Ingeschreven vierhoek in een cirkel. Vierhoek ABCD is ingeschreven in een cirkel

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Met de verdeling van wiskunde in algebra en meetkunde, wordt het lesmateriaal moeilijker. Nieuwe figuren en hun speciale gevallen verschijnen. Om de stof goed te begrijpen, is het noodzakelijk om de concepten, eigenschappen van objecten en verwante stellingen te bestuderen.

Algemene concepten

Een vierhoek betekent een geometrische figuur. Het bestaat uit 4 punten. Bovendien bevinden 3 ervan zich niet op dezelfde rechte lijn. Er zijn segmenten die de gespecificeerde punten in serie verbinden.

Alle vierhoeken die in de cursus meetkunde van de school zijn bestudeerd, worden weergegeven in het volgende diagram. Conclusie: elk object uit de gepresenteerde figuur heeft de eigenschappen van de vorige figuur.

Een vierhoek kan van de volgende typen zijn:

Parallelogram. Het parallellisme van zijn tegenoverliggende zijden wordt bewezen door de overeenkomstige stellingen.
Trapeze. Een vierhoek met evenwijdige basen. De andere twee partijen niet.
Rechthoek. Een figuur die alle 4 de hoeken heeft=90º.
Ruit. Een figuur waarvan alle zijden gelijk zijn.
Vierkant. Combineert de eigenschappen van de laatste twee figuren. Het heeft alle zijden gelijk en alle hoeken zijn goed.

De belangrijkste definitie van dit onderwerp is een vierhoek ingeschreven in een cirkel. Het bestaat uit het volgende. Dit is een figuur waaromheen een cirkel is beschreven. Het moet door alle hoekpunten gaan. De binnenhoeken van een vierhoek ingeschreven in een cirkel tellen op tot 360º.

Niet elke vierhoek kan worden ingeschreven. Dit komt door het feit dat de middelloodlijnen van de 4 zijden elkaar niet op één punt mogen snijden. Dit maakt het onmogelijk om het middelpunt van een cirkel te vinden die een 4-hoek omschrijft.

Speciale gevallen

Er zijn uitzonderingen op elke regel. Dus in dit onderwerp zijn er ook speciale gevallen:

Een parallellogram kan als zodanig niet in een cirkel worden ingeschreven. Alleen zijn speciale geval. Het is een rechthoek.
Als alle hoekpunten van een ruit op de omschrijvende lijn liggen, dan is het een vierkant.
Alle hoekpunten van het trapezium liggen op de grens van de cirkel. In dit geval spreken ze van een gelijkbenige figuur.

Eigenschappen van een ingeschreven vierhoek in een cirkel

Voordat u eenvoudige en complexe problemen over een bepaald onderwerp oplost, moet u uw kennis verifiëren. Zonder het onderwijsmateriaal te bestuderen, is het onmogelijk om een enkel voorbeeld op te lossen.

Stelling 1

De som van de overstaande hoeken van een vierhoek ingeschreven in een cirkel is 180º.

eigenschappen van een ingeschreven vierhoek in een cirkel

Bewijs

Gegeven: vierhoek ABCD is ingeschreven in een cirkel. Het middelpunt is punt O. We moeten bewijzen dat _<A + _<C=180º en _< B + _<D=180º.

Moet rekening houden met de gepresenteerde cijfers.

_{<A is ingeschreven in een cirkel met het middelpunt op punt O. Het wordt gemeten door ½ BCD (halve boog).}

_{<C is ingeschreven in dezelfde cirkel. Het wordt gemeten via ½ BAD (halve boog).}
BAD en BCD vormen een hele cirkel, d.w.z. hun omvang is 360º.

_<A + _{<C zijn gelijk aan de helft van de som van de weergegeven halve bogen.}

Vandaar _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

hoeken van een vierhoek ingeschreven in een cirkel

Op een vergelijkbare manier, het bewijs voor _<B en _{<D. Er is echter een tweede oplossing voor het probleem.}

Het is bekend dat de som van de binnenhoeken van een vierhoek 360º is.

Omdat _<A + _<C=180º. Dienovereenkomstig, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Stelling 2

(Het wordt vaak invers genoemd) Als in een vierhoek _<A + _<C=180º en _{<B +} <_{D=180º (als ze tegenovergesteld zijn), dan kan een cirkel rond zo'n figuur worden beschreven.}

Bewijs

De som van overstaande hoeken van vierhoek ABCD gelijk aan 180º wordt gegeven. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. We moeten bewijzen dat een cirkel kan worden beschreven rond ABCD.}

Vanuit de cursus meetkunde is bekend dat een cirkel kan worden getrokken door 3 punten van een vierhoek. U kunt bijvoorbeeld de punten A, B, C gebruiken. Waar komt punt D te liggen? Er zijn 3 gissingen:

Ze komt in de cirkel terecht. In dit geval raakt D de lijn niet aan.
Buiten de cirkel. Ze stapt veel verder dan de geschetste lijn.
Het blijkt een cirkel te zijn.

Er moet worden aangenomen dat D zich binnen de cirkel bevindt. De plaats van het aangegeven hoekpunt wordt ingenomen door D´. Het blijkt vierhoek ABCD´.

Het resultaat is:_<B + _<D´=2d.

Als we AD´ voortzetten naar het snijpunt met de bestaande cirkel gecentreerd op punt E en E en C verbinden, krijgen we een ingeschreven vierhoek ABCE. Uit de eerste stelling volgt de gelijkheid:

Volgens de wetten van de geometrie is de uitdrukking niet geldig omdat _<D´ de buitenste hoek is van driehoek CD´E. Dienovereenkomstig zou het meer dan _{<E moeten zijn. Hieruit kunnen we concluderen dat D op of buiten de cirkel moet staan.}

Evenzo kan de derde veronderstelling onjuist worden bewezen wanneer D´´ de grens van de beschreven figuur overschrijdt.

Uit twee hypothesen volgt de enige juiste. Vertex D bevindt zich op de cirkellijn. Met andere woorden, D v alt samen met E. Hieruit volgt dat alle punten van de vierhoek op de beschreven lijn liggen.

Van dezetwee stellingen, de uitvloeisels volgen:

Elke rechthoek kan in een cirkel worden ingeschreven. Er is nog een ander gevolg. Een cirkel kan om elke rechthoek worden beschreven

Trapezium met gelijke heupen kan in een cirkel worden ingeschreven. Met andere woorden, het klinkt als volgt: een cirkel kan worden beschreven rond een trapezium met gelijke randen

Verschillende voorbeelden

Probleem 1. Vierhoek ABCD is ingeschreven in een cirkel. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Moet _{<ABD vinden. Het antwoord moet in graden worden geschreven.}

Beslissing. In het begin lijkt het misschien moeilijk om het antwoord te vinden.

1. U moet de eigenschappen van dit onderwerp onthouden. Namelijk: de som van overstaande hoeken=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

In de geometrie is het beter om vast te houden aan het principe: vind alles wat je kunt vinden. Nuttig later.

2. Volgende stap: gebruik de stelling van de driehoekssom.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD en _{<ACD zijn ingeschreven. Per voorwaarde vertrouwen ze op één boog. Dienovereenkomstig hebben ze gelijke waarden:}

_<ABD=_<ACD=70º

Antwoord: _<ABD=70º.

Probleem 2. BCDE is een ingeschreven vierhoek in een cirkel. _<B=69º, _<C=84º. Het middelpunt van de cirkel is punt E. Vind - _<E.

vierhoek ABCD is ingeschreven in een cirkel

Beslissing.

Noodzaak om _{<E te vinden door Stelling 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Antwoord: _{< E=96º.}

Probleem 3. Gegeven een vierhoek ingeschreven in een cirkel. De gegevens zijn weergegeven in de figuur. Het is noodzakelijk om onbekende waarden x, y, z te vinden.

Oplossing:

z=180º – 93º=87º (volgens Stelling 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (volgens Stelling 1)

Antwoord: z=87º, x=82º, y=98º.

Probleem 4. Er is een vierhoek ingeschreven in een cirkel. De waarden zijn weergegeven in de afbeelding. Zoek x, y.

Oplossing:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Antwoord: x=100º, y=109º.

Problemen voor onafhankelijke oplossing

Voorbeeld 1. Gegeven een cirkel. Het middelpunt is punt O. AC en BD zijn diameters. _<ACB=38º. Moet _{<AOD vinden. Het antwoord moet in graden worden gegeven.}

Voorbeeld 2. Gegeven een vierhoek ABCD en een cirkel eromheen. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Zoek _{<CAD. Schrijf je antwoord in graden.}

Voorbeeld 3. Gegeven een cirkel en een ingeschreven vierhoek ABCD. De twee hoeken zijn 82º en58º. Je moet de grootste van de resterende hoeken vinden en het antwoord in graden opschrijven.

Voorbeeld 4. Vierhoek ABCD wordt gegeven. Hoeken A, B, C zijn gegeven in de verhouding 1:2:3. Het is noodzakelijk om de hoek D te vinden als de gespecificeerde vierhoek in een cirkel kan worden ingeschreven. Het antwoord moet in graden worden gegeven.

Voorbeeld 5. Vierhoek ABCD wordt gegeven. De zijkanten vormen bogen van de omgeschreven cirkel. Graadwaarden AB, BC, CD en AD zijn respectievelijk: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Je zou _{<van de gegeven vierhoek moeten vinden en het antwoord in graden moeten opschrijven.}