Vaak moet men in de natuurkunde problemen oplossen voor het berekenen van evenwicht in complexe systemen met veel werkende krachten, hefbomen en rotatieassen. In dit geval is het het gemakkelijkst om het concept van het krachtmoment te gebruiken. Dit artikel biedt alle benodigde formules met gedetailleerde uitleg die moeten worden gebruikt om problemen van het genoemde type op te lossen.
Waar zullen we het over hebben?
Veel mensen hebben waarschijnlijk gemerkt dat als je enige kracht uitoefent op een object dat op een bepaald punt is vastgezet, het begint te draaien. Een sprekend voorbeeld is de deur naar het huis of naar de kamer. Als je het bij het handvat pakt en duwt (kracht uitoefenen), dan begint het te openen (draai op de scharnieren). Dit proces is een manifestatie in het dagelijks leven van de actie van een fysieke grootheid, die het moment van kracht wordt genoemd.
Uit het beschreven voorbeeld met de deur volgt dat de waarde in kwestie het vermogen van de kracht om te roteren aangeeft, wat de fysieke betekenis is. Ook deze waardewordt het moment van torsie genoemd.
Het krachtmoment bepalen
Laten we, voordat we de betreffende hoeveelheid definiëren, een eenvoudige foto maken.
De afbeelding toont dus een hendel (blauw), die op de as is bevestigd (groen). Deze hefboom heeft lengte d en op het uiteinde wordt een kracht F uitgeoefend Wat gebeurt er in dit geval met het systeem? Dat klopt, de hendel begint tegen de klok in te draaien als je hem van bovenaf bekijkt (merk op dat als je je verbeelding een beetje uitrekt en je voorstelt dat het zicht van onderaf op de hendel is gericht, deze met de klok mee zal draaien).
Laten we het aanhechtingspunt van de as O noemen, en het krachtpunt - P. Dan kunnen we de volgende wiskundige uitdrukking schrijven:
OP¯ F¯=M¯FO.
Waar OP¯ de vector is die van de as naar het einde van de hefboom is gericht, wordt deze ook wel de krachthefboom genoemd, F¯is de vector uitgeoefende kracht op punt P, en M¯FO is het krachtmoment rond punt O (as). Deze formule is de wiskundige definitie van de fysieke hoeveelheid in kwestie.
Richting van moment en rechterhandregel
De bovenstaande uitdrukking is een kruisproduct. Zoals je weet, is het resultaat ook een vector die loodrecht staat op het vlak dat door de overeenkomstige vermenigvuldigingsvectoren gaat. Aan deze voorwaarde wordt voldaan door twee richtingen van de waarde M¯FO (omlaag en omhoog).
Naar uniekom te bepalen, moet men de zogenaamde rechterhandregel gebruiken. Het kan op deze manier worden geformuleerd: als je vier vingers van je rechterhand in een halve boog buigt en deze halve boog richt zodat deze langs de eerste vector (de eerste factor in de formule) gaat en naar het einde van de tweede, dan zal de naar boven stekende duim de richting van het torsiemoment aangeven. Merk ook op dat voordat u deze regel gebruikt, u de vermenigvuldigde vectoren zo moet instellen dat ze uit hetzelfde punt komen (hun oorsprong moet overeenkomen).
In het geval van de figuur in de vorige paragraaf kunnen we zeggen, door de rechterhandregel toe te passen, dat het krachtmoment ten opzichte van de as naar boven gericht zal zijn, dat wil zeggen naar ons toe.
Naast de gemarkeerde methode om de richting van de vector M¯FO te bepalen, zijn er nog twee. Hier zijn ze:
- Het moment van torsie wordt zo gericht dat als je vanaf het einde van zijn vector naar de roterende hendel kijkt, deze tegen de klok in zal bewegen. Het is algemeen aanvaard om deze richting van het moment als positief te beschouwen bij het oplossen van verschillende soorten problemen.
- Als je de gimlet met de klok mee draait, wordt het koppel gericht op de beweging (verdieping) van de gimlet.
Alle bovenstaande definities zijn equivalent, dus iedereen kan degene kiezen die voor hem geschikt is.
Er werd dus gevonden dat de richting van het krachtmoment evenwijdig is aan de as waaromheen de corresponderende hefboom draait.
Hoekkracht
Beschouw de afbeelding hieronder.
Hier zien we ook een hefboom met lengte L vastgezet op een punt (aangegeven door een pijl). Er werkt een kracht F op, maar deze is onder een bepaalde hoek Φ (phi) met de horizontale hendel gericht. De richting van het moment M¯FO zal in dit geval hetzelfde zijn als in de vorige figuur (op ons). Om de absolute waarde of modulus van deze hoeveelheid te berekenen, moet u de cross-producteigenschap gebruiken. Volgens hem kun je voor het betreffende voorbeeld de uitdrukking schrijven: MFO=LFsin(180 o -Φ) of, met behulp van de sinuseigenschap, herschrijven we:
MFO=LFsin(Φ).
De figuur toont ook een voltooide rechthoekige driehoek, waarvan de zijden de hefboom zelf zijn (hypotenusa), de werklijn van de kracht (been) en de zijde met lengte d (het tweede been). Aangezien sin(Φ)=d/L, zal deze formule de vorm aannemen: MFO=dF. Men kan zien dat de afstand d de afstand is van het bevestigingspunt van de hefboom tot de werklijn van de kracht, dat wil zeggen, d is de hefboom van kracht.
Beide formules die in deze paragraaf worden besproken, die rechtstreeks volgen uit de definitie van het torsiemoment, zijn nuttig bij het oplossen van praktische problemen.
Koppeleenheden
Met behulp van de definitie kan worden vastgesteld dat de waarde MFO moet worden gemeten in Newton per meter (Nm). In de vorm van deze eenheden wordt het inderdaad gebruikt in SI.
Merk op dat Nm een werkeenheid is, die wordt uitgedrukt in joule, zoals energie. Desalniettemin worden joules niet gebruikt voor het begrip krachtmoment, omdat deze waarde precies de mogelijkheid weerspiegelt om dit laatste te implementeren. Wel is er een verband met de eenheid van arbeid: als door de kracht F de hefboom volledig om zijn draaipunt O wordt gedraaid, dan is de verrichte arbeid gelijk aan A=MF O 2pi (2pi is de hoek in radialen die overeenkomt met 360o). In dit geval kan de eenheid van koppel MFO worden uitgedrukt in joule per radiaal (J/rad.). Dit laatste wordt, samen met Hm, ook gebruikt in het SI-systeem.
De stelling van Varignon
Aan het einde van de 17e eeuw formuleerde de Franse wiskundige Pierre Varignon, die het evenwicht van systemen met hefbomen bestudeerde, eerst de stelling, die nu zijn achternaam draagt. Het is als volgt geformuleerd: het totale moment van meerdere krachten is gelijk aan het moment van de resulterende ene kracht, die wordt uitgeoefend op een bepaald punt ten opzichte van dezelfde rotatie-as. Wiskundig kan het als volgt worden geschreven:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Deze stelling is handig om te gebruiken om de torsiemomenten te berekenen in systemen met meerdere werkende krachten.
Vervolgens geven we een voorbeeld van het gebruik van de bovenstaande formules om problemen in de natuurkunde op te lossen.
Moersleutelprobleem
Een vanEen treffend voorbeeld om aan te tonen hoe belangrijk het is om rekening te houden met het krachtmoment, is het losdraaien van de moeren met een sleutel. Om de moer los te draaien, moet u wat koppel toepassen. Het is noodzakelijk om te berekenen hoeveel kracht op punt A moet worden uitgeoefend om te beginnen met het losdraaien van de moer, als deze kracht op punt B 300 N is (zie onderstaande afbeelding).
Uit bovenstaande figuur volgen twee belangrijke dingen: ten eerste is de afstand OB twee keer zo groot als die van OA; ten tweede zijn de krachten FA en FBloodrecht op de overeenkomstige hefboom gericht, waarbij de rotatie-as samenv alt met het middelpunt van de moer (punt O).
Het koppelmoment voor dit geval kan als volgt in scalaire vorm worden geschreven: M=OBFB=OAFA. Aangezien OB/OA=2, geldt deze gelijkheid alleen als FA 2 keer groter is dan FB. Uit de toestand van het probleem halen we dat FA=2300=600 N. Dat wil zeggen, hoe langer de sleutel, hoe gemakkelijker het is om de moer los te draaien.
Probleem met twee ballen van verschillende massa
De onderstaande figuur toont een systeem dat in evenwicht is. Het is noodzakelijk om de positie van het steunpunt te vinden als de lengte van het bord 3 meter is.
Omdat het systeem in evenwicht is, is de som van de momenten van alle krachten gelijk aan nul. Er werken drie krachten op het bord (de gewichten van de twee ballen en de reactiekracht van de steun). Aangezien de steunkracht geen koppelmoment creëert (de lengte van de hendel is nul), worden er slechts twee momenten gecreëerd door het gewicht van de kogels.
Laat het evenwichtspunt op een afstand x liggen vanrand met een bal van 100 kg. Dan kunnen we de gelijkheid schrijven: M1-M2=0. Aangezien het gewicht van het lichaam wordt bepaald door de formule mg, dan hebben we: m 1gx - m2g(3-x)=0. We verkleinen g en vervangen de gegevens, we krijgen: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m of 14,3 cm.
Dus, om het systeem in evenwicht te brengen, is het noodzakelijk om een referentiepunt vast te stellen op een afstand van 14,3 cm van de rand, waar een bal met een massa van 100 kg zal liggen.
