In de algebra is er een concept van twee soorten gelijkheden: identiteiten en vergelijkingen. Identiteiten zijn zulke gelijkheden die haalbaar zijn voor alle waarden van de letters die erin zijn opgenomen. Vergelijkingen zijn ook gelijkheden, maar ze zijn alleen mogelijk voor bepaalde waarden van de letters die erin zijn opgenomen.
Brieven zijn meestal ongelijk in termen van de taak. Dit betekent dat sommigen van hen alle toegestane waarden kunnen aannemen, coëfficiënten (of parameters genoemd), terwijl anderen - ze worden onbekenden genoemd - waarden aannemen die in het oplossingsproces moeten worden gevonden. In vergelijkingen worden in vergelijkingen in de regel onbekende grootheden aangegeven met letters, de laatste in het Latijnse alfabet (x.y.z, enz.), of met dezelfde letters, maar met een index (x1, x 2, etc.), en de bekende coëfficiënten worden gegeven door de eerste letters van hetzelfde alfabet.
Op basis van het aantal onbekenden worden vergelijkingen met één, twee en meerdere onbekenden onderscheiden. Dus alle waarden van de onbekenden waarvoor de vergelijking die wordt opgelost in een identiteit verandert, worden oplossingen van de vergelijkingen genoemd. Een vergelijking kan als opgelost worden beschouwd als alle oplossingen zijn gevonden of als bewezen is dat ze er geen heeft. De taak "de vergelijking oplossen" is in de praktijk gebruikelijk en betekent dat je de wortel van de vergelijking moet vinden.
Definitie: de wortels van een vergelijking zijn die waarden van de onbekenden uit het bereik van toelaatbare waarden waarbij de vergelijking die wordt opgelost een identiteit wordt.
Het algoritme voor het oplossen van absoluut alle vergelijkingen is hetzelfde, en de betekenis ervan is om deze uitdrukking te reduceren tot een eenvoudigere vorm met behulp van wiskundige transformaties. Vergelijkingen die dezelfde wortels hebben, worden in de algebra equivalent genoemd.
Het eenvoudigste voorbeeld: 7x-49=0, de wortel van de vergelijking x=7;x-7=0, zo ook de wortel x=7, daarom zijn de vergelijkingen equivalent. (In speciale gevallen kunnen equivalente vergelijkingen helemaal geen wortels hebben.)
Als de wortel van een vergelijking ook de wortel is van een andere, eenvoudigere vergelijking verkregen uit de oorspronkelijke vergelijking door transformaties, dan wordt de laatste een gevolg van de vorige vergelijking genoemd.
Als een van de twee vergelijkingen een gevolg is van de andere, worden ze als equivalent beschouwd. Ze worden ook equivalent genoemd. Het bovenstaande voorbeeld illustreert dit.
Het is in de praktijk vaak moeilijk om zelfs de eenvoudigste vergelijkingen op te lossen. Als resultaat van de oplossing kun je één wortel van de vergelijking krijgen, twee of meer, zelfs een oneindig aantal - dit hangt af van het type vergelijkingen. Er zijn er ook die geen wortels hebben, ze worden onbeslisbaar genoemd.
Voorbeelden:
1) 15x -20=10; x=2. Dit is de enige wortel van de vergelijking.
2) 7x - y=0. De vergelijking heeft een oneindig aantal wortels, aangezien elke variabele er ontelbare kan hebbenaantal waarden.
3) x2=- 16. Een getal tot de tweede macht geeft altijd een positief resultaat, dus het is onmogelijk om de wortel van de vergelijking te vinden. Dit is een van de hierboven genoemde onoplosbare vergelijkingen.
De juistheid van de oplossing wordt gecontroleerd door de gevonden wortels in plaats van letters te vervangen en het resulterende voorbeeld op te lossen. Als de identiteit klopt, is de oplossing correct.
