De getallenreeks en de limiet ervan zijn in de geschiedenis van deze wetenschap een van de belangrijkste problemen in de wiskunde geweest. Voortdurend bijgewerkte kennis, formuleerde nieuwe stellingen en bewijzen - dit alles stelt ons in staat om dit concept vanuit nieuwe posities en vanuit verschillende hoeken te bekijken.
Een getallenreeks, in overeenstemming met een van de meest voorkomende definities, is een wiskundige functie waarvan de basis de verzameling natuurlijke getallen is, gerangschikt volgens een of ander patroon.
Deze functie kan als gedefinieerd worden beschouwd als de wet bekend is, volgens welke een reëel getal duidelijk kan worden gedefinieerd voor elk natuurlijk getal.
Er zijn verschillende opties voor het maken van nummerreeksen.
Ten eerste kan deze functie op de zogenaamde "expliciete" manier worden gedefinieerd, wanneer er een bepaalde formule is waarmee elk van zijn leden kan worden bepaalddoor eenvoudige vervanging van het serienummer in de gegeven volgorde.
De tweede methode heet "recurrent". De essentie ervan ligt in het feit dat de eerste paar leden van de numerieke reeks worden gegeven, evenals een speciale recursieve formule, met behulp waarvan u, als u het vorige lid kent, de volgende kunt vinden.
Ten slotte is de meest algemene manier om reeksen te specificeren de zogenaamde "analytische methode", wanneer men zonder veel moeite niet alleen een of andere term onder een bepaald serienummer kan identificeren, maar ook meerdere opeenvolgende termen kent, kom tot de algemene formule van een bepaalde functie.
De nummerreeks kan afnemend of toenemend zijn. In het eerste geval is elke volgende term kleiner dan de vorige, en in het tweede geval juist groter.
Gezien dit onderwerp, is het onmogelijk om de kwestie van de limieten van reeksen niet aan te pakken. De limiet van een reeks is zo'n getal wanneer voor elke waarde, inclusief een oneindig kleine, er een serienummer is waarna de afwijking van opeenvolgende leden van de reeks van een bepaald punt in numerieke vorm kleiner wordt dan de waarde die tijdens de vorming is opgegeven van deze functie.
Het concept van de limiet van een numerieke reeks wordt actief gebruikt bij het uitvoeren van bepaalde integraal- en differentiaalberekeningen.
Wiskundige reeksen hebben een hele reeks behoorlijk interessanteeigenschappen.
Ten eerste is elke numerieke reeks een voorbeeld van een wiskundige functie, daarom kunnen de eigenschappen die kenmerkend zijn voor functies veilig worden toegepast op reeksen. Het meest opvallende voorbeeld van dergelijke eigenschappen is de bepaling over toenemende en afnemende rekenkundige reeksen, die verenigd zijn door één gemeenschappelijk concept - monotone reeksen.
Ten tweede is er een vrij grote groep reeksen die niet kunnen worden geclassificeerd als stijgend of dalend - dit zijn periodieke reeksen. In de wiskunde worden ze beschouwd als die functies waarin er een zogenaamde periodelengte is, dat wil zeggen, vanaf een bepaald moment (n) begint de volgende gelijkheid te werken y =yn+T, waarbij T de lengte van de punt is.
