Het concept van een prisma. Volumeformules voor prisma's van verschillende typen: regelmatig, recht en schuin. De oplossing van het probleem

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 05:37

Volume is een kenmerk van elke figuur die afmetingen heeft die niet nul zijn in alle drie de dimensies van de ruimte. In dit artikel zullen we, vanuit het oogpunt van stereometrie (de geometrie van ruimtelijke figuren), een prisma beschouwen en laten zien hoe we de volumes van prisma's van verschillende typen kunnen vinden.

Wat is een prisma?

Stereometrie heeft het exacte antwoord op deze vraag. Een prisma daarin wordt begrepen als een figuur gevormd door twee identieke veelhoekige vlakken en verschillende parallellogrammen. De afbeelding hieronder toont vier verschillende prisma's.

Elk van hen kan als volgt worden verkregen: je moet een veelhoek (driehoek, vierhoek, enzovoort) en een segment van een bepaalde lengte nemen. Vervolgens moet elk hoekpunt van de veelhoek worden overgebracht met behulp van parallelle segmenten naar een ander vlak. In het nieuwe vlak, dat evenwijdig zal zijn aan het oorspronkelijke, zal een nieuwe veelhoek worden verkregen, vergelijkbaar met degene die aanvankelijk werd gekozen.

Prisma's kunnen van verschillende typen zijn. Ze kunnen dus recht, schuin en correct zijn. Als de zijrand van het prisma (segment,die de hoekpunten van de basis verbindt) loodrecht op de basis van de figuur, dan is de laatste een rechte lijn. Dienovereenkomstig, als niet aan deze voorwaarde wordt voldaan, hebben we het over een hellend prisma. Een regelmatige figuur is een rechts prisma met een gelijkhoekige en gelijkzijdige basis.

Later in het artikel zullen we laten zien hoe we het volume van elk van deze soorten prisma's kunnen berekenen.

Volume van regelmatige prisma's

Laten we beginnen met het eenvoudigste geval. We geven de formule voor het volume van een regelmatig prisma met een n-gonaal grondvlak. De volumeformule V voor elk cijfer van de betreffende klasse is als volgt:

V=S_oh.

Dat wil zeggen, om het volume te bepalen, volstaat het om de oppervlakte van een van de bases S_o te berekenen en te vermenigvuldigen met de hoogte h van de figuur.

In het geval van een gewoon prisma, laten we de lengte van de zijkant van zijn basis met de letter a aangeven, en de hoogte, die gelijk is aan de lengte van de zijkant, met de letter h. Als de basis van de n-gon correct is, dan is de eenvoudigste manier om de oppervlakte te berekenen de volgende universele formule te gebruiken:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Door de waarde van het aantal zijden n en de lengte van één zijde a in gelijkheid te vervangen, kunt u de oppervlakte van de n-gonale basis berekenen. Merk op dat de cotangensfunctie hier wordt berekend voor de hoek pi/n, die wordt uitgedrukt in radialen.

Gezien de gelijkheid geschreven voor S, verkrijgen we de uiteindelijke formule voor het volume van een regulier prisma:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Voor elk specifiek geval kun je de bijbehorende formules voor V schrijven, maar ze zijn allemaalvolgt op unieke wijze uit de schriftelijke algemene uitdrukking. Voor een regelmatig vierhoekig prisma, dat in het algemeen een rechthoekig parallellepipedum is, krijgen we bijvoorbeeld:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Als we in deze uitdrukking h=a nemen, krijgen we de formule voor het volume van de kubus.

Volume van directe prisma's

We merken meteen op dat er voor rechte figuren geen algemene formule is voor het berekenen van het volume, die hierboven werd gegeven voor gewone prisma's. Bij het vinden van de betreffende waarde moet de oorspronkelijke uitdrukking worden gebruikt:

V=S_oh.

Hier is h de lengte van de zijrand, zoals in het vorige geval. Het basisgebied S_o kan verschillende waarden aannemen. De taak van het berekenen van een recht prisma van volume wordt teruggebracht tot het vinden van het gebied van zijn basis.

De berekening van de waarde van S_o moet worden uitgevoerd op basis van de kenmerken van de basis zelf. Als het bijvoorbeeld een driehoek is, kan de oppervlakte als volgt worden berekend:

S_o3=1/2ah_a.

Hier is h_a het apothema van de driehoek, dat wil zeggen, de hoogte verlaagd tot de basis a.

Als de basis een vierhoek is, kan het een trapezium, een parallellogram, een rechthoek of een volledig willekeurig type zijn. Voor al deze gevallen moet u de juiste planimetrieformule gebruiken om het gebied te bepalen. Voor een trapezium ziet deze formule er bijvoorbeeld als volgt uit:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Waar h_a de hoogte van de trapezium is, zijn a₁ en a₂ de lengtes van zijn evenwijdige zijden.

Om de oppervlakte voor veelhoeken van een hogere orde te bepalen, moet u ze in eenvoudige vormen (driehoeken, vierhoeken) splitsen en de som van de oppervlakten van de laatste berekenen.

Gekanteld prismavolume

Dit is het moeilijkste geval om het volume van een prisma te berekenen. De algemene formule voor dergelijke cijfers is ook van toepassing:

V=S_oh.

Aan de complexiteit van het vinden van het gebied van de basis dat een willekeurig type veelhoek vertegenwoordigt, wordt echter het probleem van het bepalen van de hoogte van de figuur toegevoegd. Het is altijd minder dan de lengte van de zijrand in een hellend prisma.

De gemakkelijkste manier om deze hoogte te vinden is als je een hoek van de figuur kent (plat of tweevlakshoek). Als zo'n hoek wordt gegeven, dan moet men die gebruiken om een rechthoekige driehoek binnen het prisma te construeren, die de hoogte h als één van de zijden zou bevatten en, met behulp van goniometrische functies en de stelling van Pythagoras, de waarde h vinden.

Geometrisch volumeprobleem

Gegeven een regelmatig prisma met een driehoekige basis, een hoogte van 14 cm en een zijlengte van 5 cm. Wat is het volume van het driehoekige prisma?

Omdat we het hebben over het juiste cijfer, hebben we het recht om de bekende formule te gebruiken. We hebben:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151.55 cm³.

Een driehoekig prisma is een redelijk symmetrische figuur, in de vorm waarvan vaak verschillende architecturale structuren worden gemaakt. Dit glazen prisma wordt gebruikt in optica.