Oppervlak van een recht prisma: formules en een voorbeeld van een probleem

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Volume en oppervlakte zijn twee belangrijke kenmerken van elk lichaam met eindige afmetingen in een driedimensionale ruimte. In dit artikel beschouwen we een bekende klasse van veelvlakken - prisma's. In het bijzonder zal de vraag worden onthuld hoe het oppervlak van een recht prisma kan worden gevonden.

Wat is een prisma?

Een prisma is een veelvlak dat wordt begrensd door verschillende parallellogrammen en twee identieke polygonen die zich in parallelle vlakken bevinden. Deze veelhoeken worden beschouwd als de basis van de figuur en de parallellogrammen zijn de zijkanten. Het aantal zijden (hoeken) van de basis bepa alt de naam van de figuur. De onderstaande afbeelding toont bijvoorbeeld een vijfhoekig prisma.

De afstand tussen de bases wordt de hoogte van de figuur genoemd. Als de hoogte gelijk is aan de lengte van een zijrand, dan is zo'n prisma recht. De tweede voldoende eigenschap voor een recht prisma is dat alle zijden rechthoeken of vierkanten zijn. Als, hoewelAls één zijde een algemeen parallellogram is, zal de figuur schuin staan. Hieronder kunt u zien hoe de rechte en schuine prisma's visueel verschillen in het voorbeeld van vierhoekige figuren.

Oppervlak van een recht prisma

Als een geometrische figuur een n-gonaal grondvlak heeft, dan bestaat het uit n+2 vlakken, waarvan n rechthoeken. Laten we de lengtes van de zijden van de basis aanduiden als a_i, waarbij i=1, 2, …, n, en de hoogte van de figuur aangeven, die gelijk is aan de lengte van de zijrand, zoals h. Om het gebied (S) van het oppervlak van alle vlakken te bepalen, voegt u het gebied S_{o van elk van de bases en alle gebieden van de zijkanten (rechthoeken) toe. De formule voor S in algemene vorm kan dus als volgt worden geschreven:}

S=2S_o+ S_b

Waar S_{b het laterale oppervlak is.}

Aangezien de basis van een recht prisma absoluut elke vlakke veelhoek kan zijn, kan een enkele formule voor het berekenen van S_{oniet worden gegeven, en om deze waarde in het algemeen te bepalen geval moet geometrische analyse worden uitgevoerd. Als de basis bijvoorbeeld een regelmatige n-hoek is met zijde a, dan wordt de oppervlakte berekend met de formule:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Wat betreft de waarde van S_{b, de uitdrukking voor de berekening ervan kan worden gegeven. Het laterale oppervlak van een recht prisma is:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Dat wil zeggen, de waardeS_{b wordt berekend als het product van de hoogte van de figuur en de omtrek van zijn basis.}

Voorbeeld van probleemoplossing

Laten we de opgedane kennis toepassen om het volgende geometrische probleem op te lossen. Gegeven een prisma, waarvan de basis een rechthoekige driehoek is met zijden in een rechte hoek van 5 cm en 7 cm. De hoogte van de figuur is 10 cm. Het is noodzakelijk om het oppervlak van een rechthoekig driehoekig prisma te vinden.

Laten we eerst de hypotenusa van de driehoek berekenen. Het zal gelijk zijn aan:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Laten we nu nog een voorbereidende wiskundige bewerking doen - bereken de omtrek van de basis. Het zal zijn:

P=5 + 7 + 8.6=20.6cm

Het gebied van het zijoppervlak van de figuur wordt berekend als het product van de waarde P en de hoogte h=10 cm, dat wil zeggen, S_b=206 cm ^2.

Om het gebied van het gehele oppervlak te vinden, moeten twee basisgebieden worden toegevoegd aan de gevonden waarde. Aangezien de oppervlakte van een rechthoekige driehoek wordt bepaald door de helft van het product van de benen, krijgen we:

2S_o=257/2=35cm²

Dan krijgen we dat de oppervlakte van een recht driehoekig prisma 35 + 206=241 cm is2.