Berekening van volumes van ruimtelijke figuren is een van de belangrijke taken van stereometrie. In dit artikel zullen we de kwestie van het bepalen van het volume van zo'n veelvlak als een piramide bespreken, en ook de formule geven voor het volume van een regelmatige zeshoekige piramide.
zeshoekige piramide
Laten we eerst eens kijken naar wat het cijfer is, dat in het artikel zal worden besproken.
Laten we een willekeurige zeshoek nemen waarvan de zijden niet noodzakelijk gelijk aan elkaar zijn. Stel ook dat we een punt in de ruimte hebben gekozen dat niet in het vlak van de zeshoek ligt. Door alle hoeken van de laatste met het geselecteerde punt te verbinden, krijgen we een piramide. In de onderstaande afbeelding worden twee verschillende piramides met een zeshoekige basis getoond.
Het is te zien dat de figuur naast de zeshoek ook uit zes driehoeken bestaat, waarvan het verbindingspunt het hoekpunt wordt genoemd. Het verschil tussen de afgebeelde piramides is dat de hoogte h van de rechterkant niet de zeshoekige basis in het geometrische midden snijdt, en de hoogte van de linkerfiguur v altprecies in dat centrum. Dankzij dit criterium werd de linker piramide recht genoemd en de rechter schuin.
Omdat de basis van de linker figuur in de figuur wordt gevormd door een zeshoek met gelijke zijden en hoeken, wordt dit correct genoemd. Verderop in het artikel zullen we het alleen over deze piramide hebben.
Volume van de zeshoekige piramide
Om het volume van een willekeurige piramide te berekenen, is de volgende formule geldig:
V=1/3hSo
Hier is h de lengte van de hoogte van de figuur, So is het gebied van de basis. Laten we deze uitdrukking gebruiken om het volume van een regelmatige zeshoekige piramide te bepalen.
Omdat de figuur in kwestie is gebaseerd op een gelijkzijdige zeshoek, kun je de oppervlakte ervan berekenen door de volgende algemene uitdrukking voor een n-gon te gebruiken:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Hier is n een geheel getal gelijk aan het aantal zijden (hoeken) van de veelhoek, a is de lengte van zijn zijde, de cotangensfunctie wordt berekend met behulp van de juiste tabellen.
Toepassen van de uitdrukking voor n=6, krijgen we:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Nu rest ons om deze uitdrukking te vervangen door de algemene formule voor het volume V:
V6=S6h=√3/2ha2
Dus, om het volume van de betreffende piramide te berekenen, is het noodzakelijk om de twee lineaire parameters te kennen: de lengte van de zijkant van de basis en de hoogte van de figuur.
Voorbeeld van probleemoplossing
Laten we laten zien hoe de verkregen uitdrukking voor V6 kan worden gebruikt om het volgende probleem op te lossen.
Het is bekend dat het volume van een regelmatige zeshoekige piramide 100 cm is3. Het is noodzakelijk om de zijde van de basis en de hoogte van de figuur te bepalen, als bekend is dat ze aan elkaar gerelateerd zijn door de volgende gelijkheid:
a=2h
Omdat alleen a en h zijn opgenomen in de formule voor volume, kan elk van deze parameters erin worden vervangen, uitgedrukt in termen van de andere. Vervang bijvoorbeeld a, we krijgen:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Om de waarde van de hoogte van een figuur te vinden, moet je de wortel van de derde graad nemen van het volume, wat overeenkomt met de lengtemaat. We vervangen de volumewaarde V6van de piramide uit de probleemstelling, we krijgen de hoogte:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Aangezien de zijkant van de basis, in overeenstemming met de toestand van het probleem, twee keer de gevonden waarde is, krijgen we de waarde ervoor:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
Het volume van een zeshoekige piramide kan niet alleen worden gevonden door de hoogte van de figuur en de waarde van de zijkant van de basis. Het is voldoende om twee verschillende lineaire parameters van de piramide te kennen om deze te berekenen, bijvoorbeeld het apotema en de lengte van de zijrand.
