Vector is een belangrijk geometrisch object, met behulp van zijn eigenschappen is het handig om veel problemen in het vliegtuig en in de ruimte op te lossen. In dit artikel zullen we het definiëren, de belangrijkste kenmerken ervan bekijken en ook laten zien hoe een vector in de ruimte kan worden gebruikt om vlakken te definiëren.
Wat is een vector: tweedimensionaal geval
Allereerst is het noodzakelijk om duidelijk te begrijpen over welk object we het hebben. In de meetkunde wordt een gericht segment een vector genoemd. Zoals elk segment wordt het gekenmerkt door twee hoofdelementen: het begin- en eindpunt. De coördinaten van deze punten bepalen op unieke wijze alle kenmerken van de vector.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld van een vector op een vlak. Hiervoor tekenen we twee onderling loodrechte assen x en y. Laten we een willekeurig punt P(x, y) markeren. Als we dit punt verbinden met de oorsprong (punt O), en dan de richting naar P specificeren, dan krijgen we de vector OP¯ (later in het artikel geeft de balk boven het symbool aan dat we een vector overwegen). De vectortekening op het vlak wordt hieronder getoond.
Hier wordt ook een andere vector AB¯ getoond, en je kunt zien dat de kenmerken precies hetzelfde zijn als OP¯, maar in een ander deel van het coördinatensysteem. Door parallelle vertaling OP¯ kunt u een oneindig aantal vectoren met dezelfde eigenschappen krijgen.
Vector in de ruimte
Alle echte objecten die ons omringen bevinden zich in een driedimensionale ruimte. De studie van de geometrische eigenschappen van driedimensionale figuren houdt zich bezig met stereometrie, die werkt met het concept van driedimensionale vectoren. Ze verschillen alleen van tweedimensionale, omdat hun beschrijving een extra coördinaat vereist, die wordt gemeten langs de derde loodrechte x- en y-as z.
De onderstaande afbeelding toont een vector in de ruimte. De coördinaten van het uiteinde langs elke as worden aangegeven door gekleurde segmenten. Het begin van de vector bevindt zich op het snijpunt van alle drie de coördinaatassen, dat wil zeggen, het heeft coördinaten (0; 0; 0).
Aangezien een vector op een vlak een speciaal geval is van een ruimtelijk gericht segment, zullen we in het artikel alleen een driedimensionale vector beschouwen.
Vectorcoördinaten gebaseerd op bekende coördinaten van begin en einde
Stel dat er twee punten zijn P(x1; y1; z1) en Q(x2; y2; z2). Hoe de coördinaten van de vector PQ¯ te bepalen. Ten eerste is het noodzakelijk om af te spreken welk van de punten het begin en welk het einde van de vector zal zijn. In de wiskunde is het gebruikelijk om het object in kwestie in zijn richting te schrijven, dat wil zeggen, P is het begin, Q- het einde. Ten tweede worden de coördinaten van de vector PQ¯ berekend als het verschil tussen de corresponderende coördinaten van het einde en het begin, dat wil zeggen:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Merk op dat door de richting van de vector te veranderen, de coördinaten als volgt van teken veranderen:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Dit betekent PQ¯=-QP¯.
Het is belangrijk om nog één ding te begrijpen. Er werd hierboven gezegd dat er in het vlak een oneindig aantal vectoren is dat gelijk is aan de gegeven. Dit feit geldt ook voor het ruimtelijke geval. Toen we de coördinaten van PQ¯ in het bovenstaande voorbeeld berekenden, voerden we de bewerking van parallelle translatie van deze vector zelfs zo uit dat zijn oorsprong samenviel met de oorsprong. Vector PQ¯ kan worden getekend als een gericht segment van de oorsprong tot punt M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vector eigenschappen
Zoals elk meetkundig object heeft een vector een aantal inherente kenmerken die kunnen worden gebruikt om problemen op te lossen. Laten we ze kort opsommen.
Vectormodulus is de lengte van het gerichte segment. Als je de coördinaten kent, is het gemakkelijk om het te berekenen. Voor de vector PQ¯ in het bovenstaande voorbeeld is de modulus:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vector-module aanvlak wordt berekend met een vergelijkbare formule, alleen zonder de deelname van de derde coördinaat.
De som en het verschil van vectoren wordt uitgevoerd volgens de driehoeksregel. De onderstaande afbeelding laat zien hoe u deze objecten kunt optellen en aftrekken.
Om de somvector te krijgen, voegt u het begin van de tweede toe aan het einde van de eerste vector. De gewenste vector begint aan het begin van de eerste en eindigt aan het einde van de tweede vector.
Het verschil wordt uitgevoerd rekening houdend met het feit dat de afgetrokken vector wordt vervangen door de tegenovergestelde, en dan wordt de hierboven beschreven optelbewerking uitgevoerd.
Naast optellen en aftrekken, is het belangrijk om een vector met een getal te kunnen vermenigvuldigen. Als het getal gelijk is aan k, dan wordt een vector verkregen waarvan de modulus k keer verschilt van de oorspronkelijke, en de richting is ofwel dezelfde (k>0) of tegengesteld aan de oorspronkelijke (k<0).
De werking van vermenigvuldiging van vectoren onderling is ook gedefinieerd. We zullen er een aparte paragraaf voor in het artikel uitlichten.
Scalaire en vectorvermenigvuldiging
Stel dat er twee vectoren zijn u¯(x1; y1; z1) en v¯(x2; y2; z2). Vector voor vector kan op twee verschillende manieren worden vermenigvuldigd:
- Scalair. In dit geval is het resultaat een getal.
- Vector. Het resultaat is een nieuwe vector.
Het scalaire product van vectoren u¯ en v¯ wordt als volgt berekend:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Waarbij α de hoek is tussen de gegeven vectoren.
Het kan worden aangetoond dat als je de coördinaten u¯ en v¯ kent, hun puntproduct kan worden berekend met behulp van de volgende formule:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Het scalaire product is handig om te gebruiken bij het ontleden van een vector in twee loodrecht gerichte segmenten. Het wordt ook gebruikt om het parallellisme of de orthogonaliteit van vectoren te berekenen en om de hoek ertussen te berekenen.
Het uitwendige product van u¯ en v¯ geeft een nieuwe vector die loodrecht staat op de originele en modulus heeft:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
De richting naar beneden of naar boven van de nieuwe vector wordt bepaald door de regel van de rechterhand (vier vingers van de rechterhand zijn gericht vanaf het einde van de eerste vector naar het einde van de tweede, en de duim steekt omhoog geeft de richting van de nieuwe vector aan). Onderstaande figuur toont het resultaat van het uitwendig product voor willekeurige a¯ en b¯.
Het uitwendige product wordt gebruikt om de oppervlakten van figuren te berekenen, en ook om de coördinaten van een vector loodrecht op een bepaald vlak te bepalen.
Vectoren en hun eigenschappen zijn handig om te gebruiken bij het definiëren van de vergelijking van een vlak.
Normale en algemene vergelijking van het vlak
Er zijn verschillende manieren om een vlak te definiëren. Een daarvan is de afleiding van de algemene vergelijking van het vlak, die rechtstreeks volgt uit de kennis van de vector die er loodrecht op staat en een bekend punt dat bij het vlak hoort.
Veronderstel dat er een vector n¯ (A; B; C) en een punt P (x0; y0; z 0). Welke voorwaarde voldoet aan alle punten Q(x; y; z) van het vlak? Deze voorwaarde bestaat uit de loodrechtheid van elke vector PQ¯ op de normaal n¯. Voor twee loodrechte vectoren wordt het puntproduct nul (cos(90o)=0), schrijf dit:
(n¯PQ¯)=0 of
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Als we de haakjes openen, krijgen we:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 of
Ax + By + Cz +D=0 waarbij D=-Ax0-By0-Cz0.
Deze vergelijking wordt algemeen genoemd voor het vlak. We zien dat de coëfficiënten voor x, y en z de coördinaten zijn van de loodrechte vector n¯. Het heet een vliegtuiggids.
Vector parametrische vergelijking van het vlak
De tweede manier om een vlak te definiëren is door twee vectoren te gebruiken die erin liggen.
Veronderstel dat er vectoren zijn u¯(x1; y1; z1) en v¯(x2; y2; z2). Zoals gezegd, kan elk van hen in de ruimte worden weergegeven door een oneindig aantal identieke gerichte segmenten, daarom is er nog een punt nodig om het vlak uniek te bepalen. Laat dit punt P(x0;y0; z0). Elk punt Q(x; y; z) zal in het gewenste vlak liggen als de vector PQ¯ kan worden weergegeven als een combinatie van u¯ en v¯. Dat wil zeggen, we hebben:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Waar α en β enkele reële getallen zijn. Uit deze gelijkheid volgt de uitdrukking:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Het wordt een parametrische vectorvergelijking van het vlak genoemd met betrekking tot 2 vectoren u¯ en v¯. Door willekeurige parameters α en β te vervangen, kan men alle punten (x; y; z) vinden die tot dit vlak behoren.
Van deze vergelijking is het gemakkelijk om de algemene uitdrukking voor het vlak te krijgen. Om dit te doen, volstaat het om de richtingsvector n¯ te vinden, die loodrecht staat op beide vectoren u¯ en v¯, dat wil zeggen dat hun vectorproduct moet worden toegepast.
Het probleem van het bepalen van de algemene vergelijking van het vlak
Laten we laten zien hoe we de bovenstaande formules kunnen gebruiken om geometrische problemen op te lossen. Stel dat de richtingsvector van het vlak n¯(5; -3; 1) is. Je zou de vergelijking van het vlak moeten vinden, wetende dat het punt P(2; 0; 0) erbij hoort.
De algemene vergelijking wordt geschreven als:
Ax + By + Cz +D=0.
Aangezien de vector loodrecht op het vlak bekend is, zal de vergelijking de vorm aannemen:
5x - 3y + z +D=0.
Het blijft om de vrije term D te vinden. We berekenen het uit de kennis van de coördinaten P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
De gewenste vergelijking van het vlak heeft dus de vorm:
5x - 3y + z -10=0.
De onderstaande afbeelding laat zien hoe het resulterende vlak eruit ziet.
De aangegeven coördinaten van de punten komen overeen met de snijpunten van het vlak met de x-, y- en z-assen.
Het probleem van het bepalen van het vlak door twee vectoren en een punt
Veronderstel nu dat het vorige vlak anders is gedefinieerd. Er zijn twee vectoren u¯(-2; 0; 10) en v¯(-2; -10/3; 0) bekend, evenals het punt P(2; 0; 0). Hoe de vlakvergelijking in vectorparametrische vorm te schrijven? Met behulp van de beschouwde corresponderende formule krijgen we:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Merk op dat de definities van deze vergelijking van het vlak, de vectoren u¯ en v¯ absoluut kunnen worden genomen, maar met één voorwaarde: ze mogen niet parallel zijn. Anders kan het vlak niet uniek worden bepaald, maar men kan wel een vergelijking voor een balk of een reeks vlakken vinden.
