Het vermogen om te werken met numerieke uitdrukkingen die een vierkantswortel bevatten, is noodzakelijk voor de succesvolle oplossing van een aantal problemen van de OGE en de USE. In deze examens is een basiskennis van wat wortelextractie is en hoe het in de praktijk wordt gedaan meestal voldoende.
Definitie
De n-de wortel van een getal X is een getal x waarvoor de gelijkheid waar is: xn =X.
Het vinden van de waarde van een uitdrukking met een wortel betekent het vinden van x gegeven X en n.
De vierkantswortel of, wat hetzelfde is, de tweede wortel van X - het getal x waarvoor aan de gelijkheid is voldaan: x2 =X.
Aanduiding: ∛Х. Hier is 3 de graad van de wortel, X is de worteluitdrukking. Het teken '√' wordt vaak een radicaal genoemd.
Als het getal boven de wortel de graad niet aangeeft, is de standaard graad 2.
In een schoolcursus voor even graden wordt meestal geen rekening gehouden met negatieve wortels en radicale uitdrukkingen. Er is bijvoorbeeld geen√-2, en voor de uitdrukking √4 is het juiste antwoord 2, ondanks het feit dat (-2)2 ook gelijk is aan 4.
Rationaliteit en irrationaliteit van wortels
De eenvoudigst mogelijke taak met een wortel is om de waarde van een uitdrukking te vinden of deze te testen op rationaliteit.
Bereken bijvoorbeeld de waarden √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 omdat 52 =25;
- ∛8=2 omdat 23 =8;
- ∛ - 125=-5 sinds (-5)3 =-125.
De antwoorden in de gegeven voorbeelden zijn rationale getallen.
Bij het werken met uitdrukkingen die geen letterlijke constanten en variabelen bevatten, wordt aanbevolen om altijd een dergelijke controle uit te voeren met behulp van de inverse bewerking van verheffen tot een natuurlijke macht. Het getal x tot de n-de macht vinden is gelijk aan het berekenen van het product van n factoren van x.
Er zijn veel uitdrukkingen met een wortel waarvan de waarde irrationeel is, dat wil zeggen, geschreven als een oneindige niet-periodieke breuk.
Rationale getallen zijn per definitie die getallen die kunnen worden uitgedrukt als een gewone breuk, en irrationale getallen zijn alle andere reële getallen.
Deze omvatten √24, √0, 1, √101.
Als het probleemboek zegt: zoek de waarde van de uitdrukking met een wortel van 2, 3, 5, 6, 7, enz., dat wil zeggen, van die natuurlijke getallen die niet in de tabel met vierkanten staan, dan is het juiste antwoord √ 2 mag aanwezig zijn (tenzij anders vermeld).
Beoordeling
Bij problemen meteen open antwoord, als het onmogelijk is om de waarde van een uitdrukking met een wortel te vinden en het als een rationaal getal te schrijven, moet het resultaat als een radicaal worden gelaten.
Sommige opdrachten vereisen mogelijk evaluatie. Vergelijk bijvoorbeeld 6 en √37. De oplossing vereist het kwadrateren van beide getallen en het vergelijken van de resultaten. Van twee getallen is het getal waarvan het kwadraat groter is groter. Deze regel werkt voor alle positieve getallen:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- betekent √37 > 6.
Op dezelfde manier worden problemen opgelost waarbij meerdere getallen in oplopende of aflopende volgorde moeten worden gerangschikt.
Voorbeeld: Rangschik 5, √6, √48, √√64 in oplopende volgorde.
Na het kwadrateren hebben we: 25, 6, 48, √64. Je zou alle getallen opnieuw kunnen kwadrateren om ze te vergelijken met √64, maar het is gelijk aan het rationale getal 8. 6 < 8 < 25 < 48, dus de oplossing is: 48.
Vereenvoudiging van de uitdrukking
Het komt voor dat het onmogelijk is om de waarde van een uitdrukking met een wortel te vinden, dus moet deze worden vereenvoudigd. De volgende formule helpt hierbij:
√ab=√a√b.
De wortel van het product van twee getallen is gelijk aan het product van hun wortels. Deze bewerking vereist ook de mogelijkheid om een getal te ontbinden.
In het beginstadium, om het werk te versnellen, is het raadzaam om een tabel met priemgetallen en vierkanten bij de hand te hebben. Deze tabellen met frequentgebruik in de toekomst zal onthouden worden.
Bijvoorbeeld, √242 is een irrationeel getal, je kunt het als volgt converteren:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Meestal wordt het resultaat geschreven als 11√2 (lees: elf wortels uit twee).
Als het moeilijk is om meteen te zien in welke twee factoren een getal moet worden ontleed zodat uit één ervan een natuurlijke wortel kan worden geëxtraheerd, kun je de volledige ontleding in priemfactoren gebruiken. Als hetzelfde priemgetal twee keer voorkomt in de uitbreiding, wordt het uit het wortelteken gehaald. Als er veel factoren zijn, kun je de wortel in verschillende stappen extraheren.
Voorbeeld: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Het getal 2 komt 2 keer voor in de uitbreiding (in feite meer dan twee keer, maar we zijn nog steeds geïnteresseerd in de eerste twee keer in de uitbreiding).
We halen het onder het wortelteken vandaan:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Herhaal dezelfde actie:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
In de resterende radicale uitdrukking komen 2 en 3 één keer voor, dus het blijft om de factor 5:
weg te nemen
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
en rekenkundige bewerkingen uitvoeren:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Dus we krijgen √2400=20√6.
Als de taak niet expliciet vermeldt: "zoek de waarde van de uitdrukking met een vierkantswortel", dan is de keuze,in welke vorm het antwoord moet worden achtergelaten (of de wortel onder de radicaal moet worden gehaald) blijft bij de student en kan afhangen van het probleem dat wordt opgelost.
In het begin worden hoge eisen gesteld aan het ontwerp van taken, de berekening, ook mondeling of schriftelijk, zonder het gebruik van technische middelen.
Pas na een goede beheersing van de regels voor het werken met irrationele numerieke uitdrukkingen, is het zinvol om verder te gaan met moeilijkere letterlijke uitdrukkingen en het oplossen van irrationele vergelijkingen en het berekenen van het bereik van mogelijke waarden van de uitdrukking onder de radicaal.
Studenten komen dit soort problemen tegen tijdens het Unified State Exam in wiskunde, evenals in het eerste jaar van gespecialiseerde universiteiten bij het bestuderen van wiskundige analyse en aanverwante disciplines.
