Planimetrie is een tak van geometrie die de eigenschappen van vlakke figuren bestudeert. Deze omvatten niet alleen bekende driehoeken, vierkanten, rechthoeken, maar ook rechte lijnen en hoeken. In de planimetrie zijn er ook begrippen als hoeken in een cirkel: centraal en ingeschreven. Maar wat betekenen ze?
Wat is de centrale hoek?
Om te begrijpen wat een centrale hoek is, moet je een cirkel definiëren. Een cirkel is een verzameling van alle punten op gelijke afstand van een bepaald punt (het middelpunt van de cirkel).
Het is erg belangrijk om het te onderscheiden van een cirkel. Er moet aan worden herinnerd dat een cirkel een gesloten lijn is en dat een cirkel een deel is van een vlak dat daardoor wordt begrensd. Een veelhoek of een hoek kan in een cirkel worden ingeschreven.
Een middelpuntshoek is een hoek waarvan het hoekpunt samenv alt met het middelpunt van de cirkel en waarvan de zijden de cirkel in twee punten snijden. De boog, die door de hoek wordt begrensd door snijpunten, wordt de boog genoemd waarop de gegeven hoek rust.
Beschouw voorbeeld 1.
In de afbeelding staat hoek AOB centraal, omdat het hoekpunt van de hoek en het middelpunt van de cirkel één punt O zijn. Hij rust op de boog AB, die punt C niet bevat.
Hoe verschilt een ingeschreven hoek van een centrale?
Naast de centrale hoeken zijn er echter ook ingeschreven hoeken. Wat is hun verschil? Net als de centrale, rust de hoek die in een cirkel is ingeschreven op een bepaalde boog. Maar zijn hoekpunt v alt niet samen met het middelpunt van de cirkel, maar ligt erop.
Laten we het volgende voorbeeld nemen.
Hoek ACB wordt een hoek genoemd die is ingeschreven in een cirkel met het middelpunt op punt O. Punt C behoort tot de cirkel, dat wil zeggen, ligt erop. De hoek rust op de boog AB.
Wat is de centrale hoek
Om met succes problemen in de geometrie het hoofd te bieden, is het niet voldoende om onderscheid te kunnen maken tussen ingeschreven en centrale hoeken. Om ze op te lossen, moet u in de regel precies weten hoe u de middelpuntshoek in een cirkel kunt vinden en de waarde ervan in graden kunnen berekenen.
Dus, de centrale hoek is gelijk aan de graadmaat van de boog waarop hij rust.
In de afbeelding rust de hoek AOB op de boog AB die gelijk is aan 66°. Dus de hoek AOB is ook gelijk aan 66°.
De centrale hoeken op basis van gelijke bogen zijn dus gelijk.
In de figuur is boog DC gelijk aan boog AB. Dus hoek AOB is gelijk aan hoek DOC.
Een ingeschreven hoek vinden
Het lijkt misschien dat de in de cirkel ingeschreven hoek gelijk is aan de centrale hoek,die op dezelfde boog berust. Dit is echter een grove fout. Zelfs als je alleen maar naar de tekening kijkt en deze hoeken met elkaar vergelijkt, kun je zien dat hun gradenmetingen verschillende waarden zullen hebben. Dus wat is de hoek ingeschreven in de cirkel?
De graadmaat van een ingeschreven hoek is de helft van de boog waarop deze rust, of de helft van de centrale hoek als ze op dezelfde boog vertrouwen.
Laten we een voorbeeld bekijken. Hoek ACB is gebaseerd op een boog gelijk aan 66°.
Dus de hoek DIA=66°: 2=33°
Laten we eens kijken naar enkele consequenties van deze stelling.
- Ingeschreven hoeken, als ze zijn gebaseerd op dezelfde boog, akkoord of gelijke bogen, zijn gelijk.
- Als de ingeschreven hoeken zijn gebaseerd op hetzelfde akkoord, maar hun hoekpunten aan weerszijden ervan liggen, is de som van de graadmaten van dergelijke hoeken 180°, aangezien in dit geval beide hoeken gebaseerd zijn op bogen, de totale graadmaat daarvan is 360° (hele cirkel), 360°: 2=180°
- Als de ingeschreven hoek is gebaseerd op de diameter van de gegeven cirkel, is de maat van de graad 90°, aangezien de diameter een boog omvat die gelijk is aan 180°, 180°: 2=90°
- Als de centrale en ingeschreven hoeken in een cirkel gebaseerd zijn op dezelfde boog of koorde, dan is de ingeschreven hoek gelijk aan de helft van de centrale.
Waar kunnen problemen over dit onderwerp worden gevonden? Hun typen en oplossingen
Omdat de cirkel en zijn eigenschappen een van de belangrijkste onderdelen van de geometrie zijn, met name de planimetrie, zijn de ingeschreven en centrale hoeken in de cirkel een onderwerp dat breed en gedetailleerd isgestudeerd in het schoolcurriculum. Taken die aan hun eigendommen zijn gewijd, zijn te vinden in het hoofdstaatsexamen (OGE) en het verenigde staatsexamen (USE). Om deze problemen op te lossen, moet u in de regel de hoeken op de cirkel in graden vinden.
Hoeken gebaseerd op dezelfde boog
Dit type probleem is misschien wel een van de gemakkelijkste, omdat je om het op te lossen slechts twee eenvoudige eigenschappen hoeft te kennen: als beide hoeken zijn ingeschreven en op hetzelfde akkoord leunen, zijn ze gelijk, als een van hen centraal, dan is de overeenkomstige ingeschreven hoek gelijk aan de helft ervan. Bij het oplossen ervan moet men echter uiterst voorzichtig zijn: soms is het moeilijk om deze eigenschap op te merken, en studenten lopen bij het oplossen van dergelijke eenvoudige problemen dood. Overweeg een voorbeeld.
Probleem 1
Gegeven een cirkel met het middelpunt op punt O. Hoek AOB is 54°. Zoek de graadmaat van de hoek DIA.
Deze taak is in één stap opgelost. Het enige dat je nodig hebt om er snel een antwoord op te vinden, is op te merken dat de boog waarop beide hoeken rusten een gemeenschappelijke is. Als u dit ziet, kunt u de reeds bekende eigenschap toepassen. Hoek ACB is de helft van de hoek AOB. Dus
1) AOB=54°: 2=27°.
Antwoord: 54°.
Hoeken gebaseerd op verschillende bogen van dezelfde cirkel
Soms wordt de grootte van de boog waarop de vereiste hoek rust niet direct gespecificeerd in de voorwaarden van het probleem. Om het te berekenen, moet je de grootte van deze hoeken analyseren en ze vergelijken met de bekende eigenschappen van de cirkel.
Probleem 2
In een cirkel gecentreerd op O, hoek AOCis 120° en de hoek AOB is 30°. Zoek de hoek JIJ.
Om te beginnen is het de moeite waard om te zeggen dat het mogelijk is om dit probleem op te lossen met behulp van de eigenschappen van gelijkbenige driehoeken, maar hiervoor zijn meer wiskundige bewerkingen nodig. Daarom zullen we hier de oplossing analyseren met behulp van de eigenschappen van centrale en ingeschreven hoeken in een cirkel.
De hoek AOC rust dus op de boog AC en is centraal, wat betekent dat de boog AC gelijk is aan de hoek AOC.
AC=120°
Op dezelfde manier rust de hoek AOB op de boog AB.
AB=30°.
Als je dit weet en de mate van de hele cirkel (360°), kun je gemakkelijk de grootte van de boog BC vinden.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Het hoekpunt van de hoek CAB, punt A, ligt op de cirkel. De hoek CAB is dus ingeschreven en is gelijk aan de helft van de boog CB.
CAB-hoek=210°: 2=110°
Antwoord: 110°
Problemen gebaseerd op boogverhoudingen
Sommige problemen bevatten helemaal geen gegevens over hoeken, dus ze moeten alleen worden doorzocht op basis van bekende stellingen en eigenschappen van een cirkel.
Probleem 1
Zoek de hoek die is ingeschreven in een cirkel die wordt ondersteund door een akkoord dat gelijk is aan de straal van de gegeven cirkel.
Als je mentaal lijnen trekt die de uiteinden van het segment verbinden met het midden van de cirkel, krijg je een driehoek. Als je het hebt onderzocht, kun je zien dat deze lijnen de stralen van de cirkel zijn, wat betekent dat alle zijden van de driehoek gelijk zijn. We weten dat alle hoeken van een gelijkzijdige driehoekzijn gelijk aan 60°. De boog AB die het hoekpunt van de driehoek bevat, is dus gelijk aan 60°. Vanaf hier vinden we de boog AB, waarop de gewenste hoek is gebaseerd.
AB=360° - 60°=300°
Hoek ABC=300°: 2=150°
Antwoord: 150°
Probleem 2
In een cirkel gecentreerd op punt O, zijn de bogen gerelateerd als 3:7. Vind de kleinere ingeschreven hoek.
Voor de oplossing duiden we één deel aan als X, dan is één boog gelijk aan 3X, en de tweede, respectievelijk, 7X. Wetende dat de graadmaat van een cirkel 360° is, kunnen we een vergelijking schrijven.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Afhankelijk van de conditie, moet je een kleinere hoek vinden. Het is duidelijk dat als de waarde van de hoek recht evenredig is met de boog waarop hij rust, de vereiste (kleinere) hoek overeenkomt met een boog gelijk aan 3X.
Dus de kleinere hoek is (36°3): 2=108°: 2=54°
Antwoord: 54°
Probleem 3
In een cirkel met het middelpunt op punt O, is de hoek AOB 60° en is de lengte van de kleinere boog 50. Bereken de lengte van de grotere boog.
Om de lengte van een grotere boog te berekenen, moet je een verhouding maken - hoe de kleinere boog zich verhoudt tot de grotere. Hiervoor berekenen we de grootte van beide bogen in graden. De kleinere boog is gelijk aan de hoek die erop rust. De graadmaat is 60°. De grotere boog is gelijk aan het verschil tussen de graadmaat van de cirkel (deze is gelijk aan 360° ongeacht andere gegevens) en de kleinere boog.
De grote boog is 360° - 60°=300°.
Sinds 300°: 60°=5, is de grotere boog 5 keer de kleinere.
Grote boog=505=250
Antwoord: 250
Dus er zijn natuurlijk nog anderenbenaderingen om soortgelijke problemen op te lossen, maar ze zijn allemaal op de een of andere manier gebaseerd op de eigenschappen van centrale en ingeschreven hoeken, driehoeken en cirkels. Om ze met succes op te lossen, moet je de tekening zorgvuldig bestuderen en vergelijken met de gegevens van het probleem, en je theoretische kennis in de praktijk kunnen toepassen.
