Seconden, raaklijnen - dit alles was honderden keren te horen in meetkundelessen. Maar het afstuderen van school is voorbij, jaren gaan voorbij en al deze kennis is vergeten. Wat moet worden onthouden?
Essentie
De term 'raaklijn aan een cirkel' is waarschijnlijk bij iedereen bekend. Maar het is onwaarschijnlijk dat iedereen de definitie ervan snel zal kunnen formuleren. Ondertussen is een raaklijn zo'n rechte lijn die in hetzelfde vlak ligt met een cirkel die hem op slechts één punt snijdt. Er kan een enorme variëteit zijn, maar ze hebben allemaal dezelfde eigenschappen, die hieronder zullen worden besproken. Zoals je zou kunnen raden, is het contactpunt de plaats waar de cirkel en de lijn elkaar kruisen. In elk geval is het één, maar als er meer zijn, dan zal het een secans zijn.
Geschiedenis van ontdekking en studie
Het concept van een raaklijn verscheen in de oudheid. De constructie van deze rechte lijnen, eerst tot een cirkel en vervolgens tot ellipsen, parabolen en hyperbolen met behulp van een liniaal en een kompas, werd zelfs in de beginfase van de ontwikkeling van de geometrie uitgevoerd. Natuurlijk heeft de geschiedenis de naam van de ontdekker niet bewaard, maarhet is duidelijk dat mensen zelfs in die tijd heel goed op de hoogte waren van de eigenschappen van de raaklijn aan de cirkel.
In de moderne tijd laaide de belangstelling voor dit fenomeen weer op - een nieuwe ronde van het bestuderen van dit concept begon, gecombineerd met de ontdekking van nieuwe rondingen. Dus, Galileo introduceerde het concept van een cycloïde, en Fermat en Descartes bouwden er een raaklijn aan. Wat betreft de cirkels, het lijkt erop dat er geen geheimen meer zijn voor de ouden in dit gebied.
Eigenschappen
De straal die naar het snijpunt wordt getrokken, staat loodrecht op de lijn. Dit is
de belangrijkste, maar niet de enige eigenschap die een raaklijn aan een cirkel heeft. Een ander belangrijk kenmerk zijn al twee rechte lijnen. Dus door één punt dat buiten de cirkel ligt, kunnen twee raaklijnen worden getrokken, terwijl hun segmenten gelijk zijn. Er is nog een andere stelling over dit onderwerp, maar deze wordt zelden behandeld in het kader van een standaard schoolcursus, hoewel het uiterst handig is om sommige problemen op te lossen. Het klinkt zo. Vanuit een punt dat zich buiten de cirkel bevindt, worden er een raaklijn en een secans naar toe getrokken. Segmenten AB, AC en AD worden gevormd. A is het snijpunt van lijnen, B is het raakpunt, C en D zijn de snijpunten. In dit geval is de volgende gelijkheid geldig: de lengte van de raaklijn aan de cirkel, in het kwadraat, is gelijk aan het product van de segmenten AC en AD.
Uit het bovenstaande is er een belangrijk gevolg. Voor elk punt van de cirkel kun je een raaklijn bouwen, maar slechts één. Het bewijs hiervan is vrij eenvoudig: theoretisch laten we een loodlijn van de straal erop vallen, dan ontdekken we dat de gevormdedriehoek kan niet bestaan. En dit betekent dat de raaklijn de enige is.
Gebouw
Onder andere problemen in de geometrie is er een speciale categorie, in de regel niet
geliefd bij scholieren en studenten. Om taken uit deze categorie op te lossen, heb je alleen een kompas en een liniaal nodig. Dit zijn bouwtaken. Er zijn ook methoden om een raaklijn te construeren.
Dus, gegeven een cirkel en een punt dat buiten zijn grenzen ligt. En het is noodzakelijk om er een raaklijn door te trekken. Hoe je dat doet? Allereerst moet u een segment tekenen tussen het middelpunt van de cirkel O en een bepaald punt. Deel het dan met behulp van een kompas in tweeën. Om dit te doen, moet u de straal instellen - iets meer dan de helft van de afstand tussen het middelpunt van de oorspronkelijke cirkel en het gegeven punt. Daarna moet je twee kruisende bogen bouwen. Bovendien hoeft de straal van het kompas niet te worden gewijzigd en zal het middelpunt van elk deel van de cirkel respectievelijk het beginpunt en O zijn. De snijpunten van de bogen moeten worden verbonden, waardoor het segment in tweeën wordt gedeeld. Stel een straal op het kompas in die gelijk is aan deze afstand. Teken vervolgens, met het middelpunt op het snijpunt, nog een cirkel. Zowel het beginpunt als O zullen erop liggen. In dit geval zijn er nog twee snijpunten met de cirkel in de opgave. Dit zullen de contactpunten zijn voor het initieel gegeven punt.
Interessant
Het was de constructie van raaklijnen aan de cirkel die leidde tot de geboorte van
differentiaalrekening. Het eerste werk over dit onderwerp wasgepubliceerd door de beroemde Duitse wiskundige Leibniz. Hij voorzag in de mogelijkheid om maxima, minima en raaklijnen te vinden, ongeacht fractionele en irrationele waarden. Nou, nu wordt het ook voor veel andere berekeningen gebruikt.
Bovendien is de raaklijn aan de cirkel gerelateerd aan de geometrische betekenis van de raaklijn. Daar komt zijn naam vandaan. Vertaald uit het Latijn betekent tangens "tangens". Dit concept is dus niet alleen verbonden met meetkunde en differentiaalrekening, maar ook met trigonometrie.
Twee cirkels
Een raaklijn is niet altijd van invloed op slechts één vorm. Als een groot aantal rechte lijnen naar één cirkel kan worden getrokken, waarom dan niet andersom? Kan. Maar de taak in dit geval is ernstig gecompliceerd, omdat de raaklijn aan twee cirkels door geen enkel punt mag gaan, en de relatieve positie van al deze figuren kan erg zijn
anders.
Soorten en variëteiten
Als het gaat om twee cirkels en een of meer lijnen, zelfs als bekend is dat dit raaklijnen zijn, wordt niet meteen duidelijk hoe al deze figuren zich ten opzichte van elkaar bevinden. Op basis hiervan zijn er verschillende variëteiten. Cirkels kunnen dus een of twee gemeenschappelijke punten hebben of ze helemaal niet hebben. In het eerste geval zullen ze elkaar kruisen en in het tweede geval zullen ze elkaar raken. En hier zijn er twee varianten. Als de ene cirkel als het ware ingebed is in de tweede, dan wordt de aanraking intern genoemd, zo niet, dan extern. wederzijds begripde locatie van de figuren is niet alleen mogelijk op basis van de tekening, maar ook met informatie over de som van hun stralen en de afstand tussen hun middelpunten. Als deze twee grootheden gelijk zijn, dan raken de cirkels elkaar. Als de eerste groter is, kruisen ze elkaar, en als deze kleiner is, hebben ze geen gemeenschappelijke punten.
Hetzelfde met rechte lijnen. Voor elke twee cirkels die geen gemeenschappelijke punten hebben, kun je
construeer vier raaklijnen. Twee ervan zullen elkaar kruisen tussen de figuren, ze worden intern genoemd. Een paar andere zijn extern.
Als we het hebben over cirkels die één gemeenschappelijk punt hebben, dan is de taak enorm vereenvoudigd. Het feit is dat ze in dit geval voor elke onderlinge regeling slechts één raaklijn hebben. En het zal door het punt van hun kruising gaan. Dus de constructie van de moeilijkheid zal niet veroorzaken.
Als de figuren twee snijpunten hebben, kan er een rechte lijn voor worden geconstrueerd, die de cirkel raakt, zowel de ene als de tweede, maar alleen de buitenste. De oplossing voor dit probleem is vergelijkbaar met wat hieronder wordt besproken.
Probleemoplossing
Zowel interne als externe raaklijnen aan twee cirkels zijn niet zo eenvoudig te construeren, hoewel dit probleem kan worden opgelost. Feit is dat hiervoor een hulpfiguur wordt gebruikt, dus bedenk zelf deze methode
behoorlijk problematisch. Dus, gegeven twee cirkels met verschillende stralen en middelpunten O1 en O2. Voor hen moet je twee paar raaklijnen bouwen.
Allereerst, vlakbij het centrum van de groterecirkels moeten extra worden gebouwd. In dit geval moet het verschil tussen de stralen van de twee begincijfers op het kompas worden vastgesteld. Raaklijnen aan de hulpcirkel worden opgebouwd vanuit het middelpunt van de kleinere cirkel. Daarna worden vanuit O1 en O2 loodlijnen op deze lijnen getrokken totdat ze de originele figuren kruisen. Zoals uit de hoofdeigenschap van de raaklijn volgt, worden de gewenste punten op beide cirkels gevonden. Probleem opgelost, althans het eerste deel ervan.
Om interne raaklijnen te construeren, moet je praktisch oplossen
een soortgelijke taak. Nogmaals, er is een hulpfiguur nodig, maar deze keer is de straal gelijk aan de som van de originele. Er worden raaklijnen aan geconstrueerd vanuit het middelpunt van een van de gegeven cirkels. Het verdere verloop van de oplossing kan worden begrepen uit het vorige voorbeeld.
Een cirkel raken of zelfs twee of meer is niet zo'n moeilijke taak. Wiskundigen lossen dergelijke problemen natuurlijk al lang niet meer handmatig op en vertrouwen de berekeningen toe aan speciale programma's. Maar denk niet dat het nu niet nodig is om het zelf te kunnen, want om een taak voor een computer correct te formuleren, moet je veel doen en begrijpen. Helaas bestaat de vrees dat na de definitieve overgang naar de toetsvorm van kennissturing bouwtaken voor leerlingen steeds meer problemen zullen opleveren.
Wat betreft het vinden van gemeenschappelijke raaklijnen voor meer cirkels, het is niet altijd mogelijk, zelfs als ze in hetzelfde vlak liggen. Maar in sommige gevallen kun je zo'n rechte lijn vinden.
Levensvoorbeelden
Een gemeenschappelijke raaklijn aan twee cirkels komt in de praktijk vaak voor, hoewel dit niet altijd merkbaar is. Transportbanden, bloksystemen, riemschijven, draadspanning in een naaimachine en zelfs maar een fietsketting - het zijn allemaal voorbeelden uit het leven. Denk dus niet dat geometrische problemen alleen in theorie blijven: in techniek, natuurkunde, constructie en vele andere gebieden vinden ze praktische toepassingen.
