Een belangrijk concept in de wiskunde is een functie. Met zijn hulp kunt u veel processen in de natuur visualiseren, de relatie tussen bepaalde hoeveelheden weergeven met behulp van formules, tabellen en afbeeldingen in een grafiek. Een voorbeeld is de afhankelijkheid van de druk van een vloeistoflaag op een lichaam van de diepte van onderdompeling, versnelling - van de werking van een bepaalde kracht op een object, temperatuurstijging - van de overgedragen energie en vele andere processen. De studie van een functie omvat de constructie van een grafiek, de verduidelijking van de eigenschappen, de reikwijdte en waarden, intervallen van toename en afname. Een belangrijk punt in dit proces is het vinden van de uiterste punten. Over hoe je het goed doet, en het gesprek gaat door.
Over het concept zelf op een specifiek voorbeeld
In de geneeskunde kan het plotten van een functiegrafiek iets vertellen over de voortgang van een ziekte in het lichaam van een patiënt, waarbij zijn toestand visueel wordt weergegeven. Laten we aannemen dat de tijd in dagen is uitgezet langs de OX-as, en de temperatuur van het menselijk lichaam is uitgezet langs de OY-as. De figuur laat duidelijk zien hoe deze indicator sterk stijgt, endan v alt het. Het is ook gemakkelijk om singuliere punten op te merken die de momenten weerspiegelen waarop de functie, die eerder was toegenomen, begint af te nemen en vice versa. Dit zijn de extreme punten, dat wil zeggen de kritische waarden (maximum en minimum) in dit geval van de temperatuur van de patiënt, waarna veranderingen in zijn toestand optreden.
Kantelhoek
Het is gemakkelijk om uit de figuur te bepalen hoe de afgeleide van een functie verandert. Als de rechte lijnen van de grafiek in de loop van de tijd omhoog gaan, is deze positief. En hoe steiler ze zijn, hoe groter de waarde van de afgeleide, naarmate de hellingshoek groter wordt. Tijdens perioden van afname neemt deze waarde negatieve waarden aan en wordt nul op de uiterste punten, en de grafiek van de afgeleide wordt in het laatste geval evenwijdig aan de OX-as getekend.
Elk ander proces moet op dezelfde manier worden behandeld. Maar het beste aan dit concept is de beweging van verschillende lichamen, duidelijk weergegeven in de grafieken.
Beweging
Stel dat een object in een rechte lijn beweegt en gelijkmatig aan snelheid wint. Gedurende deze periode vertegenwoordigt de verandering in de coördinaten van het lichaam grafisch een bepaalde curve, die een wiskundige een tak van een parabool zou noemen. Tegelijkertijd neemt de functie voortdurend toe, omdat de coördinaatindicatoren met elke seconde sneller en sneller veranderen. De snelheidsgrafiek toont het gedrag van de afgeleide, waarvan de waarde ook toeneemt. Dit betekent dat de beweging geen kritieke punten heeft.
Het zou voor onbepaalde tijd zijn doorgegaan. Maar als het lichaam plotseling besluit te vertragen, stop dan en begin in een ander te bewegenrichting? In dit geval beginnen de coördinaatindicatoren af te nemen. En de functie passeert de kritieke waarde en verandert van toenemend naar afnemend.
In dit voorbeeld kun je weer begrijpen dat de extreme punten op de functiegrafiek verschijnen op de momenten dat het niet meer eentonig is.
Fysieke betekenis van de afgeleide
Eerder beschreven toonde duidelijk aan dat de afgeleide in wezen de veranderingssnelheid van de functie is. Deze verfijning bevat zijn fysieke betekenis. Extreme punten zijn kritieke gebieden op de kaart. Het is mogelijk om ze te achterhalen en te detecteren door de waarde van de afgeleide te berekenen, die gelijk aan nul blijkt te zijn.
Er is nog een teken, dat een voldoende voorwaarde is voor een extremum. De afgeleide op dergelijke verbuigingsplaatsen verandert van teken: van "+" naar "-" in het gebied van maximum en van "-" naar "+" in het gebied van minimum.
Beweging onder invloed van zwaartekracht
Laten we ons een andere situatie voorstellen. De kinderen speelden met de bal en gooiden het zo dat het schuin naar de horizon begon te bewegen. Op het eerste moment was de snelheid van dit object het grootst, maar onder invloed van de zwaartekracht begon het af te nemen, en met elke seconde met dezelfde waarde, gelijk aan ongeveer 9,8 m/s2. Dit is de waarde van de versnelling die optreedt onder invloed van de zwaartekracht van de aarde tijdens een vrije val. Op de maan zou hij ongeveer zes keer kleiner zijn.
De grafiek die de beweging van het lichaam beschrijft, is een parabool met takken,naar beneden. Hoe extreme punten te vinden? In dit geval is dit het hoekpunt van de functie, waar de snelheid van het lichaam (bal) een nulwaarde aanneemt. De afgeleide van de functie wordt nul. In dit geval verandert de richting, en dus de waarde van de snelheid, in het tegenovergestelde. Het lichaam vliegt elke seconde sneller en sneller naar beneden en versnelt met dezelfde hoeveelheid - 9,8 m/s2.
Tweede afgeleide
In het vorige geval wordt de grafiek van de snelheidsmodulus getekend als een rechte lijn. Deze lijn is eerst naar beneden gericht, aangezien de waarde van deze grootheid voortdurend da alt. Nadat ze op een van de tijdstippen nul hebben bereikt, beginnen de indicatoren van deze waarde toe te nemen en verandert de richting van de grafische weergave van de snelheidsmodule dramatisch. De lijn wijst nu naar boven.
Velocity, de afgeleide van de coördinaat in de tijd, heeft ook een kritiek punt. In deze regio begint de functie, die aanvankelijk afneemt, toe te nemen. Dit is de plaats van het uiterste punt van de afgeleide van de functie. In dit geval wordt de helling van de raaklijn nul. En versnelling, de tweede afgeleide van de coördinaat met betrekking tot tijd, verandert het teken van "-" in "+". En de beweging van uniform langzaam wordt uniform versneld.
Versnellingstabel
Beschouw nu vier foto's. Elk van hen geeft een grafiek weer van de verandering in de tijd van een fysieke grootheid als versnelling. In het geval van "A" blijft de waarde positief en constant. Dit betekent dat de snelheid van het lichaam, net als zijn coördinaat, voortdurend toeneemt. Als eenstel je voor dat het object oneindig lang op deze manier zal bewegen, de functie die de afhankelijkheid van de coördinaat van de tijd weerspiegelt, zal constant toenemen. Hieruit volgt dat het geen kritische regio's heeft. Er zijn ook geen extreme punten in de grafiek van de afgeleide, dat wil zeggen, lineair veranderende snelheid.
Hetzelfde geldt voor geval "B" met een positieve en constant toenemende versnelling. Toegegeven, de grafieken voor coördinaten en snelheid zullen hier wat gecompliceerder zijn.
Als de versnelling naar nul neigt
Als je de afbeelding "B" bekijkt, kun je een heel andere afbeelding zien die de beweging van het lichaam kenmerkt. De snelheid wordt grafisch weergegeven als een parabool met takken die naar beneden wijzen. Als we doorgaan met de lijn die de verandering in versnelling beschrijft totdat deze de OX-as kruist, en verder, dan kunnen we ons voorstellen dat tot aan deze kritische waarde, waar de versnelling gelijk aan nul blijkt te zijn, de snelheid van het object zal toenemen steeds langzamer. Het uiterste punt van de afgeleide van de coördinaatfunctie zal net aan de top van de parabool liggen, waarna het lichaam de aard van de beweging radicaal zal veranderen en in de andere richting begint te bewegen.
In het laatste geval, "G", kan de aard van de beweging niet precies worden bepaald. Hier weten we alleen dat er gedurende een bepaalde periode geen versnelling is. Dit betekent dat het object op zijn plaats kan blijven of dat de beweging met een constante snelheid plaatsvindt.
Coördineer opteltaak
Laten we verder gaan met taken die vaak voorkomen bij de studie van algebra op school en die worden aangeboden voorvoorbereiding op het examen. Onderstaande figuur toont de grafiek van de functie. Het is nodig om de som van extreme punten te berekenen.
Laten we dit doen voor de y-as door de coördinaten te bepalen van kritieke regio's waar een verandering in de kenmerken van de functie wordt waargenomen. Simpel gezegd, we vinden de waarden langs de x-as voor de buigpunten en gaan dan verder met het toevoegen van de resulterende termen. Volgens de grafiek is het duidelijk dat ze de volgende waarden aannemen: -8; -7; -5; -3; -2; een; 3. Dit komt neer op -21, wat het antwoord is.
Optimale oplossing
Het is niet nodig om uit te leggen hoe belangrijk de keuze van de optimale oplossing kan zijn bij het uitvoeren van praktische taken. Er zijn tenslotte veel manieren om het doel te bereiken, en de beste uitweg is er in de regel maar één. Dit is bijvoorbeeld uiterst noodzakelijk bij het ontwerpen van schepen, ruimtevaartuigen en vliegtuigen, architecturale structuren om de optimale vorm van deze door de mens gemaakte objecten te vinden.
De snelheid van voertuigen hangt grotendeels af van de competente minimalisering van de weerstand die ze ervaren bij het bewegen door water en lucht, van overbelasting die ontstaat onder invloed van zwaartekracht en vele andere indicatoren. Een schip op zee heeft eigenschappen als stabiliteit bij storm nodig, voor een rivierschip is een minimale diepgang van belang. Bij het berekenen van het optimale ontwerp kunnen de extreme punten op de grafiek visueel een idee geven van de beste oplossing voor een complex probleem. Dit soort taken zijn vaakworden opgelost in de economie, in economische gebieden, in vele andere levenssituaties.
Uit de oude geschiedenis
Extreme problemen hielden zelfs de oude wijzen bezig. Griekse wetenschappers hebben het mysterie van gebieden en volumes met succes ontrafeld door middel van wiskundige berekeningen. Zij waren de eersten die begrepen dat op een vlak van verschillende figuren met dezelfde omtrek, de cirkel altijd het grootste oppervlak heeft. Evenzo is een bal begiftigd met het maximale volume tussen andere objecten in de ruimte met hetzelfde oppervlak. Beroemde persoonlijkheden als Archimedes, Euclid, Aristoteles en Apollonius wijdden zich aan het oplossen van dergelijke problemen. Heron slaagde er heel goed in om extreme punten te vinden, die, nadat hij zijn toevlucht had genomen tot berekeningen, ingenieuze apparaten bouwde. Deze omvatten automatische machines die door middel van stoom bewegen, pompen en turbines die volgens hetzelfde principe werken.
Bouw van Carthago
Er is een legende waarvan de plot is gebaseerd op het oplossen van een van de extreme problemen. Het resultaat van de zakelijke benadering die werd getoond door de Fenicische prinses, die zich tot de wijzen om hulp wendde, was de bouw van Carthago. Het stuk grond voor deze oude en beroemde stad werd door de leider van een van de Afrikaanse stammen aan Dido (dat was de naam van de heerser) aangeboden. Het gebied van de volkstuin leek hem aanvankelijk niet erg groot, omdat het volgens het contract bedekt moest zijn met een ossenhuid. Maar de prinses beval haar soldaten om het in dunne reepjes te snijden en er een riem van te maken. Het bleek zo lang te zijn dat het de site bedekte,waar de hele stad in past.
De oorsprong van calculus
En laten we nu van de oudheid naar een later tijdperk gaan. Interessant is dat Kepler in de 17e eeuw door een ontmoeting met een wijnverkoper de grondbeginselen van wiskundige analyse leerde begrijpen. De koopman was zo goed thuis in zijn vak dat hij gemakkelijk het volume van de drank in het vat kon bepalen door er eenvoudig een ijzeren tourniquet in te laten zakken. Nadenkend over zo'n nieuwsgierigheid, slaagde de beroemde wetenschapper erin dit dilemma voor zichzelf op te lossen. Het blijkt dat bekwame kuipers uit die tijd onder de knie kregen om vaartuigen zo te maken dat ze bij een bepaalde hoogte en straal van de omtrek van de bevestigingsringen een maximale capaciteit zouden hebben.
Dit was voor Kepler reden voor verdere reflectie. Bochars kwam tot de optimale oplossing door een lange zoektocht, fouten en nieuwe pogingen, waarbij ze hun ervaring van generatie op generatie doorgeven. Maar Kepler wilde het proces versnellen en via wiskundige berekeningen in korte tijd leren hetzelfde te doen. Al zijn ontwikkelingen, opgepikt door collega's, veranderden in de inmiddels bekende stellingen van Fermat en Newton - Leibniz.
Maximale oppervlakteprobleem
Stel je voor dat we een draad hebben met een lengte van 50 cm. Hoe maak je er een rechthoek van met de grootste oppervlakte?
Als je een beslissing neemt, moet je uitgaan van eenvoudige en bekende waarheden. Het is duidelijk dat de omtrek van onze figuur 50 cm zal zijn en bestaat ook uit twee keer de lengte van beide zijden. Dit betekent dat, als een van hen als "X" is aangeduid, de andere kan worden uitgedrukt als (25 - X).
Vanaf hier krijgen weeen oppervlakte gelijk aan X (25 - X). Deze uitdrukking kan worden weergegeven als een functie die veel waarden aanneemt. De oplossing van het probleem vereist het vinden van het maximum ervan, wat betekent dat je de extreme punten moet vinden.
Om dit te doen, vinden we de eerste afgeleide en stellen deze gelijk aan nul. Het resultaat is een eenvoudige vergelijking: 25 - 2X=0.
Hieruit leren we dat een van de zijden X=12, 5.
Dus nog een: 25 – 12, 5=12, 5.
Het blijkt dat de oplossing voor het probleem een vierkant is met een zijde van 12,5 cm.
Hoe de maximale snelheid te vinden
Laten we nog een voorbeeld bekijken. Stel je voor dat er een lichaam is waarvan de rechtlijnige beweging wordt beschreven door de vergelijking S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, waarbij de afstand gereisd wordt uitgedrukt in meters, en de tijd is in seconden. Het is nodig om de maximale snelheid te vinden. Hoe je dat doet? Gedownload zoek de snelheid, dat wil zeggen de eerste afgeleide.
We krijgen de vergelijking: V=- 3t2 + 18t – 24. Om het probleem op te lossen, moeten we opnieuw de extreme punten vinden. Dit moet op dezelfde manier worden gedaan als bij de vorige taak. Zoek de eerste afgeleide van de snelheid en stel deze gelijk aan nul.
We krijgen: - 6t + 18=0. Dus t=3 s. Dit is het moment waarop de snelheid van het lichaam een kritische waarde aanneemt. We vervangen de verkregen gegevens in de snelheidsvergelijking en krijgen: V=3 m/s.
Maar hoe te begrijpen dat dit precies de maximale snelheid is, omdat de kritieke punten van een functie de maximale of minimale waarden kunnen zijn? Om te controleren, moet je een tweede vindenafgeleide van snelheid. Het wordt uitgedrukt als het getal 6 met een minteken. Dit betekent dat het gevonden punt het maximum is. En in het geval van een positieve waarde van de tweede afgeleide, zou er een minimum zijn. Dus de gevonden oplossing bleek correct te zijn.
De taken die als voorbeeld worden gegeven, zijn slechts een deel van de taken die kunnen worden opgelost door de extreme punten van een functie te vinden. In feite zijn er veel meer. En zulke kennis opent onbegrensde mogelijkheden voor de menselijke beschaving.
