De wereld is zo gerangschikt dat de oplossing van een groot aantal problemen neerkomt op het vinden van de wortels van een kwadratische vergelijking. De wortels van vergelijkingen zijn belangrijk voor het beschrijven van verschillende patronen. Dit was zelfs bekend bij de landmeters van het oude Babylon. Ook astronomen en ingenieurs werden gedwongen om dergelijke problemen op te lossen. In de 6e eeuw na Christus ontwikkelde de Indiase wetenschapper Aryabhata de basis voor het vinden van de wortels van een kwadratische vergelijking. De formules werden in de 19e eeuw voltooid.
Algemene concepten
We nodigen je uit om vertrouwd te raken met de basisregelmatigheden van kwadratische gelijkheden. In het algemeen kan gelijkheid als volgt worden geschreven:
ax2 + bx + c=0, Het aantal wortels van een kwadratische vergelijking kan gelijk zijn aan één of twee. Een snelle analyse kan worden gedaan met behulp van het concept van discriminant:
D=b2 - 4ac
Afhankelijk van de berekende waarde, krijgen we:
- Als D > 0 zijn er twee verschillende wortels. De algemene formule voor het bepalen van de wortels van een kwadratische vergelijking ziet eruit als (-b± √D) / (2a).
- D=0, in dit geval is de wortel één en komt overeen met de waarde x=-b / (2a)
- D < 0, voor een negatieve waarde van de discriminant is er geen oplossing voor de vergelijking.
Opmerking: als de discriminant negatief is, heeft de vergelijking geen wortels, alleen in het gebied van reële getallen. Als algebra wordt uitgebreid tot het concept van complexe wortels, dan heeft de vergelijking een oplossing.
Laten we een reeks acties geven die de formule voor het vinden van wortels bevestigen.
Uit de algemene vorm van de vergelijking volgt:
ax2 + bx=-c
We vermenigvuldigen de rechter en linker delen met 4a en voegen b2 toe, we krijgen
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Transformeer de linkerkant in het kwadraat van de polynoom (2ax + b)2. We extraheren de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), brengen de coëfficiënt b over naar de rechterkant, we krijgen:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Vanaf hier volgt:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Wat moest worden weergegeven.
Speciaal geval
In sommige gevallen kan de oplossing van het probleem worden vereenvoudigd. Dus voor een even coëfficiënt b krijgen we een eenvoudigere formule.
Denote k=1/2b, dan heeft de formule van de algemene vorm van de wortels van de kwadratische vergelijking de vorm:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Als D=0, krijgen we x=-k / a
Een ander speciaal geval is de oplossing van de vergelijking met a=1.
Voor de vorm x2 + bx + c=0 zijn de wortels x=-k ± √(k2 - c) met een discriminant groter dan 0. Voor het geval dat D=0, wordt de wortel bepaald door een eenvoudige formule: x=-k.
Gebruik grafieken
Iedereen, zonder het zelfs maar te weten, wordt voortdurend geconfronteerd met fysieke, chemische, biologische en zelfs sociale verschijnselen die goed worden beschreven door een kwadratische functie.
Opmerking: de kromme die is gebouwd op basis van een kwadratische functie wordt een parabool genoemd.
Hier zijn enkele voorbeelden.
- Bij het berekenen van de baan van een projectiel wordt de eigenschap van beweging langs een parabool van een lichaam dat onder een hoek met de horizon wordt afgevuurd, gebruikt.
- De eigenschap van een parabool om de belasting gelijkmatig te verdelen, wordt veel gebruikt in de architectuur.
Als we het belang van de parabolische functie begrijpen, gaan we kijken hoe we de grafiek kunnen gebruiken om de eigenschappen ervan te onderzoeken, met behulp van de concepten "discriminant" en "wortels van een kwadratische vergelijking".
Afhankelijk van de waarde van de coëfficiënten a en b, zijn er slechts zes opties voor de positie van de curve:
- De discriminant is positief, a en b hebben verschillende tekens. De takken van de parabool kijken omhoog, de kwadratische vergelijking heeft twee oplossingen.
- Discriminant en coëfficiënt b zijn gelijk aan nul, coëfficiënt a is groter dan nul. De grafiek bevindt zich in de positieve zone, de vergelijking heeft 1 wortel.
- De discriminant en alle coëfficiënten zijn positief. De kwadratische vergelijking heeft geen oplossing.
- Discriminant en coëfficiënt a zijn negatief, b is groter dan nul. De takken van de grafiek zijn naar beneden gericht, de vergelijking heeft twee wortels.
- Discriminerend encoëfficiënt b is gelijk aan nul, coëfficiënt a is negatief. De parabool kijkt naar beneden, de vergelijking heeft één wortel.
- De waarden van de discriminant en alle coëfficiënten zijn negatief. Er zijn geen oplossingen, de functiewaarden bevinden zich volledig in de negatieve zone.
Opmerking: de optie a=0 wordt niet overwogen, omdat in dit geval de parabool degenereert in een rechte lijn.
Al het bovenstaande wordt goed geïllustreerd door de onderstaande afbeelding.
Voorbeelden van probleemoplossing
Voorwaarde: maak met behulp van de algemene eigenschappen een kwadratische vergelijking waarvan de wortels gelijk zijn aan elkaar.
Oplossing:
volgens de toestand van het probleem x1 =x2, of -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Vereenvoudiging van de notatie:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, open de haakjes en geef soortgelijke termen. De vergelijking wordt 2√(b2 - 4ac)=0. Deze bewering is waar als b2 - 4ac=0, dus b 2=4ac, dan wordt de waarde b=2√(ac) gesubstitueerd in de vergelijking
ax2 + 2√(ac)x + c=0, in de gereduceerde vorm krijgen we x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Antwoord:
voor a niet gelijk aan 0 en elke c, is er maar één oplossing als b=2√(c / a).
Quadrische vergelijkingen zijn, ondanks al hun eenvoud, van groot belang bij technische berekeningen. Bijna elk fysiek proces kan met enige benadering worden beschreven met behulp vanmachtsfuncties van orde n. De kwadratische vergelijking zal de eerste dergelijke benadering zijn.
