Een vlak is een geometrisch object waarvan de eigenschappen worden gebruikt bij het construeren van projecties van punten en lijnen, evenals bij het berekenen van afstanden en tweevlakshoeken tussen elementen van driedimensionale figuren. Laten we in dit artikel bekijken welke vergelijkingen kunnen worden gebruikt om de locatie van vliegtuigen in de ruimte te bestuderen.
Vliegtuigdefinitie
Iedereen stelt zich intuïtief voor welk object er zal worden besproken. Vanuit geometrisch oogpunt is een vlak een verzameling punten, alle vectoren waartussen loodrecht op een bepaalde vector moet staan. Als er bijvoorbeeld m verschillende punten in de ruimte zijn, dan kunnen er m(m-1) / 2 verschillende vectoren van worden gemaakt, die de punten in paren verbinden. Als alle vectoren loodrecht op een bepaalde richting staan, dan is dit een voldoende voorwaarde dat alle punten m tot hetzelfde vlak behoren.
Algemene vergelijking
In ruimtelijke meetkunde wordt een vlak beschreven met behulp van vergelijkingen die over het algemeen drie onbekende coördinaten bevatten die overeenkomen met de x-, y- en z-assen. Totverkrijg de algemene vergelijking in vlakke coördinaten in de ruimte, stel dat er een vector n¯(A; B; C) is en een punt M(x0; y0; z0). Met behulp van deze twee objecten kan het vlak uniek worden gedefinieerd.
Inderdaad, stel dat er een tweede punt P(x; y; z) is waarvan de coördinaten onbekend zijn. Volgens de hierboven gegeven definitie moet de vector MP¯ loodrecht staan op n¯, dat wil zeggen dat het scalaire product voor hen gelijk is aan nul. Dan kunnen we de volgende uitdrukking schrijven:
(n¯MP¯)=0 of
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0
Door de haakjes te openen en een nieuwe coëfficiënt D in te voeren, krijgen we de uitdrukking:
Ax + By + Cz + D=0 waarbij D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Deze uitdrukking wordt de algemene vergelijking voor het vlak genoemd. Het is belangrijk om te onthouden dat de coëfficiënten voor x, y en z de coördinaten vormen van de vector n¯(A; B; C) loodrecht op het vlak. Het v alt samen met de normaal en is een gids voor het vliegtuig. Om de algemene vergelijking te bepalen, maakt het niet uit waar deze vector is gericht. Dat wil zeggen, de vlakken die zijn gebouwd op de vectoren n¯ en -n¯ zullen hetzelfde zijn.
De bovenstaande afbeelding toont een vlak, een vector die er loodrecht op staat en een lijn loodrecht op het vlak.
Segmenten afgesneden door het vlak op de assen en de bijbehorende vergelijking
De algemene vergelijking maakt het gebruik van eenvoudige wiskundige bewerkingen mogelijk om te bepalen, inop welke punten het vlak de coördinaatassen zal snijden. Het is belangrijk om deze informatie te kennen om een idee te hebben over de positie in de ruimte van het vliegtuig, en ook om het in de tekeningen weer te geven.
Om de genoemde snijpunten te bepalen, wordt een vergelijking in segmenten gebruikt. Het wordt zo genoemd omdat het expliciet de waarden bevat van de lengtes van de segmenten die zijn afgesneden door het vlak op de coördinaatassen, wanneer geteld vanaf het punt (0; 0; 0). Laten we deze vergelijking bekijken.
Schrijf de algemene uitdrukking voor het vlak als volgt:
Ax + By + Cz=-D
Het linker- en rechtergedeelte kunnen worden gedeeld door -D zonder de gelijkheid te schenden. We hebben:
A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 of
x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1
Ontwerp de noemers van elke term met een nieuw symbool, we krijgen:
p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C dan
x/p + y/q + z/r=1
Dit is de hierboven genoemde vergelijking in segmenten. Hieruit volgt dat de waarde van de noemer van elke term de coördinaat aangeeft van het snijpunt met de overeenkomstige as van het vlak. Het snijdt bijvoorbeeld de y-as in het punt (0; q; 0). Dit is gemakkelijk te begrijpen als je de x- en z-coördinaten nul in de vergelijking invult.
Merk op dat als er geen variabele in de vergelijking in de segmenten is, dit betekent dat het vlak de corresponderende as niet snijdt. Bijvoorbeeld, gegeven de uitdrukking:
x/p + y/q=1
Dit betekent dat het vlak de segmenten p en q op respectievelijk de x- en y-assen afsnijdt, maar het zal evenwijdig aan de z-as zijn.
Conclusie over het gedrag van het vliegtuig wanneerde afwezigheid van een variabele in haar vergelijking geldt ook voor een algemene typeexpressie, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.
Vector parametrische vergelijking
Er is een derde soort vergelijking waarmee een vlak in de ruimte kan worden beschreven. Het wordt een parametrische vector genoemd omdat het wordt gegeven door twee vectoren die in het vlak liggen en twee parameters die willekeurige onafhankelijke waarden kunnen aannemen. Laten we laten zien hoe deze vergelijking kan worden verkregen.
Stel dat er een aantal bekende vectoren zijn u ¯(a1; b1; c1) en v¯(a2; b2; c2). Als ze niet evenwijdig zijn, kunnen ze worden gebruikt om een specifiek vlak in te stellen door het begin van een van deze vectoren vast te leggen op een bekend punt M(x0; y0; z0). Als een willekeurige vector MP¯ kan worden weergegeven als een combinatie van lineaire vectoren u¯ en v¯, dan betekent dit dat het punt P(x; y; z) in hetzelfde vlak ligt als u¯, v¯. We kunnen dus de gelijkheid schrijven:
MP¯=αu¯ + βv¯
Of als we deze gelijkheid in termen van coördinaten schrijven, krijgen we:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a1; b1; c1) + β(a 2; b2; c2)
De gepresenteerde gelijkheid is een parametrische vectorvergelijking voor het vlak. BIJvectorruimte op het vlak u¯ en v¯ worden generatoren genoemd.
Vervolgens zal bij het oplossen van het probleem worden getoond hoe deze vergelijking kan worden teruggebracht tot een algemene vorm voor een vliegtuig.
Hoek tussen vlakken in de ruimte
Intuïtief kunnen vlakken in de 3D-ruimte elkaar kruisen of niet. In het eerste geval is het van belang om de hoek ertussen te vinden. De berekening van deze hoek is moeilijker dan de hoek tussen lijnen, omdat we het hebben over een tweevlaks geometrisch object. De reeds genoemde gidsvector voor het vliegtuig komt echter te hulp.
Het is geometrisch vastgesteld dat de tweevlakshoek tussen twee elkaar snijdende vlakken exact gelijk is aan de hoek tussen hun gidsvectoren. Laten we deze vectoren aanduiden als n1¯(a1; b1; c1) en n2¯(a2; b2; c2). De cosinus van de hoek ertussen wordt bepaald uit het scalaire product. Dat wil zeggen, de hoek zelf in de ruimte tussen de vlakken kan worden berekend met de formule:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Hier wordt de modulus in de noemer gebruikt om de waarde van de stompe hoek te negeren (tussen snijdende vlakken is deze altijd kleiner dan of gelijk aan 90o).
In coördinaatvorm kan deze uitdrukking als volgt worden herschreven:
φ=arccos(|a1a2 + b1b 2 +c1c2|/(√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b22 + c 22)))
Vlakken loodrecht en parallel
Als de vlakken elkaar snijden en de tweevlakshoek die ze vormen 90o is, dan staan ze loodrecht. Een voorbeeld van dergelijke vlakken is een rechthoekig prisma of een kubus. Deze figuren worden gevormd door zes vlakken. Op elk hoekpunt van de genoemde figuren staan drie vlakken die loodrecht op elkaar staan.
Om erachter te komen of de beschouwde vlakken loodrecht staan, volstaat het om het scalaire product van hun normaalvectoren te berekenen. Een voldoende voorwaarde voor loodrechtheid in de ruimte van vlakken is de nulwaarde van dit product.
Parallel worden niet-kruisende vlakken genoemd. Soms wordt ook gezegd dat parallelle vlakken elkaar op oneindig kruisen. De voorwaarde van parallellisme in de ruimte van vlakken v alt samen met die voorwaarde voor de richtingsvectoren n1¯ en n2¯. U kunt het op twee manieren controleren:
- Bereken de cosinus van de tweevlakshoek (cos(φ)) met behulp van het scalaire product. Als de vlakken evenwijdig zijn, is de waarde 1.
- Probeer de ene vector door de andere weer te geven door te vermenigvuldigen met een getal, bijv. n1¯=kn2¯. Als dit kan, dan zijn de bijbehorende vlakken:parallel.
De afbeelding toont twee parallelle vlakken.
Laten we nu voorbeelden geven van het oplossen van twee interessante problemen met behulp van de verkregen wiskundige kennis.
Hoe krijg je een algemene vorm van een vectorvergelijking?
Dit is een parametrische vectoruitdrukking voor een vlak. Om het gemakkelijker te maken om de stroom van bewerkingen en de gebruikte wiskundige trucs te begrijpen, overweeg dan een specifiek voorbeeld:
(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)
Breid deze uitdrukking uit en druk de onbekende parameters uit:
x=1 + 2α;
y=2 - α + β;
z=α + 3β
Toen:
α=(x - 1)/2;
β=y - 2 + (x - 1)/2;
z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)
Als we de haakjes in de laatste uitdrukking openen, krijgen we:
z=2x-2 + 3y - 6 of
2x + 3y - z - 8=0
We hebben de algemene vorm van de vergelijking voor het in de probleemstelling gespecificeerde vlak in vectorvorm verkregen
Hoe bouw je een vliegtuig door drie punten?
Het is mogelijk om een enkel vlak door drie punten te tekenen als deze punten niet tot een enkele rechte lijn behoren. Het algoritme om dit probleem op te lossen bestaat uit de volgende reeks acties:
- vind de coördinaten van twee vectoren door paarsgewijs bekende punten te verbinden;
- bereken hun kruisproduct en krijg een vector loodrecht op het vlak;
- schrijf de algemene vergelijking met behulp van de gevonden vector eneen van de drie punten.
Laten we een concreet voorbeeld nemen. Punten gegeven:
R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)
De coördinaten van de twee vectoren zijn:
RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)
Hun kruisproduct zal zijn:
n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)
Als we de coördinaten van punt R nemen, krijgen we de vereiste vergelijking:
6x + 2y + 4z -10=0 of
3x + y + 2z -5=0
Het wordt aanbevolen om de juistheid van het resultaat te controleren door de coördinaten van de resterende twee punten in deze uitdrukking te vervangen:
voor P: 30 + (-3) + 24 -5=0;
voor Q: 31 + (-2) + 22 -5=0
Merk op dat het mogelijk was om het vectorproduct niet te vinden, maar noteer onmiddellijk de vergelijking voor het vlak in een parametrische vectorvorm.
