Fourier-transformatie is een transformatie die de functies van een reële variabele vergelijkt. Deze bewerking wordt elke keer uitgevoerd als we verschillende geluiden waarnemen. Het oor voert een automatische "berekening" uit, die ons bewustzijn alleen kan uitvoeren na bestudering van het overeenkomstige deel van de hogere wiskunde. Het menselijk gehoororgaan bouwt een transformatie op waardoor geluid (oscillerende beweging van conditionele deeltjes in een elastisch medium die zich in golfvorm voortplanten in een vast, vloeibaar of gasvormig medium) wordt verschaft in de vorm van een spectrum van opeenvolgende waarden van het volumeniveau van tonen van verschillende hoogtes. Daarna zetten de hersenen deze informatie om in een voor iedereen bekend geluid.
Wiskundige Fourier-transformatie
Transformatie van geluidsgolven of andere oscillerende processen (van lichtstraling en oceaangetijde tot cycli van stellaire of zonneactiviteit) kan ook worden uitgevoerd met behulp van wiskundige methoden. Met behulp van deze technieken is het dus mogelijk om functies te ontleden door oscillerende processen weer te geven als een reeks sinusoïdale componenten, dat wil zeggen golvende krommen diega van laag naar hoog, dan terug naar laag, als een zeegolf. Fouriertransformatie - een transformatie waarvan de functie de fase of amplitude beschrijft van elke sinusoïde die overeenkomt met een bepaalde frequentie. De fase is het startpunt van de curve en de amplitude is de hoogte.
De Fourier-transformatie (voorbeelden staan op de foto) is een zeer krachtig hulpmiddel dat in verschillende wetenschapsgebieden wordt gebruikt. In sommige gevallen wordt het gebruikt om vrij complexe vergelijkingen op te lossen die dynamische processen beschrijven die plaatsvinden onder invloed van licht, thermische of elektrische energie. In andere gevallen kunt u hiermee de reguliere componenten in complexe oscillerende signalen bepalen, waardoor u verschillende experimentele waarnemingen in de chemie, geneeskunde en astronomie correct kunt interpreteren.
Historische achtergrond
De eerste persoon die deze methode toepast, was de Franse wiskundige Jean Baptiste Fourier. De transformatie, die later naar hem werd genoemd, werd oorspronkelijk gebruikt om het mechanisme van warmtegeleiding te beschrijven. Fourier besteedde zijn hele volwassen leven aan het bestuderen van de eigenschappen van warmte. Hij leverde een enorme bijdrage aan de wiskundige theorie van het bepalen van de wortels van algebraïsche vergelijkingen. Fourier was hoogleraar analyse aan de Polytechnische School, secretaris van het Instituut voor Egyptologie, was in keizerlijke dienst, waar hij zich onderscheidde tijdens de aanleg van de weg naar Turijn (onder zijn leiding, meer dan 80 duizend vierkante kilometer malariamoerassen). Al deze krachtige activiteit weerhield de wetenschapper er echter niet van om wiskundige analyses uit te voeren. In 1802 leidde hij een vergelijking af die de voortplanting van warmte in vaste stoffen beschrijft. In 1807 ontdekte de wetenschapper een methode om deze vergelijking op te lossen, die de "Fourier-transformatie" werd genoemd.
Thermische geleidbaarheidsanalyse
De wetenschapper paste een wiskundige methode toe om het mechanisme van warmtegeleiding te beschrijven. Een handig voorbeeld, waarbij er geen rekenproblemen zijn, is de voortplanting van thermische energie door een ijzeren ring, een deel ondergedompeld in vuur. Om experimenten uit te voeren, heeft Fourier een deel van deze ring roodgloeiend verwarmd en in fijn zand begraven. Daarna nam hij temperatuurmetingen aan de andere kant ervan. Aanvankelijk is de warmteverdeling onregelmatig: een deel van de ring is koud en het andere is heet, en tussen deze zones kan een scherpe temperatuurgradiënt worden waargenomen. Tijdens het proces van warmtevoortplanting over het gehele oppervlak van het metaal wordt het echter uniformer. Dus al snel neemt dit proces de vorm aan van een sinusoïde. In het begin neemt de grafiek geleidelijk toe en neemt ook geleidelijk af, precies volgens de veranderingswetten van de cosinus- of sinusfunctie. De golf vlakt geleidelijk af en als resultaat wordt de temperatuur over het hele oppervlak van de ring gelijk.
De auteur van deze methode suggereerde dat de aanvankelijke onregelmatige verdeling kan worden ontleed in een reeks elementaire sinusoïden. Elk van hen heeft zijn eigen fase (beginpositie) en zijn eigen temperatuurmaximaal. Bovendien verandert elk zo'n component van een minimum naar een maximum en weer terug bij een volledige omwenteling rond de ring een geheel aantal keren. Een component met één periode werd de fundamentele harmonische genoemd, en een waarde met twee of meer perioden werd de tweede genoemd, enzovoort. Dus de wiskundige functie die het temperatuurmaximum, de fase of positie beschrijft, wordt de Fourier-transformatie van de verdelingsfunctie genoemd. De wetenschapper reduceerde een enkele component, die wiskundig moeilijk te beschrijven is, tot een gebruiksvriendelijk hulpmiddel - de cosinus- en sinusreeksen, die samen de oorspronkelijke verdeling vormen.
De essentie van de analyse
Door deze analyse toe te passen op de transformatie van de voortplanting van warmte door een vast object met een ringvorm, redeneerde de wiskundige dat het vergroten van de perioden van de sinusoïdale component zou leiden tot een snel verval. Dit is duidelijk te zien in de grond- en tweede harmonischen. In de laatste bereikt de temperatuur de maximum- en minimumwaarden twee keer in één keer, en in de eerste slechts één keer. Het blijkt dat de afstand die wordt afgelegd door warmte in de tweede harmonische de helft zal zijn van die in de hoofdharmonische. Bovendien zal de helling in de tweede ook twee keer zo steil zijn als in de eerste. Daarom, aangezien de intensere warmtestroom een afstand aflegt die twee keer zo kort is, zal deze harmonische vier keer sneller vervallen dan de grondtoon als functie van de tijd. In de toekomst zal dit proces nog sneller gaan. De wiskundige geloofde dat je met deze methode het proces van de initiële temperatuurverdeling in de tijd kunt berekenen.
Uitdaging voor tijdgenoten
Het Fourier-transformatiealgoritme daagde destijds de theoretische grondslagen van de wiskunde uit. Aan het begin van de negentiende eeuw accepteerden de meest vooraanstaande wetenschappers, waaronder Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre en Biot, zijn bewering dat de aanvankelijke temperatuurverdeling wordt ontleed in componenten in de vorm van een fundamentele harmonische en hogere frequenties. De Academie van Wetenschappen kon de resultaten van de wiskundige echter niet negeren en hem een prijs toekennen voor de theorie van de wetten van warmtegeleiding, en deze ook vergelijken met fysieke experimenten. In de benadering van Fourier was het belangrijkste bezwaar het feit dat de discontinue functie wordt weergegeven door de som van verschillende sinusoïdale functies die continu zijn. Ze beschrijven immers gescheurde rechte en gebogen lijnen. De tijdgenoten van de wetenschapper zijn nog nooit een vergelijkbare situatie tegengekomen, toen discontinue functies werden beschreven door een combinatie van continue functies, zoals kwadratisch, lineair, sinusoïdaal of exponentieel. In het geval dat de wiskundige gelijk had met zijn uitspraken, dan moet de som van een oneindige reeks van een trigonometrische functie worden teruggebracht tot een exacte stapsgewijze. Een dergelijke uitspraak leek destijds absurd. Ondanks twijfel hebben sommige onderzoekers (bijv. Claude Navier, Sophie Germain) de reikwijdte van het onderzoek echter uitgebreid en verder gebracht dan de analyse van de verdeling van thermische energie. Ondertussen bleven wiskundigen worstelen met de vraag of de som van verschillende sinusoïdale functies kan worden teruggebracht tot een exacte weergave van een discontinue.
200 jaar oudgeschiedenis
Deze theorie is in twee eeuwen geëvolueerd, vandaag is ze eindelijk gevormd. Met zijn hulp worden ruimtelijke of temporele functies verdeeld in sinusoïdale componenten, die hun eigen frequentie, fase en amplitude hebben. Deze transformatie wordt verkregen door twee verschillende wiskundige methoden. De eerste wordt gebruikt wanneer de oorspronkelijke functie continu is en de tweede - wanneer deze wordt weergegeven door een reeks afzonderlijke individuele wijzigingen. Als de uitdrukking wordt verkregen uit waarden die worden gedefinieerd door discrete intervallen, dan kan deze worden verdeeld in verschillende sinusoïdale uitdrukkingen met discrete frequenties - van de laagste en dan twee keer, drie keer enzovoort hoger dan de belangrijkste. Zo'n som wordt de Fourierreeks genoemd. Als de initiële uitdrukking een waarde krijgt voor elk reëel getal, kan het worden ontleed in verschillende sinusoïdale frequenties van alle mogelijke frequenties. Het wordt gewoonlijk de Fourier-integraal genoemd en de oplossing impliceert integrale transformaties van de functie. Ongeacht hoe de conversie wordt verkregen, moeten voor elke frequentie twee getallen worden opgegeven: amplitude en frequentie. Deze waarden worden uitgedrukt als een enkel complex getal. De theorie van uitdrukkingen van complexe variabelen, samen met de Fourier-transformatie, maakte het mogelijk om berekeningen uit te voeren bij het ontwerp van verschillende elektrische circuits, de analyse van mechanische trillingen, de studie van het mechanisme van golfvoortplanting en meer.
Fourier Transformeren vandaag
Tegenwoordig wordt de studie van dit proces voornamelijk beperkt tot het vinden van effectieveovergangsmethoden van een functie naar zijn getransformeerde vorm en vice versa. Deze oplossing wordt de directe en inverse Fourier-transformatie genoemd. Wat betekent het? Om de integraal te bepalen en een directe Fourier-transformatie te produceren, kan men wiskundige of analytische methoden gebruiken. Ondanks dat er bij het gebruik ervan in de praktijk bepaalde moeilijkheden optreden, zijn de meeste integralen al gevonden en opgenomen in wiskundige naslagwerken. Numerieke methoden kunnen worden gebruikt om uitdrukkingen te berekenen waarvan de vorm is gebaseerd op experimentele gegevens, of functies waarvan de integralen niet beschikbaar zijn in tabellen en die moeilijk in analytische vorm weer te geven zijn.
Voor de komst van computers waren de berekeningen van dergelijke transformaties erg vervelend, ze vereisten handmatige uitvoering van een groot aantal rekenkundige bewerkingen, die afhankelijk waren van het aantal punten dat de golffunctie beschrijft. Om berekeningen te vergemakkelijken, zijn er tegenwoordig speciale programma's die het mogelijk hebben gemaakt om nieuwe analytische methoden te implementeren. Dus in 1965 creëerden James Cooley en John Tukey software die bekend werd als de "Fast Fourier Transform". Hiermee kunt u tijd besparen voor berekeningen door het aantal vermenigvuldigingen in de analyse van de curve te verminderen. De snelle Fourier-transformatiemethode is gebaseerd op het verdelen van de curve in een groot aantal uniforme monsterwaarden. Dienovereenkomstig wordt het aantal vermenigvuldigingen gehalveerd met dezelfde vermindering van het aantal punten.
De Fourier-transformatie toepassen
Dithet proces wordt gebruikt in verschillende wetenschapsgebieden: in get altheorie, natuurkunde, signaalverwerking, combinatoriek, kansrekening, cryptografie, statistiek, oceanologie, optica, akoestiek, geometrie en andere. De rijke toepassingsmogelijkheden zijn gebaseerd op een aantal handige functies, die "Fourier-transformatie-eigenschappen" worden genoemd. Overweeg ze.
1. De functietransformatie is een lineaire operator en is, met de juiste normalisatie, unitair. Deze eigenschap staat bekend als de stelling van Parseval, of in het algemeen de stelling van Plancherel, of het dualisme van Pontryagin.
2. De transformatie is omkeerbaar. Bovendien heeft het omgekeerde resultaat bijna dezelfde vorm als in de directe oplossing.
3. Sinusvormige basisexpressies zijn eigen gedifferentieerde functies. Dit betekent dat een dergelijke representatie lineaire vergelijkingen met een constante coëfficiënt verandert in gewone algebraïsche.
4. Volgens de "convolutie"-stelling verandert dit proces een complexe bewerking in een elementaire vermenigvuldiging.
5. De discrete Fourier-transformatie kan snel worden berekend op een computer met behulp van de "snelle" methode.
Rassen van de Fourier-transformatie
1. Meestal wordt deze term gebruikt om een continue transformatie aan te duiden die elke vierkante integreerbare uitdrukking biedt als een som van complexe exponentiële uitdrukkingen met specifieke hoekfrequenties en amplitudes. Deze soort heeft verschillende vormen, die kunnenverschillen door constante coëfficiënten. De continue methode bevat een conversietabel, die te vinden is in wiskundige naslagwerken. Een gegeneraliseerd geval is een fractionele transformatie, waarmee het gegeven proces kan worden verhoogd tot de vereiste reële macht.
2. De continue modus is een veralgemening van de vroege techniek van Fourier-reeksen die is gedefinieerd voor verschillende periodieke functies of uitdrukkingen die in een beperkt gebied voorkomen en deze weergeven als reeksen sinusoïden.
3. Discrete Fourier-transformatie. Deze methode wordt in de computertechnologie gebruikt voor wetenschappelijke berekeningen en voor digitale signaalverwerking. Om dit type berekening uit te voeren, is het nodig om functies te hebben die individuele punten, periodieke of begrensde gebieden op een discrete verzameling definiëren in plaats van continue Fourier-integralen. De signa altransformatie wordt in dit geval weergegeven als de som van sinusoïden. Tegelijkertijd maakt het gebruik van de "snelle" methode het gebruik van discrete oplossingen voor praktische problemen mogelijk.
4. De windowed Fourier-transformatie is een algemene vorm van de klassieke methode. In tegenstelling tot de standaardoplossing, wanneer het signaalspectrum wordt gebruikt, dat in het volledige bereik van het bestaan van een bepaalde variabele wordt genomen, is hier alleen de lokale frequentieverdeling van bijzonder belang, op voorwaarde dat de oorspronkelijke variabele (tijd) behouden blijft.
5. Tweedimensionale Fourier-transformatie. Deze methode wordt gebruikt om met tweedimensionale gegevensarrays te werken. In dit geval wordt de transformatie eerst in één richting uitgevoerd en vervolgens inandere.
Conclusie
Tegenwoordig is de Fourier-methode stevig verankerd in verschillende wetenschapsgebieden. In 1962 werd bijvoorbeeld de vorm van de dubbele DNA-helix ontdekt met behulp van Fourier-analyse in combinatie met röntgendiffractie. Deze laatste waren gefocust op kristallen van DNA-vezels, waardoor het beeld dat werd verkregen door diffractie van straling op film werd vastgelegd. Deze afbeelding gaf informatie over de waarde van de amplitude bij gebruik van de Fourier-transformatie naar een bepaalde kristalstructuur. Fasegegevens werden verkregen door de DNA-diffractiekaart te vergelijken met kaarten die waren verkregen uit de analyse van vergelijkbare chemische structuren. Als resultaat hebben biologen de kristalstructuur hersteld - de oorspronkelijke functie.
Fourier-transformaties spelen een grote rol in de studie van de ruimte, halfgeleider- en plasmafysica, microgolfakoestiek, oceanografie, radar, seismologie en medisch onderzoek.
