Sommige wiskundige problemen vereisen de mogelijkheid om de vierkantswortel te berekenen. Deze problemen omvatten het oplossen van vergelijkingen van de tweede orde. In dit artikel presenteren we een effectieve methode voor het berekenen van vierkantswortels en gebruiken deze bij het werken met formules voor de wortels van een kwadratische vergelijking.
Wat is een vierkantswortel?
In de wiskunde komt dit concept overeen met het symbool √. Historische gegevens zeggen dat het voor het eerst werd gebruikt rond de eerste helft van de 16e eeuw in Duitsland (het eerste Duitse werk over algebra door Christoph Rudolf). Wetenschappers geloven dat dit symbool een getransformeerde Latijnse letter r is (radix betekent "wortel" in het Latijn).
De wortel van een willekeurig getal is gelijk aan een dergelijke waarde, waarvan het kwadraat overeenkomt met de worteluitdrukking. In de taal van de wiskunde ziet deze definitie er als volgt uit: √x=y if y2=x.
De wortel van een positief getal (x > 0) is ookeen positief getal (y > 0), maar als de wortel wordt genomen uit een negatief getal (x < 0), dan is het resultaat al een complex getal, inclusief de denkbeeldige eenheid i.
Hier zijn twee eenvoudige voorbeelden:
√9=3 omdat 32 =9; √(-9)=3i omdat i2=-1.
Herons iteratieve formule voor het vinden van vierkantswortels
De bovenstaande voorbeelden zijn heel eenvoudig en het berekenen van de wortels erin is niet moeilijk. Er beginnen zich al moeilijkheden te voordoen bij het vinden van de wortelwaarden voor elke waarde die niet kan worden weergegeven als een kwadraat van een natuurlijk getal, bijvoorbeeld √10, √11, √12, √13, om nog maar te zwijgen van het feit dat het in de praktijk is nodig om wortels te vinden voor niet-gehele getallen: bijvoorbeeld √(12, 15), √(8, 5) enzovoort.
In alle bovenstaande gevallen moet een speciale methode voor het berekenen van de vierkantswortel worden gebruikt. Momenteel zijn er verschillende van dergelijke methoden bekend: bijvoorbeeld expansie in een Taylor-reeks, deling door een kolom en enkele andere. Van alle bekende methoden is misschien wel de eenvoudigste en meest effectieve het gebruik van Herons iteratieve formule, die ook bekend staat als de Babylonische methode voor het bepalen van vierkantswortels (er zijn aanwijzingen dat de oude Babyloniërs deze in hun praktische berekeningen gebruikten).
Laat het nodig zijn om de waarde van √x te bepalen. De formule voor het vinden van de vierkantswortel is als volgt:
an+1=1/2(a+x/a), waarbij limn->∞(a)=> x.
Ontcijfer deze wiskundige notatie. Om √x te berekenen, moet je een getal a0 nemen (het kan willekeurig zijn, maar voor een snel resultaat moet je het zo kiezen dat (a0) 2 was zo dicht mogelijk bij x, vervang het dan door de opgegeven vierkantswortelformule en krijg een nieuw getal a1, dat al dichter bij de gewenste waarde zijn. het is noodzakelijk om a1 in de uitdrukking te vervangen en a2 te krijgen Deze procedure moet worden herhaald totdat de vereiste nauwkeurigheid is verkregen.
Een voorbeeld van het toepassen van de iteratieve formule van Heron
Het hierboven beschreven algoritme voor het verkrijgen van de vierkantswortel van een bepaald getal klinkt voor velen misschien behoorlijk ingewikkeld en verwarrend, maar in werkelijkheid blijkt alles veel eenvoudiger te zijn, omdat deze formule heel snel convergeert (vooral als een geluksgetal is gekozen als 0).
Laten we een eenvoudig voorbeeld nemen: we moeten √11 berekenen. We kiezen a0=3, aangezien 32=9, wat dichter bij 11 ligt dan 42=16. Als we in de formule substitueren, krijgen we:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Het heeft geen zin om verder te rekenen, aangezien we hebben vastgesteld dat a2 en a3 pas beginnen te verschillen in de 5e decimaal plaats. Het was dus voldoende om slechts 2 keer de formule toe te passen op:bereken √11 tot binnen 0,0001.
Momenteel worden rekenmachines en computers veel gebruikt om wortels te berekenen, maar het is handig om de gemarkeerde formule te onthouden om de exacte waarde handmatig te kunnen berekenen.
Tweede orde vergelijkingen
Begrijpen wat een vierkantswortel is en de mogelijkheid om deze te berekenen, wordt gebruikt bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Deze vergelijkingen zijn gelijkheden met één onbekende, waarvan de algemene vorm wordt getoond in de onderstaande figuur.
Hier zijn c, b en a enkele getallen, en a mag niet gelijk zijn aan nul, en de waarden van c en b kunnen volledig willekeurig zijn, inclusief nul.
Alle waarden van x die voldoen aan de gelijkheid die in de afbeelding wordt aangegeven, worden de wortels genoemd (dit concept moet niet worden verward met de vierkantswortel √). Aangezien de vergelijking in kwestie de 2e orde heeft (x2), kunnen er niet meer dan twee getallen voor zijn wortels zijn. Laten we later in het artikel kijken hoe we deze wortels kunnen vinden.
De wortels van een kwadratische vergelijking (formule) vinden
Deze methode om het beschouwde type gelijkheden op te lossen wordt ook wel universeel genoemd, of de methode via de discriminant. Het kan worden toegepast op alle kwadratische vergelijkingen. De formule voor de discriminant en de wortels van de kwadratische vergelijking is als volgt:
Het laat zien dat de wortels afhangen van de waarde van elk van de drie coëfficiënten van de vergelijking. Bovendien is de berekeningx1 verschilt van de berekening x2 alleen door het teken voor de vierkantswortel. De radicale uitdrukking, die gelijk is aan b2 - 4ac, is niets meer dan de discriminant van de beschouwde gelijkheid. De discriminant in de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking speelt een belangrijke rol omdat deze het aantal en het type oplossingen bepa alt. Dus als het nul is, dan is er maar één oplossing, als het positief is, dan heeft de vergelijking twee echte wortels, tenslotte leidt de negatieve discriminant tot twee complexe wortels x1 en x 2.
De stelling van Vietnam of enkele eigenschappen van de wortels van vergelijkingen van de tweede orde
Aan het einde van de 16e eeuw kon een van de grondleggers van de moderne algebra, de Fransman Francois Viet, tweede-ordevergelijkingen bestuderen, de eigenschappen van zijn wortels verkrijgen. Wiskundig gezien kunnen ze als volgt worden geschreven:
x1 + x2=-b / a en x1 x 2=c / a.
Beide gelijkheden kunnen gemakkelijk door iedereen worden verkregen, hiervoor is het alleen nodig om de juiste wiskundige bewerkingen uit te voeren met de wortels die zijn verkregen via de formule met de discriminant.
De combinatie van deze twee uitdrukkingen kan met recht de tweede formule van de wortels van een kwadratische vergelijking worden genoemd, die het mogelijk maakt om de oplossingen te raden zonder de discriminant te gebruiken. Hierbij moet worden opgemerkt dat hoewel beide uitdrukkingen altijd geldig zijn, het handig is om ze alleen te gebruiken om een vergelijking op te lossen als deze kan worden ontbonden.
De taak om de opgedane kennis te consolideren
Laten we een wiskundig probleem oplossen waarin we alle technieken die in het artikel worden besproken zullen demonstreren. De voorwaarden van het probleem zijn als volgt: je moet twee getallen vinden waarvoor het product -13 is, en de som is 4.
Deze voorwaarde doet onmiddellijk denken aan de stelling van Vieta, door de formules voor de som van vierkantswortels en hun product toe te passen, schrijven we:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Ervan uitgaande dat a=1, dan is b=-4 en c=-13. Met deze coëfficiënten kunnen we een vergelijking van de tweede orde schrijven:
x2 - 4x - 13=0.
Gebruik de formule met de discriminant, we krijgen de volgende wortels:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Dat wil zeggen, de taak werd teruggebracht tot het vinden van het getal √68. Merk op dat 68=417, dan krijgen we met behulp van de vierkantsworteleigenschap: √68=2√17.
Laten we nu de beschouwde vierkantswortelformule gebruiken: a0=4, dan:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Het is niet nodig om a3 te berekenen, omdat de gevonden waarden slechts 0,02 verschillen. Dus √68=8,246. Vervangen door de formule voor x 1, 2, we krijgen:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 en x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Zoals je kunt zien, is de som van de gevonden getallen inderdaad 4, maar als je hun product vindt, is het gelijk aan -12,999, die voldoet aan de toestand van het probleem met een nauwkeurigheid van 0,001.
