Natuurkunde en wiskunde kunnen niet zonder het concept van "vectorhoeveelheid". Het moet bekend en erkend zijn, en ermee kunnen werken. Je moet dit zeker leren om niet in de war te raken en geen domme fouten te maken.
Hoe herken je een scalaire waarde van een vectorgrootheid?
De eerste heeft altijd maar één kenmerk. Dit is de numerieke waarde. De meeste scalairen kunnen zowel positieve als negatieve waarden aannemen. Voorbeelden zijn elektrische lading, arbeid of temperatuur. Maar er zijn scalaire waarden die niet negatief kunnen zijn, zoals lengte en massa.
Een vectorgrootheid wordt, naast een numerieke grootheid, die altijd modulo wordt genomen, ook gekenmerkt door een richting. Daarom kan het grafisch worden weergegeven, dat wil zeggen in de vorm van een pijl, waarvan de lengte gelijk is aan de modulus van de waarde die in een bepaalde richting is gericht.
Bij het schrijven wordt elke vectorhoeveelheid aangegeven door een pijlteken op de letter. Als we het hebben over een numerieke waarde, dan wordt de pijl niet geschreven of wordt deze modulo genomen.
Wat zijn de meest uitgevoerde acties met vectoren?
Eerst een vergelijking. Ze kunnen al dan niet gelijk zijn. In het eerste geval zijn hun modules hetzelfde. Maar dit is niet de enige voorwaarde. Ze moeten ook dezelfde of tegengestelde richtingen hebben. In het eerste geval moeten ze gelijke vectoren worden genoemd. In de tweede zijn ze tegengesteld. Als aan ten minste één van de opgegeven voorwaarden niet wordt voldaan, zijn de vectoren niet gelijk.
Dan komt de toevoeging. Het kan volgens twee regels: een driehoek of een parallellogram. De eerste schrijft voor om eerst één vector uit te stellen en vervolgens vanaf het einde de tweede. Het resultaat van de toevoeging is degene die moet worden getekend van het begin van de eerste tot het einde van de tweede.
De parallellogramregel kan worden gebruikt als je vectorgrootheden in de natuurkunde moet optellen. In tegenstelling tot de eerste regel, moeten ze hier vanaf één punt worden uitgesteld. Bouw ze vervolgens op tot een parallellogram. Het resultaat van de actie moet worden beschouwd als de diagonaal van het parallellogram dat vanuit hetzelfde punt is getekend.
Als een vectorgrootheid van een andere wordt afgetrokken, worden ze opnieuw vanaf één punt uitgezet. Alleen het resultaat is een vector die overeenkomt met die van het einde van de tweede tot het einde van de eerste.
Welke vectoren worden in de natuurkunde bestudeerd?
Er zijn er net zoveel als er scalairen zijn. Je kunt eenvoudig onthouden welke vectorgrootheden er in de natuurkunde bestaan. Of ken de tekens waarmee ze kunnen worden berekend. Voor degenen die de voorkeur geven aan de eerste optie, is zo'n tafel handig. Het bevat de belangrijkste vector fysieke grootheden.
| Aanduiding in de formule | Naam |
| v | snelheid |
| r | verplaatsen |
| a | versnelling |
| F | kracht |
| r | impuls |
| E | elektrische veldsterkte |
| B | magnetische inductie |
| M | krachtmoment |
Nu iets meer over enkele van deze hoeveelheden.
De eerste waarde is snelheid
Het is de moeite waard om voorbeelden te geven van vectorgrootheden ervan. Dit komt door het feit dat het als een van de eersten wordt bestudeerd.
Snelheid wordt gedefinieerd als een kenmerk van de beweging van een lichaam in de ruimte. Het specificeert een numerieke waarde en een richting. Daarom is snelheid een vectorgrootheid. Bovendien is het gebruikelijk om het in typen te verdelen. De eerste is lineaire snelheid. Het wordt geïntroduceerd bij het overwegen van rechtlijnige uniforme beweging. Tegelijkertijd blijkt het gelijk te zijn aan de verhouding van de door het lichaam afgelegde weg tot de bewegingstijd.
Dezelfde formule kan worden gebruikt voor ongelijkmatige bewegingen. Alleen dan wordt het gemiddeld. Bovendien moet het te kiezen tijdsinterval noodzakelijkerwijs zo kort mogelijk zijn. Wanneer het tijdsinterval naar nul neigt, is de snelheidswaarde al onmiddellijk.
Als een willekeurige beweging wordt overwogen, dan is de snelheid hier altijd een vectorgrootheid. Het moet tenslotte worden ontleed in componenten die zijn gericht langs elke vector die de coördinaatlijnen leidt. Bovendien wordt het gedefinieerd als de afgeleide van de straalvector, genomen met betrekking tot de tijd.
De tweede waarde is sterkte
Het bepa alt de mate van de intensiteit van de impact die door andere lichamen of velden op het lichaam wordt uitgeoefend. Omdat kracht een vectorgrootheid is, heeft deze noodzakelijkerwijs zijn eigen modulowaarde en richting. Omdat het op het lichaam inwerkt, is het punt waarop de kracht wordt uitgeoefend ook belangrijk. Om een visueel idee te krijgen van de krachtvectoren, kunt u de volgende tabel raadplegen.
| Kracht | Toepassingspunt | Richting |
| zwaartekracht | lichaamscentrum | naar het middelpunt van de aarde |
| zwaartekracht | lichaamscentrum | naar het midden van een ander lichaam |
| elasticiteit | contactpunt tussen samenwerkende lichamen | tegen invloeden van buitenaf |
| wrijving | tussen aanrakende oppervlakken | in de tegenovergestelde richting van de beweging |
De resulterende kracht is ook een vectorgrootheid. Het wordt gedefinieerd als de som van alle mechanische krachten die op het lichaam inwerken. Om het te bepalen, is het noodzakelijk om de optelling uit te voeren volgens het principe van de driehoeksregel. Alleen u hoeft de vectoren om de beurt uit te stellen vanaf het einde van de vorige. Het resultaat is degene die het begin van de eerste verbindt met het einde van de laatste.
Derde waarde - verplaatsing
Tijdens de beweging beschrijft het lichaam een bepaalde lijn. Dat heet een traject. Deze lijn kan totaal anders zijn. Belangrijker is niet het uiterlijk, maar de punten van begin en einde van de beweging. Ze verbindensegment, dat verplaatsing wordt genoemd. Dit is ook een vectorgrootheid. Bovendien is het altijd gericht vanaf het begin van de beweging tot het punt waar de beweging werd gestopt. Het is gebruikelijk om het aan te duiden met de Latijnse letter r.
Hier kan de vraag verschijnen: "Is het pad een vectorgrootheid?". In het algemeen is deze stelling niet waar. Het pad is gelijk aan de lengte van het traject en heeft geen vaste richting. Een uitzondering is de situatie waarin wordt gedacht aan rechtlijnige beweging in één richting. Dan v alt de modulus van de verplaatsingsvector in waarde samen met het pad, en hun richting blijkt hetzelfde te zijn. Daarom kan, wanneer beweging langs een rechte lijn wordt overwogen zonder de bewegingsrichting te veranderen, het pad worden opgenomen in de voorbeelden van vectorgrootheden.
De vierde waarde is versnelling
Het is een kenmerk van de snelheid waarmee de snelheid verandert. Bovendien kan versnelling zowel positieve als negatieve waarden hebben. In rechtlijnige beweging is het gericht in de richting van hogere snelheid. Als de beweging plaatsvindt langs een kromlijnig traject, wordt de versnellingsvector ervan ontleed in twee componenten, waarvan er één is gericht naar het centrum van de kromming langs de straal.
Scheid de gemiddelde en momentane waarde van versnelling. De eerste moet worden berekend als de verhouding van de verandering in snelheid over een bepaalde tijdsperiode tot deze tijd. Wanneer het beschouwde tijdsinterval naar nul neigt, spreekt men van ogenblikkelijke versnelling.
De vijfde magnitude is momentum
Het is andersook wel momentum genoemd. Momentum is een vectorgrootheid vanwege het feit dat het direct gerelateerd is aan de snelheid en kracht die op het lichaam wordt uitgeoefend. Beiden hebben een richting en geven die aan het momentum.
De laatste is per definitie gelijk aan het product van lichaamsmassa en snelheid. Met behulp van het concept van het momentum van een lichaam kan men de bekende wet van Newton op een andere manier schrijven. Het blijkt dat de verandering in momentum gelijk is aan het product van kracht en tijd.
In de natuurkunde speelt de wet van behoud van momentum een belangrijke rol, die stelt dat in een gesloten systeem van lichamen het totale momentum constant is.
We hebben heel kort opgesomd welke grootheden (vectoren) in de natuurkunde worden bestudeerd.
Ielastisch impactprobleem
Conditie. Er is een vast platform op de rails. Er nadert een auto met een snelheid van 4 m/s. De massa's van het platform en de wagen zijn respectievelijk 10 en 40 ton. De auto raakt het platform, een automatische koppeling treedt op. Het is noodzakelijk om de snelheid van het wagenplatformsysteem na de impact te berekenen.
Beslissing. Eerst moet u de notatie invoeren: de snelheid van de auto vóór de botsing - v1, de auto met het platform na het koppelen - v, het gewicht van de auto m 1, het platform - m 2. Afhankelijk van de toestand van het probleem, is het noodzakelijk om de waarde van de snelheid v. te achterhalen
De regels voor het oplossen van dergelijke taken vereisen een schematische weergave van het systeem voor en na de interactie. Het is redelijk om de OX-as langs de rails te richten in de richting waarin de auto rijdt.
Onder deze omstandigheden kan het systeem van wagons als gesloten worden beschouwd. Dit wordt bepaald door het feit dat externekrachten kunnen worden verwaarloosd. De zwaartekracht en de reactie van de steun zijn in evenwicht en er wordt geen rekening gehouden met de wrijving op de rails.
Volgens de wet van behoud van momentum is hun vectorsom vóór de interactie van de auto en het platform gelijk aan het totaal voor de koppeling na de botsing. In het begin bewoog het platform niet, dus het momentum was nul. Alleen de auto bewoog, het momentum is het product van m1 en v1.
Omdat de impact niet elastisch was, dat wil zeggen, de wagen worstelde met het platform, en toen begon het samen in dezelfde richting te rollen, veranderde het momentum van het systeem niet van richting. Maar de betekenis ervan is veranderd. Namelijk het product van de som van de massa van de wagen met het platform en de vereiste snelheid.
Je kunt deze gelijkheid schrijven: m1v1=(m1 + m2)v. Dit geldt voor de projectie van impulsvectoren op de geselecteerde as. Hieruit is het gemakkelijk om de gelijkheid af te leiden die nodig is om de vereiste snelheid te berekenen: v=m1v1 / (m 1 + m2).
Volgens de regels moet je waarden voor massa omrekenen van ton naar kilogram. Daarom moet u, wanneer u ze in de formule vervangt, eerst de bekende waarden met duizend vermenigvuldigen. Eenvoudige berekeningen geven het getal 0,75 m/s.
Antwoord. De snelheid van de wagen met het platform is 0,75 m/s.
Probleem met het verdelen van het lichaam in delen
Conditie. De snelheid van een vliegende granaat is 20 m/s. Het breekt in twee stukken. De massa van de eerste is 1,8 kg. Het blijft bewegen in de richting waarin de granaat vloog met een snelheid van 50 m/s. Het tweede fragment heeft een massa van 1,2 kg. Wat is zijn snelheid?
Beslissing. Laat de fragmentmassa's worden aangegeven met de letters m1 en m2. Hun snelheden zijn respectievelijk v1 en v2. De beginsnelheid van de granaat is v. In de opgave moet je de waarde v2. berekenen
Om ervoor te zorgen dat het grotere fragment in dezelfde richting blijft bewegen als de hele granaat, moet het tweede in de tegenovergestelde richting vliegen. Als we de richting van de as kiezen als die van de initiële impuls, dan vliegt na de pauze een groot fragment langs de as en een klein fragment vliegt tegen de as.
In dit probleem is het toegestaan om de wet van behoud van momentum te gebruiken vanwege het feit dat de explosie van een granaat onmiddellijk plaatsvindt. Daarom heeft de zwaartekracht, ondanks het feit dat de zwaartekracht op de granaat en zijn onderdelen inwerkt, geen tijd om in te grijpen en de richting van de impulsvector met zijn modulo-waarde te veranderen.
De som van de vectorwaarden van het momentum na de granaatuitbarsting is gelijk aan die ervoor. Als we de wet van behoud van impuls van het lichaam in projectie op de OX-as schrijven, dan ziet het er als volgt uit: (m1 + m2)v=m 1v1 - m2v 2. Het is gemakkelijk om daaruit de gewenste snelheid uit te drukken. Het wordt bepaald door de formule: v2=((m1 + m2)v - m 1v1) / m2. Na vervanging van numerieke waarden en berekeningen wordt 25 m/s verkregen.
Antwoord. De snelheid van een klein fragment is 25 m/s.
Probleem met fotograferen vanuit een hoek
Conditie. Een gereedschap is gemonteerd op een platform met massa M. Hieruit wordt een projectiel met massa m afgevuurd. Het vliegt uit onder een hoek α naarhorizon met een snelheid v (gegeven ten opzichte van de grond). Het is nodig om de waarde van de snelheid van het platform na het schot te achterhalen.
Beslissing. In dit probleem kun je de wet van behoud van momentum gebruiken bij projectie op de OX-as. Maar alleen in het geval dat de projectie van de externe resulterende krachten gelijk is aan nul.
Voor de richting van de OX-as moet je de kant kiezen waar het projectiel zal vliegen, en evenwijdig aan de horizontale lijn. In dit geval zijn de projecties van de zwaartekracht en de reactie van de drager op OX gelijk aan nul.
Het probleem zal in het algemeen worden opgelost, aangezien er geen specifieke gegevens zijn voor bekende hoeveelheden. Het antwoord is de formule.
Het momentum van het systeem vóór het schot was gelijk aan nul, aangezien het platform en het projectiel stilstonden. Laat de gewenste snelheid van het platform worden aangegeven met de Latijnse letter u. Vervolgens wordt het momentum na het schot bepaald als het product van de massa en de projectie van de snelheid. Aangezien het platform terugrolt (tegen de richting van de OX-as), zal de momentumwaarde min zijn.
Het momentum van een projectiel is het product van zijn massa en de projectie van zijn snelheid op de OX-as. Omdat de snelheid onder een hoek met de horizon is gericht, is de projectie gelijk aan de snelheid vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek. In letterlijke gelijkheid ziet het er als volgt uit: 0=- Mu + mvcos α. Hieruit wordt door eenvoudige transformaties de antwoordformule verkregen: u=(mvcos α) / M.
Antwoord. Platformsnelheid wordt bepaald door de formule u=(mvcos α) / M.
River Crossing-probleem
Conditie. De breedte van de rivier over de gehele lengte is gelijk aan en gelijk aan l, haar oeverszijn parallel. We kennen de snelheid van de waterstroom in de rivier v1 en de eigen snelheid van de boot v2. een). Bij het oversteken is de boeg van de boot strikt naar de andere oever gericht. Hoe ver s zal het stroomafwaarts worden gedragen? 2). Onder welke hoek α moet de boeg van de boot worden gericht zodat deze de overliggende oever strikt loodrecht op het vertrekpunt bereikt? Hoeveel tijd zou het kosten om zo'n oversteek te maken?
Beslissing. een). De volle snelheid van de boot is de vectorsom van de twee grootheden. De eerste hiervan is de loop van de rivier, die langs de oevers is gericht. De tweede is de eigen snelheid van de boot, loodrecht op de oevers. De tekening toont twee gelijkaardige driehoeken. De eerste wordt gevormd door de breedte van de rivier en de afstand die de boot aflegt. De tweede - met snelheidsvectoren.
De volgende invoer volgt daaruit: s / l=v1 / v2. Na de transformatie wordt de formule voor de gewenste waarde verkregen: s=l(v1 / v2).
2). In deze versie van het probleem staat de totale snelheidsvector loodrecht op de banken. Het is gelijk aan de vectorsom van v1 en v2. De sinus van de hoek waarover de eigen snelheidsvector moet afwijken is gelijk aan de verhouding van de modules v1 en v2. Om de reistijd te berekenen, moet u de breedte van de rivier delen door de berekende totale snelheid. De waarde van de laatste wordt berekend met behulp van de stelling van Pythagoras.
v=√(v22 – v1 2), dan t=l / (√(v22 – v1 2)).
Antwoord. een). s=l(v1 / v2), 2). zonde α=v1 /v2, t=l / (√(v22 – v 12)).
