Stereometrie is de studie van de kenmerken van driedimensionale geometrische vormen. Een van de bekende volumetrische figuren die in meetkundige problemen voorkomt, is een recht prisma. Laten we in dit artikel bekijken wat het is, en ook in detail een prisma met een driehoekige basis beschrijven.
Prisma en zijn soorten
Een prisma is een figuur die wordt gevormd als resultaat van een parallelle translatie van een veelhoek in de ruimte. Als resultaat van deze geometrische bewerking wordt een figuur gevormd, bestaande uit meerdere parallellogrammen en twee identieke veelhoeken parallel aan elkaar. Parallellogrammen zijn de zijkanten van het prisma en veelhoeken zijn de basis.
Elk prisma heeft n+2 zijden, 3n randen en 2n hoekpunten, waarbij n het aantal hoeken of zijden van de veelhoekige basis is. De afbeelding toont een vijfhoekig prisma met 7 zijden, 10 hoekpunten en 15 randen.
De weloverwogen klasse van figuren wordt vertegenwoordigd door verschillende soorten prisma's. We sommen ze kort op:
- hol en bol;
- schuin en recht;
- fout en goed.
Elk cijfer behoort tot een van de drie soorten classificaties. Bij het oplossen van geometrische problemen is het het gemakkelijkst om berekeningen uit te voeren voor regelmatige en rechte prisma's. Dit laatste zal in de volgende paragrafen van het artikel in meer detail worden besproken.
Wat is een recht prisma?
Een recht prisma is een concaaf of convex, regelmatig of onregelmatig prisma, waarin alle zijden worden weergegeven door vierhoeken met hoeken van 90°. Als ten minste één van de vierhoeken van de zijden geen rechthoek of vierkant is, wordt het prisma schuin genoemd. Er kan ook een andere definitie worden gegeven: een recht prisma is zo'n figuur van een bepaalde klasse waarbij elke zijrand gelijk is aan de hoogte. Onder de hoogte h van het prisma wordt de afstand tussen de bases aangenomen.
Beide definities dat het een direct prisma is, zijn gelijk en zelfvoorzienend. Hieruit volgt dat alle tweevlakshoeken tussen een van de bases en elke zijde 90° zijn.
Hierboven werd gezegd dat het handig is om met rechte cijfers te werken bij het oplossen van problemen. Dit komt doordat de hoogte overeenkomt met de lengte van de zijrib. Dit laatste feit vergemakkelijkt het proces van het berekenen van het volume van een figuur en het gebied van het zijoppervlak.
Volume van een direct prisma
Volume - een waarde die inherent is aan elke ruimtelijke figuur, die numeriek het deel van de ruimte weerspiegelt dat is ingesloten tussen de oppervlakken van de beschouwdevoorwerp. Het volume van een prisma kan worden berekend met behulp van de volgende algemene formule:
V=Soh.
Dat wil zeggen, het product van de hoogte en het oppervlak van de basis geeft de gewenste waarde V. Aangezien de basis van een recht prisma gelijk is, bepa alt u het gebied So je kunt ze allemaal nemen.
Het voordeel van het gebruik van de bovenstaande formule specifiek voor een recht prisma in vergelijking met de andere typen is dat het heel gemakkelijk is om de hoogte van de figuur te vinden, aangezien deze samenv alt met de lengte van de zijrand.
Zijgedeelte
Het is handig om niet alleen het volume voor een rechte figuur van de betreffende klasse te berekenen, maar ook het zijoppervlak. Inderdaad, elke zijde ervan is een rechthoek of een vierkant. Elke leerling weet de oppervlakte van deze platte figuren te berekenen, hiervoor is het noodzakelijk aangrenzende zijden met elkaar te vermenigvuldigen.
Veronderstel dat de basis van het prisma een willekeurige n-hoek is waarvan de zijden gelijk zijn aan ai. Index i loopt van 1 tot n. De oppervlakte van één rechthoek wordt als volgt berekend:
Si=aih.
De oppervlakte van het zijoppervlak Sbis gemakkelijk te berekenen als je alle oppervlakten Si rechthoeken bij elkaar optelt. In dit geval krijgen we de uiteindelijke formule voor Sbrecht prisma:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
Dus, om het laterale oppervlak voor een recht prisma te bepalen, moet je de hoogte vermenigvuldigen met de omtrek van één basis.
Probleem met een driehoekig prisma
Veronderstel dat er een recht prisma wordt gegeven. De basis is een rechthoekige driehoek. De benen van deze driehoek zijn 12 cm en 8 cm. Het is noodzakelijk om het volume van de figuur en zijn totale oppervlakte te berekenen als de hoogte van het prisma 15 cm is.
Laten we eerst het volume van een recht prisma berekenen. De driehoek (rechthoekig) aan de basis heeft een oppervlakte:
So=a1a2/2=128/2=48cm2.
Zoals je zou kunnen raden, zijn a1 en a2 benen in deze vergelijking. Als u het basisgebied en de hoogte kent (zie de toestand van het probleem), kunt u de formule voor V gebruiken:
V=Soh=4815=720cm3.
Het totale oppervlak van de figuur wordt gevormd door twee delen: de gebieden van de basis en het zijoppervlak. De gebieden van de twee basen zijn:
S2o=2So=482=96cm2.
Om het laterale oppervlak te berekenen, moet je de omtrek van een rechthoekige driehoek weten. Bereken met de stelling van Pythagoras de hypotenusa a3, we hebben:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 cm.
Dan is de omtrek van de driehoek van de basis van het rechter prisma:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.
Toepassing van de formule voor Sb, die in de vorige paragraaf is geschreven,krijgen:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 cm.
Door de oppervlakten van S2o en Sb toe te voegen, krijgen we de totale oppervlakte van de bestudeerde geometrische figuur:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3cm2.
Een driehoekig prisma, gemaakt van speciale soorten glas, wordt in de optica gebruikt om de spectra van lichtgevende objecten te bestuderen. Dergelijke prisma's kunnen licht ontbinden in componentfrequenties vanwege het fenomeen dispersie.
