Wat is dit - een kegel? Definitie, eigenschappen, formules en een voorbeeld van het oplossen van het probleem

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Een kegel is een van de ruimtelijke figuren van rotatie, waarvan de kenmerken en eigenschappen worden bestudeerd door stereometrie. In dit artikel zullen we deze figuur definiëren en de basisformules beschouwen die de lineaire parameters van een kegel verbinden met zijn oppervlakte en volume.

Wat is een kegel?

Vanuit het oogpunt van geometrie hebben we het over een ruimtelijke figuur, die wordt gevormd door een reeks rechte segmenten die een bepaald punt in de ruimte verbinden met alle punten van een vloeiende platte curve. Deze kromme kan een cirkel of een ellips zijn. De onderstaande afbeelding toont een kegel.

De gepresenteerde figuur heeft geen volume, omdat de wanden van het oppervlak een oneindig kleine dikte hebben. Als het echter is gevuld met een substantie en van bovenaf niet wordt begrensd door een curve, maar door een platte figuur, bijvoorbeeld een cirkel, dan krijgen we een solide volumetrisch lichaam, dat ook wel een kegel wordt genoemd.

De vorm van een kegel is vaak te vinden in het leven. Het heeft dus een ijshoorntje of gestreepte zwart-oranje verkeerskegels die op de rijbaan worden geplaatst om de aandacht van verkeersdeelnemers te trekken.

Elementen van een kegel en zijn typen

Omdat de kegel geen veelvlak is, is het aantal elementen dat hem vormt niet zo groot als bij veelvlakken. In de meetkunde bestaat een algemene kegel uit de volgende elementen:

• base, waarvan de begrenzingscurve de richtlijn of generatrix wordt genoemd;
• van het zijoppervlak, dat de verzameling is van alle punten van rechte lijnsegmenten (generatrices) die het hoekpunt en de punten van de gidscurve verbinden;
• vertex, het snijpunt van de beschrijvende lijnen.

Merk op dat het hoekpunt niet in het vlak van de basis mag liggen, omdat in dit geval de kegel degenereert tot een platte figuur.

Als we een loodrecht segment van de bovenkant naar de basis tekenen, krijgen we de hoogte van de figuur. Als de laatste basis elkaar snijdt in het geometrische middelpunt, dan is het een rechte kegel. Als de loodlijn niet samenv alt met het geometrische middelpunt van de basis, dan zal de figuur hellen.

Rechte en schuine kegels worden getoond in de afbeelding. Hier worden de hoogte en straal van de basis van de kegel respectievelijk aangeduid met h en r. De lijn die de bovenkant van de figuur verbindt met het geometrische middelpunt van de basis is de as van de kegel. Uit de figuur blijkt dat voor een rechte figuur de hoogte op deze as ligt, en voor een hellende figuur vormt de hoogte een hoek met de as. De as van de kegel wordt aangegeven met de letter a.

Rechte kegel met ronde basis

Misschien is deze kegel de meest voorkomende van de beschouwde klasse van figuren. Het bestaat uit een cirkel en een zijdeoppervlakken. Het is niet moeilijk om het te verkrijgen met geometrische methoden. Neem hiervoor een rechthoekige driehoek en draai deze rond een as die samenv alt met een van de benen. Het is duidelijk dat dit been de hoogte van de figuur zal worden, en de lengte van het tweede been van de driehoek vormt de straal van de basis van de kegel. Het onderstaande diagram toont het beschreven schema voor het verkrijgen van het betreffende rotatiegetal.

De afgebeelde driehoek kan rond een ander been worden gedraaid, wat resulteert in een kegel met een grotere basisradius en een lagere hoogte dan de eerste.

Om alle parameters van een ronde rechte kegel ondubbelzinnig te bepalen, moet men twee van zijn lineaire kenmerken kennen. Onder hen worden de straal r, de hoogte h of de lengte van de beschrijvende g onderscheiden. Al deze grootheden zijn de lengtes van de zijden van de beschouwde rechthoekige driehoek, daarom is de stelling van Pythagoras geldig voor hun verbinding:

g²=r²+ h^2.

Oppervlakte

Bij het bestuderen van het oppervlak van een driedimensionale figuur, is het handig om de ontwikkeling ervan in een vlak te gebruiken. De kegel is geen uitzondering. Voor een ronde kegel is de ontwikkeling hieronder weergegeven.

We zien dat het ontvouwen van de figuur uit twee delen bestaat:

1. De cirkel die de basis van de kegel vormt.
2. De sector van de cirkel, die het conische oppervlak van de figuur is.

De oppervlakte van een cirkel is gemakkelijk te vinden en de bijbehorende formule is bij elke leerling bekend. Over de circulaire sector gesproken, we merken op dat hetmaakt deel uit van een cirkel met straal g (de lengte van de beschrijvende lijn van de kegel). De lengte van de boog van deze sector is gelijk aan de omtrek van de basis. Deze parameters maken het mogelijk om het gebied ondubbelzinnig te bepalen. De bijbehorende formule is:

S=pir2+ pirg.

De eerste en tweede termen in de uitdrukking zijn respectievelijk de kegel van de basis en het zijoppervlak van het gebied.

Als de lengte van de generator g onbekend is, maar de hoogte h van de figuur is gegeven, dan kan de formule worden herschreven als:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Het volume van de figuur

Als we een rechte piramide nemen en het aantal zijden van zijn basis op oneindig vergroten, dan zal de vorm van de basis neigen naar een cirkel en zal het zijoppervlak van de piramide het conische oppervlak naderen. Deze overwegingen stellen ons in staat om de formule voor het volume van een piramide te gebruiken bij het berekenen van een vergelijkbare waarde voor een kegel. Het volume van een kegel kan worden gevonden met behulp van de formule:

V=1/3hS_o.

Deze formule is altijd waar, ongeacht wat de basis van de kegel is, met oppervlakte S_{o. Bovendien geldt de formule ook voor de schuine kegel.}

Omdat we de eigenschappen van een rechte figuur met een ronde basis bestuderen, kunnen we de volgende uitdrukking gebruiken om het volume te bepalen:

V=1/3hpir2.

De formule ligt voor de hand.

Het probleem van het vinden van de oppervlakte en het volume

Laat een kegel worden gegeven, waarvan de straal 10 cm is, en de lengte van de beschrijvende lijn 20 iszie Noodzaak om volume en oppervlakte voor deze vorm te bepalen.

Om de oppervlakte S te berekenen, kun je meteen de bovenstaande formule gebruiken. We hebben:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Om het volume te bepalen, moet je de hoogte h van de figuur weten. We berekenen het met behulp van de relatie tussen de lineaire parameters van de kegel. We krijgen:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) 17, 32 cm.}

Nu kun je de formule gebruiken voor V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Merk op dat het volume van een ronde kegel een derde is van de cilinder waarin deze is ingeschreven.