In de wiskunde is de logaritme de inverse van de exponentiële functie. Dit betekent dat de logaritme van lg de macht is waartoe het getal b moet worden verheven om x als resultaat te krijgen. In het eenvoudigste geval houdt het rekening met de herhaalde vermenigvuldiging van dezelfde waarde.
Beschouw een specifiek voorbeeld:
1000=10 × 10 × 10=103
In dit geval is het de logaritme met grondtal tien van lg. Het is gelijk aan drie.
lg101000=3
Over het algemeen ziet de uitdrukking er als volgt uit:
lgbx=a
Exponentiation maakt het mogelijk om elk positief reëel getal te verhogen tot elke reële waarde. Het resultaat is altijd groter dan nul. Daarom is de logaritme voor twee positieve reële getallen b en x, waarbij b niet gelijk is aan 1, altijd een uniek reëel getal a. Bovendien definieert het de relatie tussen machtsverheffing en logaritme:
lgbx=a if ba=x.
Geschiedenis
De geschiedenis van de logaritme (lg) vindt zijn oorsprong in Europa in de zeventiende eeuw. Dit is de opening van een nieuwe functiebreidde de reikwijdte van de analyse verder uit dan algebraïsche methoden. De methode van logaritmen werd publiekelijk voorgesteld door John Napier in 1614 in een boek genaamd Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("Beschrijving van de opmerkelijke regels van logaritmen"). Voorafgaand aan de uitvinding van de wetenschapper waren er andere methoden op vergelijkbare gebieden, zoals het gebruik van progressietabellen ontwikkeld door Jost Bürggi rond 1600.
De decimale logaritme lg is de logaritme met grondtal tien. Voor het eerst werden echte logaritmen gebruikt met heuristieken om vermenigvuldiging om te zetten in optellen, wat een snelle berekening mogelijk maakte. Sommige van deze methoden gebruikten tabellen die zijn afgeleid van trigonometrische identiteiten.
De ontdekking van de functie die nu bekend staat als de logaritme (lg) wordt toegeschreven aan Gregory de Saint Vincent, een Belg die in Praag woont, in een poging een rechthoekige hyperbool te kwadrateren.
Gebruik
Logaritmen worden vaak buiten de wiskunde gebruikt. Sommige van deze gevallen houden verband met het begrip schaalinvariantie. Elke kamer van de nautilusschelp is bijvoorbeeld bij benadering een kopie van de volgende, verkleind of vergroot met een bepaald aantal keren. Dit wordt een logaritmische spiraal genoemd.
Afmetingen van zelfgemaakte geometrieën, waarvan delen lijken op het eindproduct, zijn ook gebaseerd op logaritmen. Logaritmische schalen zijn handig voor het kwantificeren van relatieve veranderingwaarden. Bovendien, aangezien de functie logbx erg langzaam groeit bij grote x, worden logaritmische schalen gebruikt om grootschalige wetenschappelijke gegevens te comprimeren. Logaritmen komen ook voor in tal van wetenschappelijke formules, zoals de Fenske-vergelijking of de Nernst-vergelijking.
Berekening
Sommige logaritmen kunnen eenvoudig worden berekend, bijvoorbeeld log101000=3. In het algemeen kunnen ze worden berekend met behulp van machtreeksen of het rekenkundig-geometrische gemiddelde, of worden geëxtraheerd uit een vooraf berekende tabellogaritmen, die een hoge nauwkeurigheid heeft.
Newtons iteratieve methode voor het oplossen van vergelijkingen kan ook worden gebruikt om de waarde van de logaritme te vinden. Aangezien de inverse functie voor de logaritmische exponentieel is, is het berekeningsproces sterk vereenvoudigd.
