Het vermogen om het volume van ruimtelijke figuren te berekenen is belangrijk bij het oplossen van een aantal praktische problemen in de meetkunde. Een van de meest voorkomende vormen is de piramide. In dit artikel zullen we de formules voor het volume van de piramide bekijken, zowel vol als afgekapt.
Piramide als driedimensionale figuur
Iedereen kent de Egyptische piramiden, dus ze hebben een goed idee van welk cijfer zal worden besproken. Egyptische steenstructuren zijn echter slechts een speciaal geval van een enorme klasse piramides.
Het beschouwde geometrische object in het algemene geval is een veelhoekige basis, waarvan elk hoekpunt is verbonden met een punt in de ruimte dat niet tot het basisvlak behoort. Deze definitie leidt tot een figuur bestaande uit één n-gon en n driehoeken.
Elke piramide bestaat uit n+1 vlakken, 2n randen en n+1 hoekpunten. Aangezien de figuur in kwestie een perfect veelvlak is, gehoorzamen de aantallen gemarkeerde elementen aan de Euler-gelijkheid:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
De veelhoek aan de basis geeft de naam van de piramide,bijvoorbeeld driehoekig, vijfhoekig, enzovoort. Een reeks piramides met verschillende bases wordt getoond in de onderstaande foto.
Het punt waarop n driehoeken van de figuur zijn verbonden, wordt de top van de piramide genoemd. Als een loodlijn ervan naar de basis wordt neergelaten en deze snijdt in het geometrische midden, dan wordt zo'n figuur een rechte lijn genoemd. Als aan deze voorwaarde niet wordt voldaan, is er sprake van een hellende piramide.
Een rechte figuur waarvan de basis wordt gevormd door een gelijkzijdige (gelijkhoekige) n-hoek wordt regulier genoemd.
Piramide volume formule
Om het volume van de piramide te berekenen, gebruiken we de integraalrekening. Om dit te doen, verdelen we de figuur door snijvlakken evenwijdig aan de basis in een oneindig aantal dunne lagen. Onderstaande figuur toont een vierhoekige piramide met hoogte h en zijlengte L, waarin een dunne laag doorsnede is gemarkeerd met een vierhoek.
Het gebied van elke dergelijke laag kan worden berekend met behulp van de formule:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Hier is A0 het gebied van de basis, z is de waarde van de verticale coördinaat. Het is te zien dat als z=0, de formule de waarde A0.
geeft
Om de formule voor het volume van een piramide te krijgen, moet je de integraal berekenen over de gehele hoogte van de figuur, dat wil zeggen:
V=∫h0(A(z)dz).
Door de afhankelijkheid A(z) te vervangen en de primitieve te berekenen, komen we tot de uitdrukking:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
We hebben de formule voor het volume van de piramide. Om de waarde van V te vinden, volstaat het om de hoogte van de figuur te vermenigvuldigen met het gebied van de basis en het resultaat vervolgens door drie te delen.
Merk op dat de resulterende uitdrukking geldig is voor het berekenen van het volume van een piramide van een willekeurig type. Dat wil zeggen, het kan hellend zijn, en de basis kan een willekeurige n-gon zijn.
De juiste piramide en zijn volume
De algemene formule voor volume die in de bovenstaande paragraaf is verkregen, kan worden verfijnd in het geval van een piramide met de juiste basis. Het gebied van een dergelijke basis wordt berekend met behulp van de volgende formule:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Hier is L de zijdelengte van een regelmatige veelhoek met n hoekpunten. Het symbool pi is het getal pi.
Als we de uitdrukking voor A0 in de algemene formule vervangen, krijgen we het volume van een regelmatige piramide:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Voor een driehoekige piramide leidt deze formule bijvoorbeeld tot de volgende uitdrukking:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Voor een regelmatige vierhoekige piramide wordt de volumeformule:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Het bepalen van het volume van regelmatige piramides vereist kennis van de zijkant van hun basis en de hoogte van de figuur.
Afgeknotte piramide
Stel dat we nameneen willekeurige piramide en sneed een deel van het zijoppervlak af dat de bovenkant bevat. Het resterende cijfer wordt een afgeknotte piramide genoemd. Het bestaat al uit twee n-gonale basen en n trapeziums die ze verbinden. Als het snijvlak evenwijdig was aan de basis van de figuur, wordt een afgeknotte piramide gevormd met evenwijdige vergelijkbare bases. Dat wil zeggen, de lengtes van de zijden van een ervan kunnen worden verkregen door de lengtes van de andere te vermenigvuldigen met een coëfficiënt k.
De afbeelding hierboven toont een afgeknotte regelmatige zeshoekige piramide. Het is te zien dat de bovenste basis, net als de onderste, wordt gevormd door een regelmatige zeshoek.
De formule voor het volume van een afgeknotte piramide, die kan worden afgeleid met behulp van een integraalberekening vergelijkbaar met de gegeven, is:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Waarbij A0 en A1 de gebieden van respectievelijk de onderste (grote) en bovenste (kleine) basis zijn. De variabele h is de hoogte van de afgeknotte piramide.
Het volume van de piramide van Cheops
Het is interessant om het probleem op te lossen van het bepalen van het volume dat de grootste Egyptische piramide binnenin bevat.
In 1984 bepaalden de Britse egyptologen Mark Lehner en Jon Goodman de exacte afmetingen van de piramide van Cheops. De oorspronkelijke hoogte was 146,50 meter (momenteel ongeveer 137 meter). De gemiddelde lengte van elk van de vier zijden van de constructie was 230,363 meter. De basis van de piramide is vierkant met hoge nauwkeurigheid.
Laten we de gegeven cijfers gebruiken om het volume van deze stenen reus te bepalen. Aangezien de piramide een regelmatige vierhoek is, is de formule daarvoor geldig:
V4=1/3L2h.
Vervang de getallen, we krijgen:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Het volume van de piramide van Cheops is bijna 2,6 miljoen m3. Ter vergelijking merken we op dat het olympisch bad een volume heeft van 2,5 duizend m3. Dat wil zeggen, om de hele piramide van Cheops te vullen, zijn er meer dan 1000 van deze pools nodig!
