Wat zijn irrationele getallen? Waarom heten ze zo? Waar worden ze gebruikt en wat zijn ze? Weinigen kunnen deze vragen zonder aarzeling beantwoorden. Maar in feite zijn de antwoorden daarop vrij eenvoudig, hoewel niet iedereen ze nodig heeft en in zeer zeldzame situaties
Essentie en aanduiding
Irrationele getallen zijn oneindige niet-periodieke decimale breuken. De noodzaak om dit concept te introduceren is te wijten aan het feit dat de eerder bestaande concepten van reële of reële, integere, natuurlijke en rationale getallen niet langer voldoende waren om nieuwe opkomende problemen op te lossen. Om bijvoorbeeld te berekenen wat het kwadraat van 2 is, moet u eenmalige oneindige decimalen gebruiken. Bovendien hebben veel van de eenvoudigste vergelijkingen ook geen oplossing zonder het concept van een irrationeel getal te introduceren.
Deze set wordt aangeduid als I. En, zoals al duidelijk is, kunnen deze waarden niet worden weergegeven als een eenvoudige breuk, in de teller waarvan er een geheel getal is, en in de noemer - een natuurlijk getal.
Voor de eerste keer ooitanders kwamen Indiase wiskundigen dit fenomeen tegen in de 7e eeuw voor Christus, toen werd ontdekt dat de vierkantswortels van sommige grootheden niet expliciet konden worden aangegeven. En het eerste bewijs van het bestaan van dergelijke getallen wordt toegeschreven aan de Pythagoreïsche Hippasus, die dit deed tijdens het bestuderen van een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Een serieuze bijdrage aan de studie van deze set werd geleverd door enkele andere wetenschappers die vóór onze jaartelling leefden. De introductie van het concept van irrationele getallen betekende een herziening van het bestaande wiskundige systeem, en daarom zijn ze zo belangrijk.
Oorsprong van de naam
Als ratio in het Latijn "fractie", "ratio" betekent, dan geeft het voorvoegsel "ir"
dit woord de tegenovergestelde betekenis. De naam van de reeks van deze getallen geeft dus aan dat ze niet kunnen worden gecorreleerd met een geheel getal of een breuk, ze hebben een aparte plaats. Dit volgt uit hun essentie.
Plaats in het algemeen klassement
Irrationele getallen, samen met rationale getallen, behoren tot de groep van reële of reële getallen, die op hun beurt tot complexe getallen behoren. Er zijn geen subsets, maar er zijn algebraïsche en transcendentale varianten, die hieronder zullen worden besproken.
Eigenschappen
Omdat irrationele getallen deel uitmaken van de verzameling reële getallen, zijn al hun eigenschappen die in de rekenkunde worden bestudeerd (ze worden ook wel algebraïsche basiswetten genoemd) op hen van toepassing.
a + b=b + a (commutativiteit);
(a + b) + c=a + (b + c)(associativiteit);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (het bestaan van het tegenovergestelde getal);
ab=ba (verplaatsingswet);
(ab)c=a(bc) (distributiviteit);
a(b+c)=ab + ac (verdelende wet);
a x 1=a
a x 1/a=1 (het bestaan van een invers getal);
Vergelijking wordt ook uitgevoerd in overeenstemming met algemene wetten en principes:
Als a > b en b > c, dan is een > c (transitiviteit van de verhouding) en. enz.
Natuurlijk kunnen alle irrationele getallen worden geconverteerd met behulp van basisrekenkunde. Hier zijn geen speciale regels voor.
Bovendien is het axioma van Archimedes van toepassing op irrationele getallen. Er staat dat voor elke twee grootheden a en b, de bewering waar is dat door a als term vaak genoeg te nemen, je b kunt overtreffen.
Gebruik
Ondanks het feit dat je er in het gewone leven niet vaak mee te maken hebt, kunnen irrationele getallen niet worden geteld. Het zijn er veel, maar ze zijn bijna onzichtbaar. We zijn overal omringd door irrationele getallen. Voorbeelden die iedereen kent zijn het getal pi, gelijk aan 3, 1415926 …, of e, dat in wezen de basis is van de natuurlijke logaritme, 2, 718281828 … In algebra, trigonometrie en meetkunde moeten ze constant worden gebruikt. Trouwens, de beroemde waarde van de "gulden snede", dat wil zeggen de verhouding van zowel het grotere deel tot het kleinere, en vice versa, is ook
hoort bij deze set. Minder bekend "zilver" - ook.
Ze bevinden zich zeer dicht op de getallenlijn, dus tussen elke twee waarden die verband houden met de reeks rationale enen, zal er zeker een irrationele optreden.
Er zijn nog veel onopgeloste problemen met deze set. Er zijn criteria als de mate van irrationaliteit en de normaliteit van een getal. Wiskundigen gaan door met het onderzoeken van de meest significante voorbeelden voor hun behoren tot een of andere groep. Er wordt bijvoorbeeld aangenomen dat e een normaal getal is, dat wil zeggen dat de kans dat verschillende cijfers in zijn record voorkomen hetzelfde is. Wat pi betreft, er is nog steeds onderzoek naar gaande. Een maat voor irrationaliteit wordt ook wel een waarde genoemd die aangeeft hoe goed dit of dat getal kan worden benaderd door rationale getallen.
Algebraïsch en transcendentaal
Zoals eerder vermeld, zijn irrationele getallen voorwaardelijk verdeeld in algebraïsch en transcendentaal. Voorwaardelijk, aangezien deze classificatie strikt genomen wordt gebruikt om de verzameling C te verdelen.
Deze aanduiding verbergt complexe getallen, die reële of reële getallen bevatten.
Dus, een algebraïsche waarde is een waarde die een wortel is van een polynoom die niet identiek gelijk is aan nul. De vierkantswortel van 2 zou bijvoorbeeld in deze categorie vallen omdat het de oplossing is van de vergelijking x2 - 2=0.
Alle andere reële getallen die niet aan deze voorwaarde voldoen, worden transcendentaal genoemd. Naar deze variëteitomvatten de meest bekende en reeds genoemde voorbeelden - het getal pi en de basis van de natuurlijke logaritme e.
Interessant is dat noch het een noch het tweede oorspronkelijk door wiskundigen in deze hoedanigheid werd afgeleid, hun irrationaliteit en transcendentie werden vele jaren na hun ontdekking bewezen. Voor pi werd het bewijs geleverd in 1882 en vereenvoudigd in 1894, waarmee een einde kwam aan de 2500 jaar durende controverse over het probleem van de kwadratuur van de cirkel. Het is nog steeds niet volledig begrepen, dus moderne wiskundigen hebben iets om aan te werken. Trouwens, de eerste voldoende nauwkeurige berekening van deze waarde werd uitgevoerd door Archimedes. Vóór hem waren alle berekeningen te benaderend.
Voor e (de Euler- of Napier-getallen) werd in 1873 het bewijs van zijn transcendentie gevonden. Het wordt gebruikt bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen.
Andere voorbeelden zijn sinus-, cosinus- en tangenswaarden voor alle algebraïsche waarden die niet nul zijn.
