Methoden voor het instellen van de vergelijkingen van lijnen in het vlak en in de driedimensionale ruimte

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

De rechte lijn is het belangrijkste geometrische object op het vlak en in de driedimensionale ruimte. Het is van rechte lijnen dat veel figuren worden gebouwd, bijvoorbeeld: een parallellogram, een driehoek, een prisma, een piramide, enzovoort. Overweeg in het artikel verschillende manieren om de vergelijkingen van lijnen in te stellen.

Definitie van een rechte lijn en soorten vergelijkingen om deze te beschrijven

Elke leerling heeft een goed idee over welk geometrisch object ze het hebben. Een rechte lijn kan worden weergegeven als een verzameling punten, en als we ze allemaal op hun beurt met alle andere verbinden, krijgen we een reeks parallelle vectoren. Met andere woorden, het is mogelijk om naar elk punt van de lijn te gaan vanuit een van zijn vaste punten, door het over te dragen naar een eenheidsvector vermenigvuldigd met een reëel getal. Deze definitie van een rechte lijn wordt gebruikt om een vectorgelijkheid te definiëren voor zijn wiskundige beschrijving, zowel in het vlak als in de driedimensionale ruimte.

Een rechte lijn kan wiskundig worden weergegeven door de volgende soorten vergelijkingen:

algemeen;
vector;
parametrisch;
in segmenten;
symmetrisch (canoniek).

Vervolgens zullen we alle genoemde typen bekijken en laten zien hoe we ermee kunnen werken aan de hand van voorbeelden van het oplossen van problemen.

Vector- en parametrische beschrijving van een rechte lijn

Laten we beginnen met het definiëren van een rechte lijn door een bekende vector. Stel dat er een vast punt is in de ruimte M(x₀; y₀; z_{0). Het is bekend dat de rechte erdoorheen gaat en langs het vectorsegment v¯(a; b; c) is gericht. Hoe vind je een willekeurig punt van de lijn uit deze gegevens? Het antwoord op deze vraag geeft de volgende gelijkheid:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Waarbij λ een willekeurig getal is.

Een soortgelijke uitdrukking kan worden geschreven voor het tweedimensionale geval, waarbij de coördinaten van vectoren en punten worden weergegeven door een reeks van twee getallen:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

De geschreven vergelijkingen worden vectorvergelijkingen genoemd, en het gerichte segment v¯ zelf is de richtingsvector voor de rechte lijn.

Van de geschreven uitdrukkingen worden de corresponderende parametervergelijkingen eenvoudig verkregen, het is voldoende om ze expliciet te herschrijven. Voor het geval in de ruimte krijgen we bijvoorbeeld de volgende vergelijking:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Het is handig om met parametrische vergelijkingen te werken als u het gedrag moet analyserenelke coördinaat. Merk op dat hoewel de parameter λ willekeurige waarden kan aannemen, deze in alle drie gelijkheden hetzelfde moet zijn.

Algemene vergelijking

Een andere manier om een rechte lijn te definiëren, die vaak wordt gebruikt om met het beschouwde geometrische object te werken, is door een algemene vergelijking te gebruiken. Voor het tweedimensionale geval ziet het er als volgt uit:

Ax + By + C=0

Hier staan Latijnse hoofdletters voor specifieke numerieke waarden. Het gemak van deze gelijkheid bij het oplossen van problemen ligt in het feit dat het expliciet een vector bevat die loodrecht op een rechte lijn staat. Als we het aanduiden met n¯, dan kunnen we schrijven:

n¯=[A; B]

Bovendien is de uitdrukking handig om te gebruiken om de afstand te bepalen van een rechte lijn tot een bepaald punt P(x₁; y_{1). De formule voor afstand d is:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Het is gemakkelijk aan te tonen dat als we de variabele y expliciet uitdrukken uit de algemene vergelijking, we de volgende bekende vorm krijgen om een rechte lijn te schrijven:

y=kx + b

Waar k en b uniek worden bepaald door de getallen A, B, C.

De vergelijking in segmenten en canoniek

Snijpunt van coördinaatassen van een rechte lijn

De vergelijking in segmenten is het gemakkelijkst te verkrijgen vanuit de algemene weergave. We laten je zien hoe je het moet doen.

Stel dat we de volgende regel hebben:

Ax + By + C=0

Verplaats de vrije term naar de rechterkant van de gelijkheid en deel de hele vergelijking erdoor, we krijgen:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, waarbij q=-C / A, p=-C / B

We hebben de zogenaamde vergelijking in segmenten. Het dankt zijn naam aan het feit dat de noemer waarmee elke variabele wordt gedeeld, de waarde aangeeft van de coördinaat van het snijpunt van de lijn met de overeenkomstige as. Het is handig om dit feit te gebruiken om een rechte lijn in een coördinatensysteem weer te geven, en om de relatieve positie ervan ten opzichte van andere geometrische objecten (rechte lijnen, punten) te analyseren.

Laten we nu verder gaan met het verkrijgen van de canonieke vergelijking. Dit is gemakkelijker te doen als we de parametrische optie overwegen. Voor het geval in het vliegtuig hebben we:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

We drukken de parameter λ uit in elke gelijkheid, dan stellen we ze gelijk aan, we krijgen:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Dit is de gewenste vergelijking geschreven in symmetrische vorm. Net als een vectoruitdrukking bevat het expliciet de coördinaten van de richtingsvector en de coördinaten van een van de punten die bij de lijn horen.

Het is te zien dat we in deze paragraaf vergelijkingen hebben gegeven voor het tweedimensionale geval. Op dezelfde manier kun je de vergelijking van een rechte lijn in de ruimte schrijven. Hier moet worden opgemerkt dat als de canonieke vormrecords en uitdrukkingen in segmenten dezelfde vorm hebben, dan wordt de algemene vergelijking in de ruimte voor een rechte lijn weergegeven door een stelsel van twee vergelijkingen voor snijdende vlakken.

Het probleem van het construeren van de vergelijking van een rechte lijn

Vanuit meetkunde weet elke leerling dat je door twee punten een enkele lijn kunt trekken. Neem aan dat de volgende punten in het coördinatenvlak gegeven zijn:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Het is noodzakelijk om de vergelijking te vinden van de lijn waartoe beide punten behoren, in segmenten, in vector-, canonieke en algemene vorm.

Laten we eerst de vectorvergelijking bekijken. Om dit te doen, definieert u voor de directe richting vector M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Je kunt nu een vectorvergelijking maken door een van de twee punten te nemen die in de probleemstelling zijn gespecificeerd, bijvoorbeeld M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Om de canonieke vergelijking te krijgen, volstaat het om de gevonden gelijkheid om te zetten in een parametrische vorm en de parameter λ uit te sluiten. We hebben:

x=-1 - 2λ, dus λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, dan krijgen we λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

De resterende twee vergelijkingen (algemeen en in segmenten) kunnen worden gevonden uit de canonieke vergelijking door deze als volgt te transformeren:

x + 1=-2y + 6;

algemene vergelijking: x + 2y - 5=0;

in segmenten vergelijking: x / 5 + y / 2, 5=1

De resulterende vergelijkingen laten zien dat de vector (1; 2) loodrecht op de lijn moet staan. Inderdaad, als je zijn scalair product met de richtingsvector vindt, dan is het gelijk aan nul. De lijnsegmentvergelijking zegt dat de lijn de x-as snijdt bij (5; 0) en de y-as bij (2, 5; 0).

Het probleem van het bepalen van het snijpunt van lijnen

Twee rechte lijnen worden gegeven op het vlak door de volgende vergelijkingen:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Het is noodzakelijk om de coördinaten te bepalen van het punt waar deze lijnen elkaar snijden.

Er zijn twee manieren om het probleem op te lossen:

Transformeer de vectorvergelijking in een algemene vorm en los vervolgens het stelsel van twee lineaire vergelijkingen op.
Voer geen transformaties uit, maar vervang gewoon de coördinaat van het snijpunt, uitgedrukt door de parameter λ, in de eerste vergelijking. Zoek vervolgens de parameterwaarde.

Laten we de tweede manier doen. We hebben: