Studenten van hogere wiskunde moeten zich ervan bewust zijn dat de som van sommige machtreeksen die behoren tot het convergentie-interval van de gegeven reeks een continu en onbeperkt aantal keren gedifferentieerde functie blijkt te zijn. De vraag rijst: is het mogelijk om te beweren dat een bepaalde willekeurige functie f(x) de som is van een machtreeks? Dat wil zeggen, onder welke voorwaarden kan de functie f(x) worden weergegeven door een machtreeks? Het belang van deze vraag ligt in het feit dat het mogelijk is om de functie f(x) bij benadering te vervangen door de som van de eerste paar termen van de machtreeks, dus door een polynoom. Een dergelijke vervanging van een functie door een vrij eenvoudige uitdrukking - een polynoom - is ook handig bij het oplossen van sommige wiskundige analyseproblemen, namelijk: bij het oplossen van integralen, bij het berekenen van differentiaalvergelijkingen, enz.
Het is bewezen dat voor een functie f(х) waar afgeleiden tot (n+1)de orde, inclusief de laatste, kunnen worden berekend in de buurt (α - R; x0 + R) van een bepaald punt x=α de formule is geldig:
Deze formule is vernoemd naar de beroemde wetenschapper Brook Taylor. De reeks die uit de vorige wordt verkregen, wordt de Maclaurin-reeks genoemd:
De regel die het mogelijk maakt om uit te breiden in een Maclaurin-reeks:
- Bepaal de afgeleiden van de eerste, tweede, derde… orde.
- Bereken waar de afgeleiden bij x=0 gelijk aan zijn.
- Neem de Maclaurin-reeks voor deze functie op en bepaal vervolgens het interval van zijn convergentie.
- Bepaal het interval (-R;R) waar de rest van de Maclaurin-formule
R (x) -> 0 voor n -> oneindig. Als er een bestaat, moet de functie f(x) erin samenvallen met de som van de Maclaurin-reeks.
Overweeg nu de Maclaurin-serie voor individuele functies.
1. Dus de eerste is f(x)=ex. Volgens zijn kenmerken heeft zo'n functie natuurlijk afgeleiden van verschillende ordes, en f(k)(x)=ex, waarbij k gelijk is aan alle natuurlijke getallen. Laten we x=0 substitueren. We krijgen f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… zou er als volgt uitzien:
2. De Maclaurin-reeks voor de functie f(x)=sin x. Verduidelijk onmiddellijk dat de functie voor alle onbekenden afgeleiden zal hebben, naast f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), waarbij k gelijk is aan elk natuurlijk getal. Dat wil zeggen, na eenvoudige berekeningen kunnen we tot de conclusie komen dat de reeks voor f(x)=sin x er als volgt uit zal zien:
3. Laten we nu eens kijken naar de functie f(x)=cos x. Ze is voor al het onbekendeheeft afgeleiden van willekeurige volgorde, en |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Nogmaals, na wat berekeningen, krijgen we dat de reeks voor f(x)=cos x er als volgt uit zal zien:
Dus, we hebben de belangrijkste functies opgesomd die kunnen worden uitgebreid in de Maclaurin-reeks, maar ze worden voor sommige functies aangevuld met de Taylor-reeks. Nu zullen we ze opsommen. Het is ook vermeldenswaard dat Taylor- en Maclaurin-reeksen een belangrijk onderdeel vormen van de praktijk van het oplossen van reeksen in de hogere wiskunde. Dus, Taylor-serie.
1. De eerste is een reeks voor f-ii f(x)=ln(1+x). Net als in de vorige voorbeelden, kunnen we, gegeven ons f (x)=ln (1 + x), een reeks toevoegen met behulp van de algemene vorm van de Maclaurin-reeks. voor deze functie kan de Maclaurin-reeks echter veel eenvoudiger worden verkregen. Na integratie van een bepaalde meetkundige reeks, krijgen we een reeks voor f(x)=ln(1+x) van dit monster:
2. En de tweede, die definitief zal zijn in ons artikel, zal een serie zijn voor f (x) u003d arctg x. Voor x behorende tot het interval [-1;1] is de uitbreiding geldig:
Dat is het. Dit artikel onderzocht de meest gebruikte Taylor- en Maclaurin-reeksen in de hogere wiskunde, in het bijzonder aan economische en technische universiteiten.
