Zelfs op school maken alle leerlingen kennis met het concept van "Euclidische meetkunde", waarvan de belangrijkste bepalingen zijn geconcentreerd rond verschillende axioma's op basis van geometrische elementen als punt, vlak, lijn en beweging. Ze vormen allemaal samen wat al lang bekend is onder de term "Euclidische ruimte".
Euclidische ruimte, waarvan de definitie is gebaseerd op het concept van scalaire vermenigvuldiging van vectoren, is een speciaal geval van een lineaire (affiene) ruimte die aan een aantal vereisten voldoet. Ten eerste is het scalaire product van vectoren absoluut symmetrisch, dat wil zeggen, de vector met coördinaten (x;y) is kwantitatief identiek aan de vector met coördinaten (y;x), maar tegengesteld in richting.
Ten tweede, als het scalaire product van een vector met zichzelf wordt uitgevoerd, zal het resultaat van deze actie positief zijn. De enige uitzondering is het geval wanneer de begin- en eindcoördinaten van deze vector gelijk zijn aan nul: in dit geval zal het product met zichzelf ook gelijk zijn aan nul.
Ten derde is het scalaire product distributief, dat wil zeggen, het is mogelijk om een van zijn coördinaten te ontbinden in de som van twee waarden, wat geen veranderingen met zich meebrengt in het uiteindelijke resultaat van scalaire vermenigvuldiging van vectoren. Ten vierde, als vectoren worden vermenigvuldigd met hetzelfde reële getal, zal hun scalaire product ook met dezelfde factor toenemen.
Als aan al deze vier voorwaarden is voldaan, kunnen we met vertrouwen zeggen dat we een Euclidische ruimte hebben.
De Euclidische ruimte kan vanuit praktisch oogpunt worden gekenmerkt door de volgende specifieke voorbeelden:
- Het eenvoudigste geval is de aanwezigheid van een set vectoren met een scalair product gedefinieerd volgens de basiswetten van de geometrie.
- Euclidische ruimte wordt ook verkregen als we met vectoren een bepaalde eindige verzameling reële getallen bedoelen met een gegeven formule die hun scalaire som of product beschrijft.
- Een speciaal geval van Euclidische ruimte is de zogenaamde nulruimte, die wordt verkregen als de scalaire lengte van beide vectoren gelijk is aan nul.
Euclidische ruimte heeft een aantal specifieke eigenschappen. Ten eerste kan de scalaire factor zowel uit de eerste als de tweede factor van het scalaire product tussen haakjes worden gehaald, het resultaat hiervan zal op geen enkele manier veranderen. Ten tweede, samen met de distributiviteit van het eerste element van de scalaireproduct, de distributiviteit van het tweede element werkt ook. Daarnaast vindt naast de scalaire som van vectoren ook distributiviteit plaats bij vectoraftrekking. Ten derde, als een vector scalair met nul wordt vermenigvuldigd, zal het resultaat ook nul zijn.
De Euclidische ruimte is dus het belangrijkste geometrische concept dat wordt gebruikt bij het oplossen van problemen met de onderlinge rangschikking van vectoren ten opzichte van elkaar, dat wordt gekenmerkt door een concept als het scalaire product.
