 3x}2^+1=0.
4. Na het oplossen van de vergelijking en het vinden van de punten "x", moet je ze op de x-as tekenen en bepalen of de afgeleide in deze gebieden tussen de gemarkeerde punten positief of negatief is. Na de aanduiding wordt duidelijk op welk punt de functie begint af te nemen, dat wil zeggen, het verandert van teken van min naar het tegenovergestelde. Op deze manier kun je zowel het minimum als het maximum aantal punten vinden.

Differentiatieregels

Het meest elementaire onderdeel van het leren van een functie en zijn afgeleide is het kennen van de differentiatieregels. Alleen met hun hulp is het mogelijk om omslachtige uitdrukkingen en grote complexe functies te transformeren. Laten we er eens kennis mee maken, er zijn er nogal wat, maar ze zijn allemaal heel eenvoudig vanwege de reguliere eigenschappen van zowel macht als logaritmische functies.

1. De afgeleide van elke constante is nul (f(x)=0). Dat wil zeggen, de afgeleide f(x)=x⁵+ x - 160 zal de volgende vorm aannemen: f' (x)=5x^4+1.
2. De afgeleide van de som van twee termen: (f+w)'=f'w + fw'.
3. Afgeleide van een logaritmische functie: (log_{ad)'=d/ln ad. Deze formule is van toepassing op alle soorten logaritmen.}
4. Afgeleide van graad: (x)'=nx^n-1. Bijvoorbeeld (9x^2)'=92x=18x.
5. Afgeleide van een sinusoïdale functie: (sin a)'=cos a. Als de sin van hoek a 0,5 is, dan is zijn afgeleide √3/2.

Extrem punten

We hebben al ontdekt hoe we de minimumpunten kunnen vinden, maar er is het concept van maximumpunten van een functie. Als het minimum die punten aangeeft waarop de functie van min naar plus gaat, dan zijn de maximumpunten die punten op de x-as waarop de afgeleide van de functie verandert van plus naar het tegenovergestelde - minus.

Je kunt het maximum aantal punten vinden met behulp van de hierboven beschreven methode, maar houd er rekening mee dat ze die gebieden aangeven waar de functie begint af te nemen, dat wil zeggen dat de afgeleide kleiner dan nul zal zijn.

In de wiskunde is het gebruikelijk om beide concepten te veralgemenen en ze te vervangen door de uitdrukking "uiterste punten". Wanneer de taak vraagt om deze punten te bepalen, betekent dit dat het nodig is om de afgeleide van deze functie te berekenen en de minimum- en maximumpunten te vinden.