Fourier-reeks is een weergave van een willekeurig gekozen functie met een specifieke periode als reeks. In algemene termen wordt deze oplossing de ontleding van een element in een orthogonale basis genoemd. De uitbreiding van functies in een Fourier-reeks is een vrij krachtig hulpmiddel voor het oplossen van verschillende problemen vanwege de eigenschappen van deze transformatie bij het integreren, differentiëren en verschuiven van een uitdrukking in een argument en convolutie.
Iemand die niet bekend is met hogere wiskunde, en ook niet met de werken van de Franse wetenschapper Fourier, zal hoogstwaarschijnlijk niet begrijpen wat deze "rijen" zijn en waarvoor ze dienen. Ondertussen is deze transformatie behoorlijk dicht geworden in ons leven. Het wordt niet alleen gebruikt door wiskundigen, maar ook door natuurkundigen, scheikundigen, artsen, astronomen, seismologen, oceanografen en vele anderen. Laten we de werken van de grote Franse wetenschapper eens nader bekijken, die een ontdekking deed die zijn tijd ver vooruit was.
Man en de Fourier-transformatie
Fourier-reeksen zijn een van de methoden (samen met analyse en andere) van de Fourier-transformatie. Dit proces vindt plaats telkens wanneer een persoon een geluid hoort. Ons oor zet het geluid automatisch omgolven. De oscillerende bewegingen van elementaire deeltjes in een elastisch medium worden ontleed in rijen (langs het spectrum) van opeenvolgende waarden van het volumeniveau voor tonen van verschillende hoogtes. Vervolgens zetten de hersenen deze gegevens om in voor ons bekende geluiden. Dit alles gebeurt op zichzelf naast ons verlangen of bewustzijn, maar om deze processen te begrijpen, zal het enkele jaren duren om hogere wiskunde te studeren.
Meer over de Fourier-transformatie
Fourier-transformatie kan worden uitgevoerd met analytische, numerieke en andere methoden. Fourier-reeksen verwijzen naar de numerieke manier om oscillerende processen te ontbinden - van oceaangetijden en lichtgolven tot cycli van zonneactiviteit (en andere astronomische objecten). Met behulp van deze wiskundige technieken is het mogelijk om functies te analyseren, waarbij alle oscillerende processen worden weergegeven als een reeks sinusoïdale componenten die van minimum naar maximum gaan en vice versa. De Fourier-transformatie is een functie die de fase en amplitude beschrijft van sinusoïden die overeenkomen met een specifieke frequentie. Dit proces kan worden gebruikt om zeer complexe vergelijkingen op te lossen die dynamische processen beschrijven die plaatsvinden onder invloed van thermische, lichte of elektrische energie. Ook maken Fourier-reeksen het mogelijk om de constante componenten in complexe oscillerende signalen te isoleren, wat het mogelijk maakte om de verkregen experimentele waarnemingen in de geneeskunde, scheikunde en astronomie correct te interpreteren.
Historische achtergrond
Grondlegger van deze theorieJean Baptiste Joseph Fourier is een Franse wiskundige. Deze transformatie werd vervolgens naar hem vernoemd. Aanvankelijk paste de wetenschapper zijn methode toe om de mechanismen van warmtegeleiding te bestuderen en te verklaren - de verspreiding van warmte in vaste stoffen. Fourier suggereerde dat de aanvankelijke onregelmatige verdeling van een hittegolf kan worden ontleed in de eenvoudigste sinusoïden, die elk hun eigen minimum- en maximumtemperatuur hebben, evenals hun eigen fase. In dit geval wordt elk van deze componenten gemeten van minimum naar maximum en vice versa. De wiskundige functie die de bovenste en onderste pieken van de curve beschrijft, evenals de fase van elk van de harmonischen, wordt de Fourier-transformatie van de temperatuurverdelingsexpressie genoemd. De auteur van de theorie reduceerde de algemene verdelingsfunctie, die wiskundig moeilijk te beschrijven is, tot een zeer gemakkelijk te hanteren reeks periodieke cosinus- en sinusfuncties die samen de oorspronkelijke verdeling vormen.
Het principe van transformatie en de opvattingen van tijdgenoten
De tijdgenoten van de wetenschapper - de vooraanstaande wiskundigen van het begin van de negentiende eeuw - accepteerden deze theorie niet. Het belangrijkste bezwaar was de bewering van Fourier dat een discontinue functie die een rechte lijn of een discontinue curve beschrijft, kan worden weergegeven als een som van sinusoïdale uitdrukkingen die continu zijn. Beschouw als voorbeeld de "stap" van Heaviside: de waarde is nul links van de opening en één rechts. Deze functie beschrijft de afhankelijkheid van de elektrische stroom van de tijdsvariabele wanneer het circuit gesloten is. Tijdgenoten van de theorie waren toen nog nooit zoiets tegengekomeneen situatie waarin de discontinue uitdrukking zou worden beschreven door een combinatie van continue, gewone functies, zoals exponentieel, sinusvormig, lineair of kwadratisch.
Wat verwarde Franse wiskundigen in de Fouriertheorie?
Als de wiskundige gelijk had met zijn uitspraken, en als je de oneindige trigonometrische Fourier-reeks samenvat, kun je een exacte weergave krijgen van de stapuitdrukking, zelfs als deze veel vergelijkbare stappen heeft. Aan het begin van de negentiende eeuw leek zo'n uitspraak absurd. Maar ondanks alle twijfels hebben veel wiskundigen de reikwijdte van de studie van dit fenomeen uitgebreid, waardoor ze verder gaan dan de studies van thermische geleidbaarheid. De meeste wetenschappers bleven echter piekeren over de vraag: "Kan de som van een sinusoïdale reeks convergeren naar de exacte waarde van een discontinue functie?"
Convergentie van Fourier-reeksen: voorbeeld
De kwestie van convergentie wordt gesteld wanneer het nodig is om oneindige reeksen getallen op te tellen. Overweeg een klassiek voorbeeld om dit fenomeen te begrijpen. Kun je ooit de muur bereiken als elke volgende stap half zo groot is als de vorige? Stel dat je twee meter van het doel bent, de eerste stap brengt je dichter bij halverwege, de volgende naar de driekwartmarkering en na de vijfde leg je bijna 97 procent van de weg af. Maar hoeveel stappen je ook zet, in strikt wiskundige zin bereik je het beoogde doel niet. Met behulp van numerieke berekeningen kan men bewijzen dat men uiteindelijk zo dichtbij kan komen als men wil.kleine gespecificeerde afstand. Dit bewijs is gelijk aan het aantonen dat de somwaarde van de helft, een vierde, enz. zal neigen naar één.
Vraag van convergentie: de wederkomst, of het apparaat van Lord Kelvin
Deze vraag werd herhaaldelijk gesteld aan het einde van de negentiende eeuw, toen men probeerde Fourier-reeksen te gebruiken om de intensiteit van eb en vloed te voorspellen. In die tijd vond Lord Kelvin een apparaat uit, een analoog computerapparaat waarmee zeelieden van het leger en de koopvaardijvloot dit natuurlijke fenomeen konden volgen. Dit mechanisme bepaalde de reeksen fasen en amplitudes uit een tabel met getijhoogten en de bijbehorende tijdsmomenten, zorgvuldig gemeten in een bepaalde haven gedurende het jaar. Elke parameter was een sinusoïdale component van de uitdrukking van de getijhoogte en was een van de reguliere componenten. De resultaten van de metingen werden ingevoerd in de rekenmachine van Lord Kelvin, die een curve synthetiseerde die de hoogte van het water voorspelde als functie van de tijd voor het volgende jaar. Al snel werden soortgelijke curven opgesteld voor alle havens van de wereld.
En als het proces wordt onderbroken door een onderbroken functie?
Destijds leek het vanzelfsprekend dat een vloedgolfvoorspeller met een groot aantal telelementen een groot aantal fasen en amplitudes kon berekenen en zo nauwkeurigere voorspellingen kon geven. Desalniettemin bleek dat deze regelmaat niet wordt waargenomen in gevallen waarin de getij-expressie, die volgtsynthetiseren, bevatte een scherpe sprong, dat wil zeggen, het was discontinu. In het geval dat gegevens in het apparaat worden ingevoerd vanuit de tabel met tijdmomenten, berekent het verschillende Fourier-coëfficiënten. De oorspronkelijke functie wordt hersteld dankzij de sinusoïdale componenten (volgens de gevonden coëfficiënten). De discrepantie tussen de oorspronkelijke en herstelde expressie kan op elk punt worden gemeten. Bij herhaalde berekeningen en vergelijkingen blijkt dat de waarde van de grootste fout niet afneemt. Ze zijn echter gelokaliseerd in het gebied dat overeenkomt met het discontinuïteitspunt en hebben de neiging om op elk ander punt nul te worden. In 1899 werd dit resultaat theoretisch bevestigd door Joshua Willard Gibbs van Yale University.
Convergentie van Fourierreeksen en de ontwikkeling van wiskunde in het algemeen
Fourier-analyse is niet van toepassing op uitdrukkingen die een oneindig aantal bursts in een bepaald interval bevatten. Over het algemeen convergeren Fourier-reeksen, als de oorspronkelijke functie het resultaat is van een echte fysieke meting, altijd. Vragen over de convergentie van dit proces voor specifieke klassen van functies hebben geleid tot de opkomst van nieuwe secties in de wiskunde, bijvoorbeeld de theorie van gegeneraliseerde functies. Het wordt geassocieerd met namen als L. Schwartz, J. Mikusinsky en J. Temple. In het kader van deze theorie werd een duidelijke en precieze theoretische basis gecreëerd voor uitdrukkingen als de Dirac-deltafunctie (het beschrijft een gebied van een enkel gebied geconcentreerd in een oneindig kleine buurt van een punt) en de Heaviside " stap". Dankzij dit werk werd de Fourier-reeks toepasbaar op:het oplossen van vergelijkingen en problemen waarbij intuïtieve concepten betrokken zijn: puntlading, puntmassa, magnetische dipolen, evenals een geconcentreerde belasting op een balk.
Fourier-methode
Fourier-reeksen, in overeenstemming met de principes van interferentie, beginnen met de ontleding van complexe vormen in eenvoudigere. Een verandering in de warmtestroom wordt bijvoorbeeld verklaard door de passage door verschillende obstakels gemaakt van onregelmatig gevormd warmte-isolerend materiaal of een verandering in het aardoppervlak - een aardbeving, een verandering in de baan van een hemellichaam - de invloed van planeten. In de regel worden vergelijkbare vergelijkingen die eenvoudige klassieke systemen beschrijven elementair opgelost voor elke individuele golf. Fourier toonde aan dat eenvoudige oplossingen ook kunnen worden gesommeerd om oplossingen te geven voor complexere problemen. In de taal van de wiskunde is Fourierreeks een techniek om een uitdrukking weer te geven als een som van harmonischen - cosinus en sinusoïden. Daarom wordt deze analyse ook wel "harmonische analyse" genoemd.
Fourier-serie - de ideale techniek vóór het "computertijdperk"
Vóór de creatie van computertechnologie was de Fourier-techniek het beste wapen in het arsenaal van wetenschappers bij het werken met de golvende aard van onze wereld. Met de Fourier-reeks in een complexe vorm kunnen niet alleen eenvoudige problemen worden opgelost die direct kunnen worden toegepast op de wetten van de mechanica van Newton, maar ook fundamentele vergelijkingen. De meeste ontdekkingen van de Newtoniaanse wetenschap in de negentiende eeuw werden alleen mogelijk gemaakt door de techniek van Fourier.
Fourier-serie vandaag
Met de ontwikkeling van Fourier-transformatiecomputersnaar een geheel nieuw niveau getild. Deze techniek is stevig verankerd in bijna alle gebieden van wetenschap en technologie. Een voorbeeld is een digitaal audio- en videosignaal. De realisatie ervan werd alleen mogelijk dankzij de theorie die aan het begin van de negentiende eeuw door een Franse wiskundige werd ontwikkeld. Zo maakte de Fourier-reeks in een complexe vorm het mogelijk om een doorbraak te maken in de studie van de ruimte. Bovendien beïnvloedde het de studie van de fysica van halfgeleidermaterialen en plasma, microgolfakoestiek, oceanografie, radar, seismologie.
Trigonometrische Fourier-reeks
In de wiskunde is een Fourierreeks een manier om willekeurige complexe functies weer te geven als een som van eenvoudigere. In algemene gevallen kan het aantal van dergelijke uitdrukkingen oneindig zijn. Bovendien, hoe meer rekening wordt gehouden met hun aantal in de berekening, hoe nauwkeuriger het eindresultaat is. Meestal worden de trigonometrische functies van cosinus of sinus gebruikt als de eenvoudigste. In dit geval worden de Fourier-reeksen trigonometrisch genoemd en de oplossing van dergelijke uitdrukkingen wordt de uitbreiding van de harmonische genoemd. Deze methode speelt een belangrijke rol in de wiskunde. Allereerst biedt de trigonometrische reeks een middel voor het beeld, evenals de studie van functies, het is het belangrijkste apparaat van de theorie. Bovendien maakt het het mogelijk om een aantal problemen van de wiskundige fysica op te lossen. Ten slotte heeft deze theorie bijgedragen aan de ontwikkeling van de wiskundige analyse, heeft geleid tot een aantal zeer belangrijke onderdelen van de wiskundige wetenschap (de theorie van integralen, de theorie van periodieke functies). Daarnaast diende het als uitgangspunt voor de ontwikkeling van de volgende theorieën: verzamelingen, functiesechte variabele, functionele analyse, en legde ook de basis voor harmonische analyse.
