Kwantitatieve studie van de dynamica en kinematica van roterende beweging vereist kennis van het traagheidsmoment van een materieel punt en een star lichaam ten opzichte van de rotatie-as. We zullen in het artikel bekijken over welke parameter we het hebben, en ook een formule geven om deze te bepalen.
Algemene informatie over de fysieke hoeveelheid
Laten we eerst het traagheidsmoment van een materieel punt en een stijf lichaam definiëren, en dan laten zien hoe het gebruikt moet worden bij het oplossen van praktische problemen.
Onder de aangegeven fysische eigenschap voor een punt met massa m, dat op afstand r om de as draait, wordt de volgende waarde bedoeld:
I=mr².
Hieruit volgt dat de meeteenheid van de bestudeerde parameter kilogram per vierkante meter (kgm²) is.
Als, in plaats van een punt rond een as, een lichaam met een complexe vorm roteert, dat een willekeurige verdeling van de massa in zichzelf heeft, dan wordt het traagheidsmoment bepaalddus:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Waar ρ de dichtheid van het lichaam is. Met behulp van de integrale formule kun je de waarde van I bepalen voor absoluut elk rotatiesysteem.
Traagheidsmoment heeft precies dezelfde betekenis voor rotatie als massa voor translatiebeweging. Iedereen weet bijvoorbeeld dat het het gemakkelijkst is om een vloerdweil rond een as te draaien die door de steel gaat dan door een loodrechte. Dit komt doordat het traagheidsmoment in het eerste geval veel kleiner is dan in het tweede.
Ik waardeer lichamen met verschillende vormen
Bij het oplossen van problemen in de fysica voor rotatie, is het vaak nodig om het traagheidsmoment te kennen voor een lichaam met een specifieke geometrische vorm, bijvoorbeeld voor een cilinder, bal of staaf. Als we de formule toepassen die hierboven voor I is geschreven, dan is het gemakkelijk om de corresponderende uitdrukking voor alle gemarkeerde lichamen te verkrijgen. Hieronder staan de formules voor een aantal ervan:
staaf: I=1 / 12ML²;
cilinder: I=1 / 2MR²;
bol: I=2 / 5MR².
Hier word ik gegeven voor de rotatie-as, die door het zwaartepunt van het lichaam gaat. In het geval van een cilinder is de as evenwijdig aan de generator van de figuur. Het traagheidsmoment voor andere geometrische lichamen en opties voor de locatie van de rotatie-assen zijn te vinden in de bijbehorende tabellen. Merk op dat om verschillende figuren te bepalen, het voldoende is om slechts één geometrische parameter en de massa van het lichaam te kennen.
De stelling en formule van Steiner
traagheidsmoment kan worden bepaald als de rotatie-as zich op enige afstand van het lichaam bevindt. Om dit te doen, moet u de lengte van dit segment kennen en de waarde IO van het lichaam ten opzichte van de as die door het middelpunt van zijn massa gaat, die evenwijdig moet zijn aan die onder overweging. Het leggen van een verband tussen de parameter IO en de onbekende waarde I ligt vast in de stelling van Steiner. Het traagheidsmoment van een materieel punt en een star lichaam wordt wiskundig als volgt geschreven:
I=IO+ Mh2.
Hier is M de massa van het lichaam, h is de afstand van het zwaartepunt tot de rotatie-as, ten opzichte waarvan het nodig is om I te berekenen. Deze uitdrukking is gemakkelijk zelf te verkrijgen als je gebruik de integraalformule voor I en houd er rekening mee dat alle punten van het lichaam op afstand liggen r=r0 + h.
De stelling van Steiner vereenvoudigt de definitie van I aanzienlijk voor veel praktische situaties. Als je bijvoorbeeld I moet vinden voor een staaf met lengte L en massa M ten opzichte van een as die door het uiteinde gaat, dan kun je met de stelling van Steiner schrijven:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Je kunt de bijbehorende tabel raadplegen en zien dat deze precies deze formule bevat voor een dunne staaf met een rotatie-as aan het uiteinde.
Momentvergelijking
In de fysica van rotatie is er een formule die de momentenvergelijking wordt genoemd. Het ziet er zo uit:
M=ikα.
Hier is M het krachtmoment, α is de hoekversnelling. Zoals je kunt zien, zijn het traagheidsmoment van een materieel punt en een star lichaam en het krachtmoment lineair gerelateerd aan elkaar. De waarde M bepa alt de mogelijkheid van enige kracht F om een roterende beweging met versnelling α in het systeem te creëren. Gebruik de volgende eenvoudige uitdrukking om M te berekenen:
M=Fd.
Waarbij d de schouder van het moment is, die gelijk is aan de afstand van de krachtvector F tot de rotatie-as. Hoe kleiner de arm d, hoe minder vermogen de kracht zal hebben om rotatie van het systeem te creëren.
De betekenis van de momentenvergelijking is volledig in overeenstemming met de tweede wet van Newton. In dit geval speelt I de rol van de traagheidsmassa.
Voorbeeld van probleemoplossing
Laten we ons een systeem voorstellen dat een cilinder is die op een verticale as is bevestigd met een gewichtloze horizontale staaf. Het is bekend dat de rotatie-as en de hoofdas van de cilinder evenwijdig aan elkaar zijn en dat de afstand tussen hen 30 cm is. De massa van de cilinder is 1 kg en de straal is 5 cm. Een kracht van 10 N raakt aan het rotatietraject werkt op de figuur, waarvan de vector door de hoofdas van de cilinder gaat. Het is noodzakelijk om de hoekversnelling van de figuur te bepalen, die deze kracht zal veroorzaken.
Laten we eerst het traagheidsmoment van de I-cilinder berekenen. Om dit te doen, past u de stelling van Steiner toe, we hebben:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Voordat u de momentvergelijking gebruikt, moet u:bepaal het krachtmoment M. In dit geval hebben we:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Nu kun je de versnelling bepalen:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
De berekende hoekversnelling geeft aan dat elke seconde de snelheid van de cilinder met 5,2 omwentelingen per seconde zal toenemen.
