Wiskundige problemen worden in veel wetenschappen gebruikt. Deze omvatten niet alleen natuurkunde, scheikunde, techniek en economie, maar ook geneeskunde, ecologie en andere disciplines. Een belangrijk concept om te beheersen om oplossingen te vinden voor belangrijke dilemma's is de afgeleide van een functie. De fysieke betekenis ervan is helemaal niet zo moeilijk uit te leggen als het lijkt voor niet-ingewijden in de essentie van het probleem. Het volstaat om hier geschikte voorbeelden van te vinden in het echte leven en in gewone alledaagse situaties. In feite voert elke automobilist elke dag een vergelijkbare taak uit wanneer hij naar de snelheidsmeter kijkt en de snelheid van zijn auto op een bepaald moment van een vast tijdstip bepa alt. Het is immers in deze parameter dat de essentie van de fysieke betekenis van de afgeleide ligt.
Hoe vind je snelheid
Bepaal de snelheid van een persoon op de weg, wetende de afgelegde afstand en reistijd, kan elke vijfdeklasser gemakkelijk. Om dit te doen, wordt de eerste van de gegeven waarden gedeeld door de tweede. Maarniet elke jonge wiskundige weet dat hij momenteel de verhouding tussen incrementen van een functie en een argument vindt. Als we ons de beweging voorstellen in de vorm van een grafiek, waarbij we het pad langs de y-as en de tijd langs de abscis uitzetten, dan zal het precies zo zijn.
De snelheid van een voetganger of een ander object dat we op een groot deel van het pad bepalen, kan echter heel goed veranderen, aangezien de beweging uniform is. Er zijn veel vormen van beweging in de natuurkunde. Het kan niet alleen worden uitgevoerd met een constante versnelling, maar ook op een willekeurige manier vertragen en toenemen. Opgemerkt moet worden dat in dit geval de lijn die de beweging beschrijft, niet langer een rechte lijn is. Grafisch kan het de meest complexe configuraties aan. Maar voor elk van de punten in de grafiek kunnen we altijd een raaklijn tekenen die wordt voorgesteld door een lineaire functie.
Om de parameter van verplaatsingsverandering afhankelijk van de tijd te verduidelijken, is het noodzakelijk om de gemeten segmenten in te korten. Wanneer ze oneindig klein worden, zal de berekende snelheid ogenblikkelijk zijn. Deze ervaring helpt ons om de afgeleide te definiëren. De fysieke betekenis ervan volgt ook logisch uit een dergelijke redenering.
In termen van geometrie
Het is bekend dat hoe groter de snelheid van het lichaam, hoe steiler de grafiek van de afhankelijkheid van verplaatsing van de tijd, en dus de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek op een bepaald punt. Een indicator van dergelijke veranderingen kan de tangens zijn van de hoek tussen de x-as en de raaklijn. Het bepa alt alleen de waarde van de afgeleide en wordt berekend door de verhouding van lengtestegenover het aangrenzende been in een rechthoekige driehoek gevormd door een loodlijn die van een bepaald punt naar de x-as is gevallen.
Dit is de geometrische betekenis van de eerste afgeleide. De fysieke wordt onthuld in het feit dat de waarde van het andere been in ons geval de afgelegde afstand is, en het aangrenzende been de tijd. Hun verhouding is snelheid. En opnieuw komen we tot de conclusie dat de momentane snelheid, bepaald wanneer beide openingen tot oneindig klein neigen, de essentie is van het concept van de afgeleide, wat de fysieke betekenis aangeeft. De tweede afgeleide in dit voorbeeld is de versnelling van het lichaam, die op zijn beurt de snelheidsverandering laat zien.
Voorbeelden van het vinden van afgeleiden in de natuurkunde
De afgeleide is een indicator van de veranderingssnelheid van een functie, zelfs als we het niet hebben over beweging in de letterlijke zin van het woord. Om dit duidelijk aan te tonen, nemen we een paar concrete voorbeelden. Stel dat de stroomsterkte, afhankelijk van de tijd, verandert volgens de volgende wet: I=0, 4t2. Het is nodig om de waarde te vinden van de snelheid waarmee deze parameter verandert aan het einde van de 8e seconde van het proces. Merk op dat de gewenste waarde zelf, zoals kan worden beoordeeld aan de hand van de vergelijking, voortdurend toeneemt.
Om het op te lossen, moet je de eerste afgeleide vinden, waarvan de fysieke betekenis eerder werd overwogen. Hier dI / dt=0,8t. Vervolgens vinden we het bij t \u003d 8, we krijgen dat de snelheid waarmee de huidige sterkte verandert 6,4 A / c is. Hier wordt aangenomen datstroom wordt gemeten in respectievelijk ampère en tijd in seconden.
Alles verandert
De zichtbare omringende wereld, bestaande uit materie, ondergaat voortdurend veranderingen en is in beweging door verschillende processen die daarin plaatsvinden. Een verscheidenheid aan parameters kan worden gebruikt om ze te beschrijven. Als ze verenigd zijn door afhankelijkheid, dan zijn ze wiskundig geschreven als een functie die hun veranderingen duidelijk laat zien. En waar beweging is (in welke vorm het ook wordt uitgedrukt), bestaat er ook een afgeleide, waarvan we de fysieke betekenis op dit moment overwegen.
Bij deze gelegenheid het volgende voorbeeld. Stel dat de lichaamstemperatuur verandert volgens de wet T=0, 2 t 2. U zou de verwarmingssnelheid aan het einde van de 10e seconde moeten vinden. Het probleem wordt opgelost op een manier die vergelijkbaar is met die beschreven in het vorige geval. Dat wil zeggen, we vinden de afgeleide en vervangen de waarde voor t \u003d 10 erin, we krijgen T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Dit betekent dat het uiteindelijke antwoord 4 graden per seconde is, dat wil zeggen, het verwarmingsproces en de temperatuurverandering, gemeten in graden, gebeurt precies met zo'n snelheid.
Praktische problemen oplossen
Natuurlijk is alles in het echte leven veel ingewikkelder dan in theoretische problemen. In de praktijk wordt de waarde van hoeveelheden meestal tijdens het experiment bepaald. In dit geval worden instrumenten gebruikt die tijdens metingen met een bepaalde fout uitlezingen geven. Daarom moet men bij berekeningen omgaan met geschatte waarden van de parameters en zijn toevlucht nemen tot het afronden van onhandige getallen,evenals andere vereenvoudigingen. Hiermee rekening houdend, zullen we opnieuw overgaan tot problemen met de fysieke betekenis van de afgeleide, aangezien ze slechts een soort wiskundig model zijn van de meest complexe processen die in de natuur voorkomen.
Vulkaanuitbarsting
Stel je voor dat er een vulkaan uitbarst. Hoe gevaarlijk kan hij zijn? Om deze vraag te beantwoorden, moeten veel factoren worden overwogen. We zullen proberen een van hen te huisvesten.
Uit de mond van het "vurige monster" worden stenen verticaal omhoog gegooid, met een beginsnelheid vanaf het moment dat ze naar buiten gaan van 120 m/s. Het is noodzakelijk om te berekenen wat ze de maximale hoogte kunnen bereiken.
Om de gewenste waarde te vinden, stellen we een vergelijking op voor de afhankelijkheid van de hoogte H, gemeten in meters, van andere waarden. Deze omvatten initiële snelheid en tijd. De versnellingswaarde wordt als bekend beschouwd en is ongeveer gelijk aan 10 m/s2.
Gedeeltelijke afgeleide
Laten we nu eens kijken naar de fysieke betekenis van de afgeleide van een functie vanuit een iets andere hoek, omdat de vergelijking zelf niet één, maar meerdere variabelen kan bevatten. In het vorige probleem werd bijvoorbeeld de afhankelijkheid van de hoogte van de stenen die uit de opening van de vulkaan werden uitgeworpen, niet alleen bepaald door de verandering in tijdkenmerken, maar ook door de waarde van de beginsnelheid. Dit laatste werd als een constante, vaste waarde beschouwd. Maar bij andere taken met totaal andere omstandigheden kan alles anders zijn. Als de hoeveelheden waarop het complexfunctie, meerdere, berekeningen worden gemaakt volgens de onderstaande formules.
De fysieke betekenis van de frequente afgeleide moet worden bepaald zoals in het gebruikelijke geval. Dit is de snelheid waarmee de functie op een bepaald punt verandert als de parameter van de variabele toeneemt. Het wordt zo berekend dat alle andere componenten als constanten worden genomen, slechts één wordt als een variabele beschouwd. Dan gebeurt alles volgens de gebruikelijke regels.
Onmisbare adviseur in veel zaken
Als je de fysieke betekenis van de afgeleide begrijpt, is het niet moeilijk om voorbeelden te geven van het oplossen van ingewikkelde en complexe problemen, waarin het antwoord met dergelijke kennis kan worden gevonden. Als we een functie hebben die het brandstofverbruik beschrijft afhankelijk van de snelheid van de auto, kunnen we berekenen bij welke parameters van deze laatste het benzineverbruik het minst zal zijn.
In de geneeskunde kun je voorspellen hoe het menselijk lichaam zal reageren op een door een arts voorgeschreven medicijn. Het gebruik van het medicijn beïnvloedt een verscheidenheid aan fysiologische parameters. Deze omvatten veranderingen in bloeddruk, hartslag, lichaamstemperatuur en meer. Ze zijn allemaal afhankelijk van de dosis van het ingenomen medicijn. Deze berekeningen helpen het verloop van de behandeling te voorspellen, zowel bij gunstige verschijnselen als bij ongewenste ongevallen die veranderingen in het lichaam van de patiënt fataal kunnen zijn.
Ongetwijfeld is het belangrijk om de fysieke betekenis van de afgeleide in technisch te begrijpenvraagstukken, met name op het gebied van elektrotechniek, elektronica, ontwerp en constructie.
Remafstand
Laten we eens kijken naar het volgende probleem. Met een constante snelheid moest de auto, die de brug naderde, 10 seconden voor de ingang vertragen, omdat de bestuurder een verkeersbord zag dat beweging met een snelheid van meer dan 36 km/u verbiedt. Heeft de bestuurder de regels overtreden als de remweg kan worden beschreven met de formule S=26t - t2?
Als we de eerste afgeleide berekenen, vinden we de formule voor de snelheid, we krijgen v=28 – 2t. Vervang vervolgens de waarde t=10 in de opgegeven uitdrukking.
Aangezien deze waarde werd uitgedrukt in seconden, is de snelheid 8 m/s, wat 28,8 km/u betekent. Dit maakt het mogelijk om te begrijpen dat de bestuurder op tijd begon te vertragen en de verkeersregels niet overtrad, en dus de limiet die op het snelheidsbord staat aangegeven.
Dit bewijst het belang van de fysieke betekenis van de afgeleide. Een voorbeeld van het oplossen van dit probleem toont de reikwijdte van het gebruik van dit concept in verschillende levenssferen. Ook in alledaagse situaties.
Afgeleide in economie
Tot de 19e eeuw werkten economen meestal met gemiddelden, of het nu de arbeidsproductiviteit of de prijs van de output was. Maar vanaf een gegeven moment werden grenswaarden meer noodzakelijk om op dit gebied goede voorspellingen te kunnen doen. Deze omvatten marginaal nut, inkomen of kosten. Dit inzicht gaf een impuls aan de creatie van een volledig nieuw instrument in economisch onderzoek,die al meer dan honderd jaar bestaat en zich ontwikkeld heeft.
Om dergelijke berekeningen te maken, waarbij concepten als minimum en maximum overheersen, is het gewoon noodzakelijk om de geometrische en fysieke betekenis van de afgeleide te begrijpen. Onder de makers van de theoretische basis van deze disciplines kan men vooraanstaande Engelse en Oostenrijkse economen noemen als de Amerikaanse Jevons, K. Menger en anderen. Uiteraard zijn grenswaarden in economische berekeningen niet altijd even handig in gebruik. En bijvoorbeeld kwartaalrapportages passen niet per se in het bestaande schema, maar toch is de toepassing van een dergelijke theorie in veel gevallen nuttig en effectief.
