De studie van functies en hun grafieken is een onderwerp dat speciale aandacht krijgt in het kader van het middelbare schoolcurriculum. Enkele basisprincipes van wiskundige analyse - differentiatie - zijn opgenomen in het profielniveau van het examen wiskunde. Sommige schoolkinderen hebben problemen met dit onderwerp, omdat ze de grafieken van de functie en de afgeleide door elkaar halen en ook de algoritmen vergeten. Dit artikel behandelt de belangrijkste soorten taken en hoe deze op te lossen.
Wat is de functiewaarde?
Een wiskundige functie is een speciale vergelijking. Het legt een verband tussen getallen. De functie hangt af van de waarde van het argument.
De waarde van de functie wordt berekend volgens de gegeven formule. Om dit te doen, vervangt u elk argument dat overeenkomt met het bereik van geldige waarden in deze formule in plaats van x en voert u de nodige wiskundige bewerkingen uit. Wat?
Hoe vind je de kleinste waarde van een functie,een grafiekfunctie gebruiken?
Grafische weergave van de afhankelijkheid van een functie van een argument wordt een functiegraaf genoemd. Het is gebouwd op een vlak met een bepaald eenheidssegment, waar de waarde van een variabele of argument wordt uitgezet langs de horizontale abscis en de bijbehorende functiewaarde langs de verticale ordinaat-as.
Hoe groter de waarde van het argument, hoe meer naar rechts het op de grafiek ligt. En hoe groter de waarde van de functie zelf, hoe hoger het punt is.
Wat zegt dit? De kleinste waarde van de functie is het punt dat het laagst op de grafiek ligt. Om het op een grafieksegment te vinden, hebt u het volgende nodig:
1) Zoek en markeer de uiteinden van dit segment.
2) Bepaal visueel welk punt op dit segment het laagst ligt.
3) Schrijf als antwoord de numerieke waarde op, die kan worden bepaald door een punt op de y-as te projecteren.
Extremum punten op de afgeleide grafiek. Waar te zoeken?
Bij het oplossen van problemen wordt een grafiek echter soms niet van een functie gegeven, maar van zijn afgeleide. Om te voorkomen dat u per ongeluk een stomme fout maakt, is het beter om de voorwaarden aandachtig te lezen, aangezien het afhangt van waar u extreme punten moet zoeken.
Dus, de afgeleide is de momentane toename van de functie. Volgens de geometrische definitie komt de afgeleide overeen met de helling van de raaklijn, die rechtstreeks naar het gegeven punt wordt getrokken.
Het is bekend dat op de uiterste punten de raaklijn evenwijdig is aan de Os-as. Dit betekent dat de helling 0 is.
Hieruit kunnen we concluderen dat op de uiterste punten de afgeleide op de x-as ligt of verdwijnt. Maar bovendien verandert de functie op deze punten van richting. Dat wil zeggen, na een periode van toename begint het af te nemen, en de afgeleide verandert dienovereenkomstig van positief in negatief. Of andersom.
Als de afgeleide negatief wordt van positief, is dit het maximale punt. Als van negatief het positief wordt - het minimumpunt.
Belangrijk: als u een minimum- of maximumpunt in de taak moet specificeren, moet u als reactie de bijbehorende waarde langs de abscis-as schrijven. Maar als u de waarde van de functie moet vinden, moet u eerst de corresponderende waarde van het argument in de functie vervangen en deze berekenen.
Hoe extreme punten te vinden met behulp van afgeleide?
De overwogen voorbeelden verwijzen voornamelijk naar taak nummer 7 van het examen, waarbij wordt gewerkt met een grafiek van een derivaat of een antiderivaat. Maar taak 12 van de USE - om de kleinste waarde van een functie op een segment te vinden (soms de grootste) - wordt uitgevoerd zonder enige tekeningen en vereist basisvaardigheden in wiskundige analyse.
Om het uit te voeren, moet je extreme punten kunnen vinden met behulp van de afgeleide. Het algoritme om ze te vinden is als volgt:
- Zoek de afgeleide van een functie.
- Zet het op nul.
- Zoek de wortels van de vergelijking.
- Controleer of de verkregen punten extremum- of buigpunten zijn.
Om dit te doen, teken een diagram en verderde resulterende intervallen bepalen de tekens van de afgeleide door de getallen die bij de segmenten horen in de afgeleide te vervangen. Als je bij het oplossen van de vergelijking wortels van dubbele veelvoud hebt, zijn dit buigpunten.
Toepassen van de stellingen, bepalen welke punten minimaal en welke maximaal zijn
Bereken de kleinste waarde van een functie met behulp van een afgeleide
Nadat we al deze acties hebben uitgevoerd, zullen we de waarden van de minimum- en maximumpunten langs de x-as vinden. Maar hoe vind je de kleinste waarde van een functie op een segment?
Wat moet er worden gedaan om het nummer te vinden dat overeenkomt met de functie op een bepaald punt? U moet de waarde van het argument in deze formule vervangen.
Punten van minimum en maximum komen overeen met de kleinste en grootste waarde van de functie op het segment. Dus om de waarde van de functie te vinden, moet je de functie berekenen met behulp van de verkregen x-waarden.
Belangrijk! Als de taak vereist dat u een minimum- of maximumpunt opgeeft, moet u als reactie de bijbehorende waarde langs de x-as schrijven. Maar als je de waarde van de functie moet vinden, dan moet je eerst de corresponderende waarde van het argument in de functie vervangen en de nodige wiskundige bewerkingen uitvoeren.
Wat moet ik doen als er geen dieptepunten zijn in dit segment?
Maar hoe vind je de kleinste waarde van een functie op een segment zonder extreme punten?
Dit betekent dat de functie er monotoon op afneemt of toeneemt. Vervolgens moet u de waarde van de extreme punten van dit segment in de functie vervangen. Er zijn twee manieren.
1) Na berekend te hebbenafgeleide en de intervallen waarop deze positief of negatief is, om te concluderen of de functie op een bepaald segment afneemt of toeneemt.
Vervang in overeenstemming met hen een grotere of kleinere waarde van het argument in de functie.
2) Vervang gewoon beide punten in de functie en vergelijk de resulterende functiewaarden.
In welke taken het vinden van de afgeleide optioneel is
In de USE-toewijzingen moet je in de regel nog steeds de afgeleide vinden. Er zijn slechts een paar uitzonderingen.
1) Parabool.
Het hoekpunt van de parabool wordt gevonden door de formule.
Als een < 0, dan zijn de takken van de parabool naar beneden gericht. En zijn piek is het maximale punt.
Als een > 0, dan zijn de takken van de parabool naar boven gericht, het hoekpunt is het minimumpunt.
Nadat je het hoekpunt van de parabool hebt berekend, moet je de waarde ervan in de functie vervangen en de overeenkomstige waarde van de functie berekenen.
2) Functie y=tg x. Of y=ctg x.
Deze functies nemen monotoon toe. Daarom, hoe groter de waarde van het argument, hoe groter de waarde van de functie zelf. Vervolgens zullen we met voorbeelden bekijken hoe we de grootste en kleinste waarde van een functie op een segment kunnen vinden.
Belangrijkste soorten taken
Taak: de grootste of kleinste waarde van de functie. Voorbeeld op de kaart.
In de afbeelding zie je de grafiek van de afgeleide van de functie f (x) op het interval [-6; 6]. Op welk punt van het segment [-3; 3] f(x) heeft de kleinste waarde?
Dus, om te beginnen, moet je het gespecificeerde segment selecteren. Daarop neemt de functie ooit een nulwaarde aan en verandert het teken - dit is het uiterste punt. Aangezien de afgeleide van negatief positief wordt, betekent dit dat dit het minimumpunt van de functie is. Dit punt komt overeen met de waarde van het argument 2.
Antwoord: 2.
Blijf naar voorbeelden kijken. Taak: vind de grootste en kleinste waarde van de functie op het segment.
Zoek de kleinste waarde van de functie y=(x - 8) ex-7 op het interval [6; 8].
1. Neem de afgeleide van een complexe functie.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Stel de resulterende afgeleide gelijk aan nul en los de vergelijking op.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, of ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, geen wortels
3. Vervang de waarde van de extreme punten in de functie, evenals de verkregen wortels van de vergelijking.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Antwoord: -1.
Dus, in dit artikel werd de belangrijkste theorie beschouwd over hoe je de kleinste waarde van een functie op een segment kunt vinden, die nodig is voor het succesvol oplossen van USE-taken in gespecialiseerde wiskunde. Ook elementen van wiskundigeanalyse worden gebruikt bij het oplossen van taken uit deel C van het examen, maar ze vertegenwoordigen duidelijk een ander niveau van complexiteit, en de algoritmen voor hun oplossingen zijn moeilijk in het kader van één materiaal te passen.
