De rotatie van lichamen is een van de belangrijke soorten mechanische bewegingen in technologie en natuur. In tegenstelling tot lineaire beweging, wordt het beschreven door zijn eigen reeks kinematische kenmerken. Een daarvan is hoekversnelling. We karakteriseren deze waarde in het artikel.
Rotatiebeweging
Laten we, voordat we het hebben over hoekversnelling, beschrijven op welk type beweging het van toepassing is. We hebben het over rotatie, dat is de beweging van lichamen langs cirkelvormige paden. Om rotatie te laten plaatsvinden, moet aan bepaalde voorwaarden worden voldaan:
- aanwezigheid van een as of draaipunt;
- de aanwezigheid van een middelpuntzoekende kracht die het lichaam in een cirkelvormige baan zou houden.
Voorbeelden van dit type beweging zijn verschillende attracties, zoals een draaimolen. In de techniek manifesteert rotatie zich in de beweging van wielen en assen. In de natuur is het meest opvallende voorbeeld van dit type beweging de rotatie van de planeten om hun eigen as en rond de zon. De rol van de middelpuntzoekende kracht in deze voorbeelden wordt gespeeld door de krachten van interatomaire interactie in vaste stoffen en de zwaartekrachtinteractie.
Kinematische kenmerken van rotatie
Deze kenmerken omvatten drie grootheden: hoekversnelling, hoeksnelheid en rotatiehoek. We zullen ze respectievelijk aanduiden met de Griekse symbolen α, ω en θ.
Omdat het lichaam in een cirkel beweegt, is het handig om de hoek θ te berekenen, die het in een bepaalde tijd zal draaien. Deze hoek wordt uitgedrukt in radialen (zelden in graden). Aangezien de cirkel 2 × pi radialen heeft, kunnen we een vergelijking schrijven die betrekking heeft op θ en de booglengte L van de winding:
L=θ × r
Waarbij r de rotatiestraal is. Deze formule is gemakkelijk te verkrijgen als u de corresponderende uitdrukking voor de omtrek onthoudt.
Hoeksnelheid ω beschrijft, net als zijn lineaire tegenhanger, de rotatiesnelheid rond de as, dat wil zeggen, het wordt bepaald volgens de volgende uitdrukking:
ω¯=d / d t
De hoeveelheid ω¯ is een vectorwaarde. Het is gericht langs de rotatie-as. De eenheid is radialen per seconde (rad/s).
Ten slotte is hoekversnelling een fysiek kenmerk dat de mate van verandering in de waarde van ω¯ bepa alt, die wiskundig als volgt wordt geschreven:
α¯=d ω¯/ d t
Vector α¯ is gericht op het veranderen van de snelheidsvector ω¯. Verder zal gezegd worden dat de hoekversnelling is gericht op de vector van het krachtmoment. Deze waarde wordt gemeten in radialen.vierkante seconde (rad/s2).
Moment van kracht en versnelling
Als we ons de wet van Newton herinneren, die kracht en lineaire versnelling verbindt in een enkele gelijkheid, dan kunnen we, door deze wet over te brengen naar het geval van rotatie, de volgende uitdrukking schrijven:
M¯=I × α¯
Hier is M¯ het moment van kracht, dat het product is van de kracht die de neiging heeft om het systeem te laten draaien maal de hefboom - de afstand van het punt waarop de kracht wordt uitgeoefend tot de as. De waarde I is analoog aan de massa van het lichaam en wordt het traagheidsmoment genoemd. De geschreven formule wordt de momentenvergelijking genoemd. Hieruit kan de hoekversnelling als volgt worden berekend:
α¯=M¯/ I
Aangezien I een scalair is, is α¯ altijd gericht op het werkende krachtmoment M¯. De richting van M¯ wordt bepaald door de rechterhandregel of de gimletregel. De vectoren M¯ en α¯ staan loodrecht op het rotatievlak. Hoe groter het traagheidsmoment van het lichaam, hoe lager de waarde van de hoekversnelling die het vaste moment M¯ aan het systeem kan geven.
Kinematische vergelijkingen
Om de belangrijke rol te begrijpen die hoekversnelling speelt bij het beschrijven van de rotatiebeweging, laten we de formules opschrijven die de hierboven bestudeerde kinematische grootheden verbinden.
In het geval van een eenparig versnelde rotatie zijn de volgende wiskundige relaties geldig:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
De eerste formule laat zien dat de hoekde snelheid zal in de tijd toenemen volgens een lineaire wet. Met de tweede uitdrukking kunt u de hoek berekenen waarmee het lichaam in een bekende tijd t zal draaien. De grafiek van de functie θ(t) is een parabool. In beide gevallen is de hoekversnelling een constante.
Als we de relatieformule tussen L en θ aan het begin van het artikel gebruiken, kunnen we een uitdrukking voor α krijgen in termen van lineaire versnelling a:
α=a / r
Als α constant is, dan zal naarmate de afstand vanaf de rotatie-as r toeneemt, de lineaire versnelling a proportioneel toenemen. Dat is de reden waarom hoekkarakteristieken worden gebruikt voor rotatie, in tegenstelling tot lineaire, ze veranderen niet met toenemende of afnemende r.
Voorbeeld probleem
De metalen as, die met een frequentie van 2000 omwentelingen per seconde ronddraaide, begon te vertragen en stopte volledig na 1 minuut. Het is noodzakelijk om te berekenen met welke hoekversnelling het proces van vertraging van de as plaatsvond. U moet ook het aantal omwentelingen berekenen dat de as maakte voordat hij stopte.
Het proces van rotatievertraging wordt beschreven door de volgende uitdrukking:
ω=ω0- α × t
De initiële hoeksnelheid ω0wordt als volgt bepaald uit de rotatiefrequentie f:
ω0=2 × pi × f
Omdat we de vertragingstijd kennen, krijgen we de versnellingswaarde α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Dit nummer moet worden genomen met een minteken,omdat we het hebben over het vertragen van het systeem, niet over het versnellen ervan.
Om het aantal omwentelingen dat de as zal maken tijdens het remmen te bepalen, past u de uitdrukking toe:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376.806 rad.
De verkregen waarde van de rotatiehoek θ in radialen wordt eenvoudig omgezet in het aantal omwentelingen gemaakt door de as voordat deze volledig tot stilstand komt met een eenvoudige deling door 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60.001 beurten.
Zo hebben we alle antwoorden op de vragen van het probleem: α=-209, 33 rad/s2, n=60.001 omwentelingen.
